[Meccanica] Massa che oscilla sopra un carrello
Un carrello con quattro ruote è posizionato su di un piano scabro sul quale le ruote rotolano senza strisciare.
Sul pianale del carrello è posizionata una molla orizzontale (di massa trascurabile) vincolata, da un lato ad un supporto fissato al pianale sulla verticale del centro di massa del carrello, e dall'altro ad un corpo (di dimensioni trascurabili) che può socrrere sul pianale senza attrito.
Il pianale del carrello ha massa $ M=25.0 kg $ e ogni ruota (disco pieno) ha massa $M_R=3.00 kg $ con raggio $ R=0.200m $.
La molla ha costante elastica $ k=130 N/m $ e lunghezza a riposo $ l_0=5.00 m $.
Il corpo connesso alla molla ha massa $ m_2=20.0 kg $.
Inizialmente il sistema è fermo rispetto al piano scabro e la molla è allungata di $ \delta=3.00 m $ rispetto alla condizione di riposo e trattenuta da un fermo.
Quando la molla viene liberata calcolare il periodo di oscillazione del carrello.
Ho tentato di trovare l'equazione del moto (armonico) per via energetica: $ 1/2k \delta^2=1/2(M+4M_R)v_{c}^2+1/2mv_{m}^2+1/2kx_{m}^2+4(1/2I_{R}\omega^2) $ e usando che $ v_{m}=-\frac{M+4M_R}{m}v_c $ (dalla conservazione della quantità di moto del sistema carrello+massa ) ed arrivo a questo punto:
$ 2(\frac{M+4M_R}{2}+\frac{(M+4M_R)^2}{2m}+M_R)x_c'x_c''+kx_mx_m'=0 $ dal quale non riesco a proseguire.
(Col pedice m ho indicato le grandezze relative alla massa attaccata alla molla e col pedice quelle relative al carrello; $x_m$ è una generica posizione della massa oscillante compresa tra $l_0-\delta $ e $l_0+\delta$).
Qualcuno saprebbe dirmi come continuare la risoluzione dell'equazione oppure suggerirmi un metodo alternativo per ricavare l'equazione del moto?
Grazie
Sul pianale del carrello è posizionata una molla orizzontale (di massa trascurabile) vincolata, da un lato ad un supporto fissato al pianale sulla verticale del centro di massa del carrello, e dall'altro ad un corpo (di dimensioni trascurabili) che può socrrere sul pianale senza attrito.
Il pianale del carrello ha massa $ M=25.0 kg $ e ogni ruota (disco pieno) ha massa $M_R=3.00 kg $ con raggio $ R=0.200m $.
La molla ha costante elastica $ k=130 N/m $ e lunghezza a riposo $ l_0=5.00 m $.
Il corpo connesso alla molla ha massa $ m_2=20.0 kg $.
Inizialmente il sistema è fermo rispetto al piano scabro e la molla è allungata di $ \delta=3.00 m $ rispetto alla condizione di riposo e trattenuta da un fermo.
Quando la molla viene liberata calcolare il periodo di oscillazione del carrello.
Ho tentato di trovare l'equazione del moto (armonico) per via energetica: $ 1/2k \delta^2=1/2(M+4M_R)v_{c}^2+1/2mv_{m}^2+1/2kx_{m}^2+4(1/2I_{R}\omega^2) $ e usando che $ v_{m}=-\frac{M+4M_R}{m}v_c $ (dalla conservazione della quantità di moto del sistema carrello+massa ) ed arrivo a questo punto:
$ 2(\frac{M+4M_R}{2}+\frac{(M+4M_R)^2}{2m}+M_R)x_c'x_c''+kx_mx_m'=0 $ dal quale non riesco a proseguire.
(Col pedice m ho indicato le grandezze relative alla massa attaccata alla molla e col pedice quelle relative al carrello; $x_m$ è una generica posizione della massa oscillante compresa tra $l_0-\delta $ e $l_0+\delta$).
Qualcuno saprebbe dirmi come continuare la risoluzione dell'equazione oppure suggerirmi un metodo alternativo per ricavare l'equazione del moto?
Grazie
Risposte
Per trovare il legame fra le due coordinate, e così avere una eq. diff. in un'unica incognita, secondo me, occorre passare anche dalla lagrangiana...
Alla fine viene la solita eq. diff. armonica da cui si ricava immediatamente il periodo cercato. Purtroppo col tablet scrivere le formule è una sofferenza per cui non posso postare i passaggi, ma mi sembrano banali (si semplifica un sacco...).
Alla fine viene la solita eq. diff. armonica da cui si ricava immediatamente il periodo cercato. Purtroppo col tablet scrivere le formule è una sofferenza per cui non posso postare i passaggi, ma mi sembrano banali (si semplifica un sacco...).
Non ho svolto quell'argomento in fisica; altre idee?
Beh, allora applica il terzo principio della dinamica...
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