Meccanica Hamiltoniana: trasformazione infinitesima

[strangolatoremancino]

Problema con il problema seguente: mi servirebbe un'occhiata al procedimento o in caso andasse bene ai calcolacci, visto che nuvviene

Esercizio: Si consideri l'Hamiltoniana

$H(q,p)=1/2(p^2+q^2)+epsilon(qp^2+p^3-2q^2p)$

e la funzione generatrice

$S=qP+epsilon(aP^3+bqP^2)$

dove $epsilon<$$<1$ è un parametro piccolo.

1)Determinare la trasformazone canonica infinitesima generata da $S$

$S=S(q,P)$ genera una traformazione di seconda specie, e quindi scriviamo $p$ e $Q$ come

${(p=(delS)/(delq)=P+epsilon(bP^2)),(Q=(delS)/(delP)=q+epsilon(3aP^2+2bqP)):}$

e scrivendo le coordinate piccole in funzione delle coordinate grandi

${(p=P+epsilon(bP^2)),(q=Q-epsilon(3aP^2+2bPQ)+o(epsilon^2)):}$

2)Determinare $a$ e $b$ in modo che l'Hamiltoniana, nelle nuove coordinate, abbia la forma $H(Q,P)=1/2(P^2+Q^2)+o(epsilon^2)$

In questo passaggio è probabile abbia sbagliato qualcosa, magari mi sono mangiato via troppe cose nell'$o(epsilon^2)$: sostituisco in $H$ le espressioni trovate sopra per $p$ e $q$, trovando

$H(Q,P)=1/2(P^2+Q^2)+epsilon(bP^3-3aQP^2+2bPQ^2+QP+P^3-2Q^2P)+o(epsilon^2)$

ora impongo nullo il termine in $epsilon$

$bP^3-3aQP^2+2bPQ^2+QP+P^3-2Q^2P=0$

$P^3(b+1)+QP^2(1-3a)+2PQ^2(b-1)=0$

dato che $P$ e $Q$ sono indipendenti, immagino si debbano annullare contemporaneamente i tre coefficienti

${(b+1=0),(1-3a=0),(b-1=0):}$

putroppo mi ritrovo due equazioni incompatibili; in caso i miei calcoli fossero giusti, ho ipotizzato potesse essere sbagliato il testo, in particolare il segno del termine negativo nella parentesi che moltiplica l'$epsilon$ nell'Hamiltoniana, in modo che vengano uguali la prima e la terza equazione del sistema.

Grazie a chiunque volesse esprimersi

[Eredir]

Mi sa che hai sbagliato un segno nella sostituzione di [tex]q[/tex], controlla un po':
[tex]$\frac{1}{2} (p^{2} + q^{2}) = \frac{1}{2} (P^{2} + Q^{2}) + \epsilon (bP^{3} - 3aP^2Q - 2bPQ^2) + O(\epsilon^{2})$[/tex]

[strangolatoremancino]

E osti hai ragione

$H(Q,P)=1/2(P^2+Q^2)+epsilon(bP^3-3aQP^2-2bPQ^2+QP+P^3-2Q^2P)+o(epsilon^2)$

impongo

$bP^3-3aQP^2-2bPQ^2+QP+P^3-2Q^2P=0$

$P^3(b+1)+QP^2(1-3a)+2PQ^2(-b-1)=0$

da cui

${(b+1=0),(1-3a=0),(-b-1=0):}$

e infine $b=-1$ e $a=1/3$

grazie mille, buonanotte