Meccanica quantistica
Sono particolarmente fortunata da avere una particella di massa infinita, spin 1/2.
A t=0 la possibilità di osservare la componente dello spin lungo la direzione positiva dell'asse z è 1/4, mentre quella lungo la direzione negativa 3/4. La particella è soggetta ad un campo magnetico B costante, uniforme e diretto lungo x.
Bene! Qual è lo stato iniziale?
L'hamiltoniana è data data da una parte cinetica ed una magnetica, ma queste non sono proporzionali ad 1/m ?
Dunque, cosa succede, l'hamiltoniana va a zero???
Se avete un'idea ...
A t=0 la possibilità di osservare la componente dello spin lungo la direzione positiva dell'asse z è 1/4, mentre quella lungo la direzione negativa 3/4. La particella è soggetta ad un campo magnetico B costante, uniforme e diretto lungo x.
Bene! Qual è lo stato iniziale?
L'hamiltoniana è data data da una parte cinetica ed una magnetica, ma queste non sono proporzionali ad 1/m ?
Dunque, cosa succede, l'hamiltoniana va a zero???
Se avete un'idea ...
Risposte
Non sono sicurissimo però mi verrebbe da dire che la postilla sulla massa infinita serva solo per dire che puoi trascurare i gradi di libertà di traslazione. Cioè per come l'ho capito io il problema suona: sapendo che l'Hamiltoniana è proporzionale a \(\vec {\sigma} \cdot \vec{B} = \sigma_x B\) e che le probabilità per gli autovalori di \( \sigma_z\) sono quelle che sono, scrivere lo stato del sistema come combinazione lineare degli autostati dell'Hamiltoniana. Così lo sapresti fare?
Non so quale formalismo usi per i problemi di spin, personalmente ti consiglio quello dei vettori in \( \mathbb{C}^2 \). Con questa scelta, come saprai, gli operatori di spin sono associati alle matrici di Pauli. La ricetta per risolvere l'esercizio è:
1) scrivi lo stato \( | \psi \rangle \) come combinazione lineare degli autostati di \( \sigma_z = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix} \right) \), ricorda che hai le probabilità...
2) esprimi gli autostati di \( \sigma_z \) in termini di quelli di \( \sigma_x \). Questo significa in sostanza trovare gli autovettori di \( \sigma_x = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right) \) e invertire il sistema.
3) sostituisci il risultato del punto 2) nell'espressione dello stato nel punto 1).
Fammi sapere se non sono stato chiaro...
Non so quale formalismo usi per i problemi di spin, personalmente ti consiglio quello dei vettori in \( \mathbb{C}^2 \). Con questa scelta, come saprai, gli operatori di spin sono associati alle matrici di Pauli. La ricetta per risolvere l'esercizio è:
1) scrivi lo stato \( | \psi \rangle \) come combinazione lineare degli autostati di \( \sigma_z = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix} \right) \), ricorda che hai le probabilità...
2) esprimi gli autostati di \( \sigma_z \) in termini di quelli di \( \sigma_x \). Questo significa in sostanza trovare gli autovettori di \( \sigma_x = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right) \) e invertire il sistema.
3) sostituisci il risultato del punto 2) nell'espressione dello stato nel punto 1).
Fammi sapere se non sono stato chiaro...
Ciao alle.fabbri, concordo con la tua interpretazione sulla massa infinita. Ho una domanda (da novizio di MQ): non basterebbe dire che lo stato iniziale è \(\displaystyle |\psi \rangle = \sqrt{\frac{1}{4}} |+\rangle + \sqrt{\frac{3}{4}} |- \rangle \)? Dopotutto non viene specificata la base in cui esprimere il risultato.
Questo è il testo completo del problema, così è più chiaro ...
Dal punto b in poi ho risolto per un elettrone: hamiltoniana \(\displaystyle H= -\hbar \sigma _x B_x \)
Allora la \(\displaystyle | \psi (0)> = (1/2) <\uparrow _x | \uparrow > \ \ |\uparrow _x> + (\sqrt3 / 2) <\downarrow_x |\uparrow > \ \ |\downarrow_x> \)
Quindi applico l'operatore di evoluzione temporale poiché \(\displaystyle |\psi(t)> \ = \ e^{-iHt/ \hbar} |\psi(0)> \)
Va bene?
Se mi dà m infinita, che senso avrebbe poi dirmi che ha il momento dell'elettrone?
