[Meccanica del corpo rigido] Relazioni tra accelerazioni

[ghiozzo1]

Un cilindro di massa m e raggio R viene trascinato da un corpo di massa M tramite un filo (inestensibile e privo di massa) passante per una carrucola (di raggio r e massa m(c)) e avvolto su d'una sporgenza del cilindro anch'essa cilindrica (che si potrà trascurare per il calcolo del momento di inerzia) di raggio uguale a quello della carrucola.
Calcolare l'accelerazione del sistema.

Credo che questo sia una tipologia abbastanza "classica" per quanto riguarda gli esercizi sul corpo rigido. Vi espongo il mio svolgimento fino al punto per me cruciale, ossia il momento in cui bisogna trovare le relazioni tra le varie accelerazioni dei corpi.

Sia positivo il verso orario:

corpo M: $Mg-T_2=Ma_M$
carrucola: $T_2r-T_1r=Ia_(angolareC)$
cilindro (scelgo il polo A per calcolare I): $T_1(r+R)=I_Aa_(angolareA)=T_1(r+R)=3/2mR^2a_(angolareA)$

ora, abbiamo ben 3 accelerazioni "diverse" che si devono relazionare.
$Ia_(angolareC)=a_(tC)/R$
$a_(tC)=a_M$
ma $a_(angolareA)=?$

Non riesco a capire la relazione

[legendre]

L'accelerazione $a$ della massa che cade $M$ e' la stessa accelerazione del punto $P$ dove e' attaccata la fune al cilindro(cioe' a distanza $R+r$)
Questa accelerazione rispetto ad $A$ e' quindi proprio $a=d\omega(R+r)$.Per il momento d'inerzia applica Huygens:$I_(cil)+mR^2$.Hai quindi la relazione
1)$Mg-T_2=Ma$
2)$T_2(R+r)=(I_(cil)+mR^2)d\omega$
La seconda relazione che hai fatto per la carrucola la puoi trascurare benche' non vada bene perche' devi scomporre le tensioni lungo gli assi non puoi sommarli

[ghiozzo1]

scusa ma non ho ben compreso la seconda equazione che hai scritto

al posto di $T_2$ non ci dovrebbe essere $T_1$?
e perché compare la velocità angolare? La formula non dovrebbe essere del tipo
MOMENTO MECCANICO=MOMENTO d'INERZIA*ACCELERAZIONE ANGOLARE?

un'altra cosa...perchè non va bene la relazione sulla carrucola? Ho calcolato i momenti meccanici delle due tensioni rispetto al centro della carrucola, li ho sommati e li ho eguagliati al momento d'inerzia della carrucola per l'accelerazione...mmm....scusa ma non riesco a capire

[legendre]

I momenti meccanici vanno bene ( 1°errore mio:avevo visto invece che avevi messo la relazione del tipo $F=ma$ e non che avevi utilizzato giustamentei momenti).
2° errore mio: avevo visto il disegno ma non letto che la carrucola avesse massa.Il problema e' piu' semplice:
Quindi:
va bene la prima relazione:$Mg-T_2=Ma$
va bene la relazione :$T_1(R+r)=Id\omega=(I_(cil)+mR^2)a/(R+r)$.Il momento di inerzia e' calcolato rispetto ad A
per la carrucola allora e':$r(T_2-T_1)=I_(car)d\omega=I_(car)*a/r$

[ghiozzo1]

ma quindi, (sono un po' duro di testa eh ) fammi capire bene...

se io ho un cilindro come in questo caso, scelgo un punto (come il punto A) e voglio calcolare l'accelerazione angolare rispetto ad A...essa è uguale sempre all'accelerazione di un altro punto P del cilindro moltiplicata per la distanza PA ?

[legendre]

ogni punto P del cilindro (in questo caso assimilalo alla ruota) si muove rispetto ad A con velocita' angolare $\omega$
Tale punto ha velocita quindi $v=\omega bar(PA)$.derivalo poi rispetto al tempo ove ($bar(PA)$) e' una costante