[Meccanica] Equazioni di Lagrange
Dall'equazione $m\frac{dv}{dt}\cdot \frac{\partial r}{\partial q}=F^{att} \cdot \frac{\partial r}{\partial q}+F^{vi} \cdot \frac{\partial r}{\partial q}=Q$ che rappresenta la proiezione della forza sul piano tangente alla varietà, ovvero alla funzione vincolare $f(x, y, ...)$, la forza vincolare si elimina, e sostanzialmente è per questo che si introducono le equazioni di Lagrange, ma non ho capito perché essa è perpendicolare alla superficie tangente (e quindi perché si elimina).
Da questa successivamente dovrei ottenere direttamente l'equazione di Lagrange considerando che $m\frac{dv}{dt}\cdot \frac{\partial r}{\partial q}=m\frac{d}{dt}(v \cdot \frac{\partial r}{\partial q})-mv \frac{d}{dt} \frac{\partial r}{\partial q}=$ ed alla prossima mi perdo $=m\frac{d}{dt}(v \cdot \frac{\partial v}{\partial u})-mv \frac{\partial v}{\partial q}(eq.1)$. Questo ultimo passaggio dovrebbe essere spiegato dalla identità $\frac{\partial r}{\partial q}=\frac{\partial v}{\partial u}$ e dalla possibilità di scambiare $\frac{d}{dt}$ con $\frac{\partial }{\partial q}$ (aggiungo che precedentemente $u=\frac{dq}{dt}$), ma non riesco a cogliere, e non colgo neppure come dall'eq.1 ricavo $\frac{d}{dt} \frac{T}{u}-frac{d}{dt} \frac{T}{q}=Q$.
Spero sia chiaro l'argomento, altrimenti se manca qualcosa faccio due fotocopie del libro.
Da questa successivamente dovrei ottenere direttamente l'equazione di Lagrange considerando che $m\frac{dv}{dt}\cdot \frac{\partial r}{\partial q}=m\frac{d}{dt}(v \cdot \frac{\partial r}{\partial q})-mv \frac{d}{dt} \frac{\partial r}{\partial q}=$ ed alla prossima mi perdo $=m\frac{d}{dt}(v \cdot \frac{\partial v}{\partial u})-mv \frac{\partial v}{\partial q}(eq.1)$. Questo ultimo passaggio dovrebbe essere spiegato dalla identità $\frac{\partial r}{\partial q}=\frac{\partial v}{\partial u}$ e dalla possibilità di scambiare $\frac{d}{dt}$ con $\frac{\partial }{\partial q}$ (aggiungo che precedentemente $u=\frac{dq}{dt}$), ma non riesco a cogliere, e non colgo neppure come dall'eq.1 ricavo $\frac{d}{dt} \frac{T}{u}-frac{d}{dt} \frac{T}{q}=Q$.
Spero sia chiaro l'argomento, altrimenti se manca qualcosa faccio due fotocopie del libro.
Risposte
Ti rispondo alla prima domanda: molto semplicemente stai
considerando vincoli "perfetti", cioè
BILATERI
LISCI
OLONOMI.
Il vincolo è "liscio" -cioè non dà resistenza di attrito.
Per esempio: il piano di un tavolo (ma sarebbe UNILATERE!) senza attrito: non puoi attraversarlo, ma puoi
scorrerci sopra.
considerando vincoli "perfetti", cioè
BILATERI
LISCI
OLONOMI.
Il vincolo è "liscio" -cioè non dà resistenza di attrito.
Per esempio: il piano di un tavolo (ma sarebbe UNILATERE!) senza attrito: non puoi attraversarlo, ma puoi
scorrerci sopra.
è normale perchè per il principio dei lavori virtuali per spostamenti invertibili la reazione vincolare deve soddisfare $vec phi * del x = 0$ e quindi $vec phi$ dev'essere normale a $del x$
per la seconda poichè lavelocità può essere scritta come $vec v = d/(dt) r(q_1,...q_n,t) = sum_(i=1)^(n) (del r)/(del q_i) dot(q)_i + (del r)/(del t)$
allora $(del v)/(del dot(q)_i) = (del r)/(del q_i)$
inoltre $(del v)/(del q_i) = d/(dt) (del r)/(del q_i)$
sostituisci e hai
$d/(dt)(m*v*(del v)/(del dot(q))) - m*v*(del v)/(del q) = d/(dt) 1/2 m (del v^2)/(del dot(q)) - 1/2 m (del v^2)/(del q) = d/(dt) (del T)/(del dot(q)) - (del T)/(del q) = Q$
per la seconda poichè lavelocità può essere scritta come $vec v = d/(dt) r(q_1,...q_n,t) = sum_(i=1)^(n) (del r)/(del q_i) dot(q)_i + (del r)/(del t)$
allora $(del v)/(del dot(q)_i) = (del r)/(del q_i)$
inoltre $(del v)/(del q_i) = d/(dt) (del r)/(del q_i)$
sostituisci e hai
$d/(dt)(m*v*(del v)/(del dot(q))) - m*v*(del v)/(del q) = d/(dt) 1/2 m (del v^2)/(del dot(q)) - 1/2 m (del v^2)/(del q) = d/(dt) (del T)/(del dot(q)) - (del T)/(del q) = Q$
Grazie.
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