Voglio dire o ho è un \(\displaystyle e^- \) , o ha massa infinita. Per questo avevo pensato a due richieste indipendenti. Vorrei capire se per m infinita c'è qlc in particolare da considerare.
Altre volte, invece, mi ha chiesto di trascurare le transizioni (come suggerisci) però me lo scrive espressamente.
Cosa ne dici?
Grazie
Dal punto b in poi ho risolto per un elettrone: hamiltoniana \(\displaystyle H= -\hbar \sigma _x B_x \)
Allora la \(\displaystyle | \psi (0)> = (1/2) <\uparrow _x | \uparrow > \ \ |\uparrow _x> + (\sqrt3 / 2) <\downarrow_x |\uparrow > \ \ |\downarrow_x> \)
Quindi applico l'operatore di evoluzione temporale poiché \(\displaystyle |\psi(t)> \ = \ e^{-iHt/ \hbar} |\psi(0)> \)
Va bene?
Se mi dà m infinita, che senso avrebbe poi dirmi che ha il momento dell'elettrone?
Voglio dire o ho è un \(\displaystyle e^- \) , o ha massa infinita. Per questo avevo pensato a due richieste indipendenti. Vorrei capire se per m infinita c'è qlc in particolare da considerare.
Altre volte, invece, mi ha chiesto di trascurare le transizioni (come suggerisci) però me lo scrive espressamente.
Cosa ne dici?
Grazie
Occhio, l'operatore di evoluzione contiene anche l'hamiltoniana a esponente. Devi calcolare
\(\displaystyle |\psi(t)\rangle = \exp \left( -\frac{i H t}{\hbar} \right) |\psi (0) \rangle \)
(è facile, lavora in termini di spinori e con la matrice di Pauli \(\displaystyle \sigma_x \)).
Per il punto d) puoi ragionare così: devi trovare i tempi per cui \(\displaystyle s_x | \psi (t) \rangle = \pm \frac{\hbar}{2} | \psi (t) \rangle\). L'operatore \(\displaystyle s_x \) è noto in termini degli autoket di \(\displaystyle s_z \).
\(\displaystyle |\psi(t)\rangle = \exp \left( -\frac{i H t}{\hbar} \right) |\psi (0) \rangle \)
(è facile, lavora in termini di spinori e con la matrice di Pauli \(\displaystyle \sigma_x \)).
Per il punto d) puoi ragionare così: devi trovare i tempi per cui \(\displaystyle s_x | \psi (t) \rangle = \pm \frac{\hbar}{2} | \psi (t) \rangle\). L'operatore \(\displaystyle s_x \) è noto in termini degli autoket di \(\displaystyle s_z \).
La domanda non è come si calcola l'evoluzione temporale ...
d) se la scrivi così non ha senso
d) se la scrivi così non ha senso
"*Ely":
La domanda non è come si calcola l'evoluzione temporale ...
mmm... sicura? e come la risolvi la domanda c)? (che fai, correggi a posteriori? mica ti diamo il voto
) Ovviamente non va bene lasciare quella \(\displaystyle H \) a esponente, devi sviluppare i conti per poter affrontare il punto successivo."*Ely":
d) se la scrivi così non ha senso
perché no? come lo definisci un autostato di \(\displaystyle S_x \)? Non sono forse \(\displaystyle \pm \frac{\hbar}{2} \) gli autovalori corrispondenti a \(\displaystyle |S_x, \pm\rangle \)?
hamiltoniana H=−ℏσxBx
sicura? Io credo che sia \(\displaystyle H= - g S_x B_x \)
Più che altro, secondo me, il testo non è proprio un bijou... Che significa che "la funzione d'onda è in un autostato di \(\displaystyle S_x \)"? 
Piuttosto chiederei come va nel tempo la probabilità che \(\displaystyle S_x=\pm \frac{\hbar}{2} \). Questa è ovviamente data da \(\displaystyle |\langle S_x, \pm| \psi (t) \rangle|^2 \). La trovi sapendo che \(\displaystyle |S_x, \pm \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle \pm\frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle \) (ovviamente non puoi farlo se prima non hai risolto il punto c)
Piuttosto chiederei come va nel tempo la probabilità che \(\displaystyle S_x=\pm \frac{\hbar}{2} \). Questa è ovviamente data da \(\displaystyle |\langle S_x, \pm| \psi (t) \rangle|^2 \). La trovi sapendo che \(\displaystyle |S_x, \pm \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle \pm\frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle \) (ovviamente non puoi farlo se prima non hai risolto il punto c)
\(\displaystyle g_s =2 \ \ \ S_x = \frac{\hbar}{2} \sigma _x \) e quindi l'H è lei.
la \(\displaystyle | \psi(t)> \) ce l'ho. Il resto l'ho già fatto (non chiede l'autostato di Sx ma di Sz!)
