Meccanica dei sistemi: momento di inerzia
Salve, vi propongo un problema di calcolo del momento d'inerzia preso da un compito di meccanica dato lo scorso febbraio dalla stessa prof con cui ho lo stesso esame domani 
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Da una lastra sottile e omogenea viene ricavato un triangolo equilatero di lato $L$ e massa $M$. Il triangolo viene appeso ad un vertice (punto $A$ della figura) e fatto oscillare intorno all'asse perpendicolare passante per il punto di sospensione. Prendendo come sistema di riferimento gli assi $xy$ mostrati in figura, la larghezza del triangolo in funzione della distanza dal punto di sospensione è espressa dalla relazione $w(y)=2/sqrt3y$.
(a) determinare le coordinate del centro di massa. (questo l'ho fatto e dovrebbe essere $y_(c)=L/sqrt3$, se me lo confermate vi ringrazio).
(b) Calcolare il momento di inerzia $I_a$ rispetto all'asse passante per $A$. (Suggerimento: applicate il teorema di Steiner a ciascuna striscia orizzontale e poi integrate su tutta la lastra triangolare).
L'esercizio chiede poi anche il periodo delle piccole oscillazioni, ma quel che mi preme maggiormente è il calcolo del momento di inerzia, non ho ben capito il suggerimento...
Questo è il disegnino allegato.
Ciao e grazie a tutti
.Da una lastra sottile e omogenea viene ricavato un triangolo equilatero di lato $L$ e massa $M$. Il triangolo viene appeso ad un vertice (punto $A$ della figura) e fatto oscillare intorno all'asse perpendicolare passante per il punto di sospensione. Prendendo come sistema di riferimento gli assi $xy$ mostrati in figura, la larghezza del triangolo in funzione della distanza dal punto di sospensione è espressa dalla relazione $w(y)=2/sqrt3y$.
(a) determinare le coordinate del centro di massa. (questo l'ho fatto e dovrebbe essere $y_(c)=L/sqrt3$, se me lo confermate vi ringrazio).
(b) Calcolare il momento di inerzia $I_a$ rispetto all'asse passante per $A$. (Suggerimento: applicate il teorema di Steiner a ciascuna striscia orizzontale e poi integrate su tutta la lastra triangolare).
L'esercizio chiede poi anche il periodo delle piccole oscillazioni, ma quel che mi preme maggiormente è il calcolo del momento di inerzia, non ho ben capito il suggerimento...
Questo è il disegnino allegato.
Ciao e grazie a tutti
Risposte
Il suggerimento dice in pratica che ogni striscia orizzontale ad altezza y è somma di due contributi come disse Steiner
$I_(st)(y)=I_c+ma^2=1/12(w(y))^2(rho_l*w(y))+(rho_l*w(y))y^2$
dove$(rho_l*w(y)$ è la massa ad altezza y cioè densità (costante) moltiplicata la larghezza
In teoria il tutto va integrato secondo $dy$
Dovrebbe essere giusto, ma attendiamo si faccia vivo qualcuno più ferrato
$I_(st)(y)=I_c+ma^2=1/12(w(y))^2(rho_l*w(y))+(rho_l*w(y))y^2$
dove$(rho_l*w(y)$ è la massa ad altezza y cioè densità (costante) moltiplicata la larghezza
In teoria il tutto va integrato secondo $dy$
Dovrebbe essere giusto, ma attendiamo si faccia vivo qualcuno più ferrato
Ciao, il punto a è giusto, per il punto b invece io ti consiglierei di calcolarti prima $I_(xx)$ ossia il momento rispetto alla base, relativamente facile, se non già noto a priori... Dopo dichè applichi Steiner conoscendo anche la posizione dle baricentro. Occhio però a come applichi Steiner... 
Faccio presente che,per un'assegnata distanza y ,l'indicazione $w=2/(sqrt3)y$ e' superflua.
La densita' di massa e' (massa)/(area) e dunque nel nostro caso:
$sigma=(4M)/(L^2sqrt3)$
Pertanto la massa contenuta nella striscia di lunghezza $w=(2y)/(sqrt3)$ ed altezza dy e':
$dm=wsigma dy= (2sigma)/(sqrt3)ydy $
Ricordando che il momento d'inerzia di una sbarretta sottile di lunghezza L (rispetto ad un asse passante per il centro di essa e normale alla sbarretta medesima ) e' $1/(12)ML^2$, segue che il momento d'inerzia della
striscia in questione diventa:
$dI'=1/(12)(2sigma)/(sqrt3)ydy *w^2=(2sigma)/(9sqrt3)y^3dy$
Per Steiner il momento d'inerzia della striscia rispetto ad un asse , passante per A e normale al piano del triangolo,e':
$dI=dI'+dm*y^2=(2sigma)/(9sqrt3)y^3dy+(2sigma)/(sqrt3)ydy*y^2=(20sigma)/(9sqrt3)y^3dy$
Integrando su tutta l'altezza (ovvero da 0 a $L/2sqrt3)$,si ha in definitiva:
$I=(20sigma)/(9sqrt3)*(9L^4)/16=5/3ML^2$
Per quanto riguarda il periodo delle piccolo oscillazioni,essendo il triangolo un pendolo reale,
si ricorre alla formula :
$T=2pi*sqrt(I/(Mgh))$
dove M e' la massa del triangolo,I e' il momento d'inerzia gia' calcolato ed h e' la distanza tra A ed il centro di massa ovvero l'ordinata di quest'ultimo punto ,pure nota.
karl
La densita' di massa e' (massa)/(area) e dunque nel nostro caso:
$sigma=(4M)/(L^2sqrt3)$
Pertanto la massa contenuta nella striscia di lunghezza $w=(2y)/(sqrt3)$ ed altezza dy e':
$dm=wsigma dy= (2sigma)/(sqrt3)ydy $
Ricordando che il momento d'inerzia di una sbarretta sottile di lunghezza L (rispetto ad un asse passante per il centro di essa e normale alla sbarretta medesima ) e' $1/(12)ML^2$, segue che il momento d'inerzia della
striscia in questione diventa:
$dI'=1/(12)(2sigma)/(sqrt3)ydy *w^2=(2sigma)/(9sqrt3)y^3dy$
Per Steiner il momento d'inerzia della striscia rispetto ad un asse , passante per A e normale al piano del triangolo,e':
$dI=dI'+dm*y^2=(2sigma)/(9sqrt3)y^3dy+(2sigma)/(sqrt3)ydy*y^2=(20sigma)/(9sqrt3)y^3dy$
Integrando su tutta l'altezza (ovvero da 0 a $L/2sqrt3)$,si ha in definitiva:
$I=(20sigma)/(9sqrt3)*(9L^4)/16=5/3ML^2$
Per quanto riguarda il periodo delle piccolo oscillazioni,essendo il triangolo un pendolo reale,
si ricorre alla formula :
$T=2pi*sqrt(I/(Mgh))$
dove M e' la massa del triangolo,I e' il momento d'inerzia gia' calcolato ed h e' la distanza tra A ed il centro di massa ovvero l'ordinata di quest'ultimo punto ,pure nota.
karl
Grazie a tutti! Adesso è tutto chiaro.
Ciao ciao
Ciao ciao
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