Voglio solo sapere che differenza c'è, e perché, tra un e- e una particella con massa infinita sullo stesso problema!
la \(\displaystyle | \psi(t)> \) ce l'ho. Il resto l'ho già fatto (non chiede l'autostato di Sx ma di Sz!)
Voglio solo sapere che differenza c'è, e perché, tra un e- e una particella con massa infinita sullo stesso problema!
"*Ely":
\(\displaystyle g_s =2\)
ah ecco. Magari dillo però. Sicura di aver svolto bene gli altri punti? Da quello che avevi scritto non mi sembrava. Quello che deve venir fuori è che
\(\displaystyle |\psi(t) \rangle =\frac{1}{2} \exp\left(-\frac{i g t}{2}\right) |+\rangle +\frac{\sqrt{3}}{2} \exp\left(\frac{i g t}{2}\right) |-\rangle \)
da qui procedi con d)
"*Ely":
Voglio solo sapere che differenza c'è, e perché, tra un e- e una particella con massa infinita sullo stesso problema!
Ritornerei a quello che ti ha detto alle.fabbri. Sostanzialmente il fatto di rendere infinita la massa elimina gli altri gradi di libertà del problema (l'energia cinetica è nulla), e la tua hamiltoniana assume l'espressione semplice vista sopra. Nel caso dell'elettrone, un'analisi rigorosa si dovrebbe fare con
\(\displaystyle H= \frac{\bf{p}^2}{2m_e} - \frac{e}{m_e c} \bf{S} \cdot \bf{B} \)
qui invece ti sbarazzi del primo membro e imponi \(\displaystyle g=2 \), tutto qua. E' il cosiddetto fenomeno della precessione.
Come hanno già detto molti, supporre la massa infinita serve proprio ad annullare il termine cinetico nell'hamiltoniana. Si tratta del tipico sistema a due livelli. Conviene porsi nella base degli autostati di $ S_{z} $. Come è già stato osservato, lo stato iniziale sarà dato da:
[tex]{|\psi, t=0 \rangle }= \frac{1}{2} {| + \rangle} + \frac{\sqrt{3}}{2} {|- \rangle}[/tex]
Il testo è un po' strano, perchè prima parla di massa infinita, e poi dice "il momento magnetico dell'elettrone è dato da..". Comunque l'hamiltoniana è $ H= -\vec \mu \cdot \vec B=-g \vec S \cdot \vec B= -g S_{x} B $.
Adesso si calcola l'operatore di evoluzione in maniera usuale:
[tex]U(t)=exp[-\frac{i}{\hbar}S_{x}B\,t][/tex].
Per fare evolvere lo stato, è necessario sapere come agisce l'operatore evoluzione sullo stato iniziale. Questo non è banale, in quanto $ U $ non è funzione di $ S_{z} $, ma di $ S_{x} $, e bisogna farlo agire su un vettore che è c.l. di autostati di $ S_{z} $.
In ogni caso è possibile calcolare l'esponenziale dell'operatore [tex]-\frac{i}{\hbar} S_{x} B t[/tex] mediante i suoi proiettori. Non so se è una procedura che conosci, perchè è un po' una seccatura spiegarne i dettagli qui. Ad ogni modo, calcolato l'operatore evoluzione, lo si fa agire sullo spinore che rappresenta lo stato iniziale, che per quanto detto sarà :
[tex]{|\psi \rangle} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}[/tex]
Così si ottiene lo stato al tempo t. Per il punto d) devi applicare $ S_{z} $ allo stato al generico istante t, e porre il risultato uguale ad un multiplo dello stesso vettore (praticamente un'equazione agli autovalori). Ricaverai così delle condizioni sul tempo t.
[tex]{|\psi, t=0 \rangle }= \frac{1}{2} {| + \rangle} + \frac{\sqrt{3}}{2} {|- \rangle}[/tex]
Il testo è un po' strano, perchè prima parla di massa infinita, e poi dice "il momento magnetico dell'elettrone è dato da..". Comunque l'hamiltoniana è $ H= -\vec \mu \cdot \vec B=-g \vec S \cdot \vec B= -g S_{x} B $.
Adesso si calcola l'operatore di evoluzione in maniera usuale:
[tex]U(t)=exp[-\frac{i}{\hbar}S_{x}B\,t][/tex].
Per fare evolvere lo stato, è necessario sapere come agisce l'operatore evoluzione sullo stato iniziale. Questo non è banale, in quanto $ U $ non è funzione di $ S_{z} $, ma di $ S_{x} $, e bisogna farlo agire su un vettore che è c.l. di autostati di $ S_{z} $.
In ogni caso è possibile calcolare l'esponenziale dell'operatore [tex]-\frac{i}{\hbar} S_{x} B t[/tex] mediante i suoi proiettori. Non so se è una procedura che conosci, perchè è un po' una seccatura spiegarne i dettagli qui. Ad ogni modo, calcolato l'operatore evoluzione, lo si fa agire sullo spinore che rappresenta lo stato iniziale, che per quanto detto sarà :
[tex]{|\psi \rangle} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}[/tex]
Così si ottiene lo stato al tempo t. Per il punto d) devi applicare $ S_{z} $ allo stato al generico istante t, e porre il risultato uguale ad un multiplo dello stesso vettore (praticamente un'equazione agli autovalori). Ricaverai così delle condizioni sul tempo t.
"alephy":
In ogni caso è possibile calcolare l'esponenziale dell'operatore [tex]-\frac{i}{\hbar} S_{x} B t[/tex] mediante i suoi proiettori. Non so se è una procedura che conosci, perchè è un po' una seccatura spiegarne i dettagli qui.
No vabè qui è tutto più semplice. Semplicemente, da \(\displaystyle H |\pm \rangle = \left( \pm \frac{\hbar g}{2} \right)| \pm \rangle \) e sviluppando in serie l'esponenziale si vede subito che \(\displaystyle |\psi(t)\rangle \) vale come ho scritto prima. Quando l'esponenziale di un operatore agisce su una combinazione dei ket di base basta far agire l'operatore su ogni ket e, all'esponente, sostituire all'operatore il corrispondente autovalore.
@ elgiovo:
Per fare come dici tu, è necessario scrivere lo stato iniziale come combinazione di autoket di $ S_{x} $, altrimenti non è possibile semplicemente sostituire l'autovalore all'esponente.
Per fare come dici tu, è necessario scrivere lo stato iniziale come combinazione di autoket di $ S_{x} $, altrimenti non è possibile semplicemente sostituire l'autovalore all'esponente.
"elgiovo":
...non basterebbe dire che lo stato iniziale è \(\displaystyle |\psi \rangle = \sqrt{\frac{1}{4}} |+\rangle + \sqrt{\frac{3}{4}} |- \rangle \)? Dopotutto non viene specificata la base in cui esprimere il risultato.
Assolutamente vero...però prendi come buona abitudine quella di esprimere gli stati come combinazione lineare degli autostati dell'Hamiltoniana. Oltre a essere più "fisica" (in fin dei conti uno stato quantistico è definito dalla misura di un particolare osservabile, di solito l'energia) questa descrizione ha innumerevoli vantaggi: ti permette a occhio di trovare le probabilità dei livelli energetici, l'evoluzione temporale è più semplice da scrivere...
"*Ely":
... la \(\displaystyle | \psi (0)> = (1/2) <\uparrow _x | \uparrow > \ \ |\uparrow _x> + (\sqrt3 / 2) <\downarrow_x |\uparrow > \ \ |\downarrow_x> \)
Attenzione qui...dovremmo essere tutti d'accordo sul fatto che lo stato iniziale espresso come combinazione lineare di autostati di \( \sigma_z \) sia quello di elgiovo. Per scriverlo in termini degli autostati di \( \sigma_x \) devi trovare il cambiamento di base, cioè quello che suggerivo nel 2). Se vuoi rimanere a livello formale quello che vale è (uso \( \pm \) invece delle frecce, spero che questo non crei troppa confusione)
\( | + > = < +_x | + > \ \ |+_x> + < -_x | + > \ \ |-_x> \)
\(\displaystyle | - > = < +_x | - > \ \ |+_x> + < -_x | - > \ \ |-_x> \)
e quindi
\(\displaystyle | \psi (0)> = \left( \frac{1}{2} <+ _x | + > + \frac{\sqrt{3}}{2}<+_x | - > \right) |+ _x> + \left( \frac{1}{2} <- _x | + > + \frac{\sqrt{3}}{2} <-_x | - > \right) |-_x> \)
Per quanto riguarda l'evoluzione temporale mi vengono in mente due modi di procedere. Il primo è moliplicare ogni addendo della formula precedente per la corrispondente fase \( \exp{- i H t } \) (in unità \( \hbar = 1 \) ). Essendo ogni addendo proporzionale ad un autoket dell'hamiltoniana, puoi tranquillamente sostituire gli autovalori dell'hamiltoniana ad esponente. Secondo me questo è il modo più semplice e meno calcoloso, che giustifica la scelta di espandere lo stato iniziale sulla base di autoket di \( \sigma_x \). L'altro modo di procedere è quello suggerito da alephy, cioè di descrivere il sistema tramite vettori di \( \mathbb{C}^2 \). Facendo così teniamo sempre la stessa base, diciamo quella degli autovalori di \( \sigma_z \), però abbiamo un'espressione esplicita dell'operatore di evoluzione temporale. Nel caso specifico il ket iniziale sarà quello di alephy e come evolutore temporale puoi fare il conto ( vedi qui formula (2) ), ottenere una matrice e fare il prodotto per trovare il ket al tempo \( t \).
EDIT: corretto errore algebrico...mannaggia ai conti a mente...
"alephy":
@ elgiovo:
Per fare come dici tu, è necessario scrivere lo stato iniziale come combinazione di autoket di $ S_{x} $, altrimenti non è possibile semplicemente sostituire l'autovalore all'esponente.
Si scusa hai ragione! Mi ero dimenticato che il campo è nella direzione x. In questo modo è \(\displaystyle S_x \) che commuta con \(\displaystyle H \).
Si, alle, ti riscrivo la
\(\displaystyle | \psi (0)> = \frac{1}{2}(<\uparrow _x | \uparrow _z> | \uparrow _x> + <\downarrow _x | \uparrow _z > | \downarrow _x> ) + \frac{\sqrt 3}{2}(<\uparrow _x | \downarrow _z> | \uparrow _x> + <\downarrow _x | \downarrow _z > | \downarrow _x> ) \)
Così calcolare l'evoluzione non è un problema basta vedere prima cosa fanno i < ...> (alla fine \(\displaystyle \pm 1/ \sqrt 2 \) ) e l'hamiltoniana che contiene la \(\displaystyle \sigma_x \) come agisce sull' up/down della x.
alephi, conosco quel metodo, però in questo modo è più semplice.
Mentre per il d) avevo risolto infatti come dici.
Grazie
\(\displaystyle | \psi (0)> = \frac{1}{2}(<\uparrow _x | \uparrow _z> | \uparrow _x> + <\downarrow _x | \uparrow _z > | \downarrow _x> ) + \frac{\sqrt 3}{2}(<\uparrow _x | \downarrow _z> | \uparrow _x> + <\downarrow _x | \downarrow _z > | \downarrow _x> ) \)
Così calcolare l'evoluzione non è un problema basta vedere prima cosa fanno i < ...> (alla fine \(\displaystyle \pm 1/ \sqrt 2 \) ) e l'hamiltoniana che contiene la \(\displaystyle \sigma_x \) come agisce sull' up/down della x.
alephi, conosco quel metodo, però in questo modo è più semplice.
Mentre per il d) avevo risolto infatti come dici.
Grazie
P.S. (alle.fabbri) Nella stato al tempo zero ...
Le due righe mi tornano, non invece la terza, scusa 1/2 si deve sempre riferire alla z up, e così l'altro. Poi scomponi una volta sul s+ e una volta sul s- ...no?
Le due righe mi tornano, non invece la terza, scusa 1/2 si deve sempre riferire alla z up, e così l'altro. Poi scomponi una volta sul s+ e una volta sul s- ...no?
Comunque un consiglio: per quanto possiamo essere bravi noi a spiegare (non tanto!), ti conviene consultare un buon testo di meccanica quantistica, dove il fenomeno della precessione dello spin è trattato ampiamente e risolto anche con diversi metodi per scopi didattici;)
Grazie Ely, ora ho corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo