Meccanica celeste(orbite ellittiche e paraboliche)

[baldo891]

Un pianeta di massa $M$ si trova in un'orbita attorno al sole di eccentricità$e=1-\alfa$ con $\(alfa)$ molto minore di uno.Si assuma che il moto del sole si possa trascurare e che sul sistema agiscano solo forze gravitazionali.Quando il pianeta si trova nella posizione di massima distanza dal sole viene colpito da una cometa di massa $m$ molto minore della massa del pianeta,lungo una direzione tangenziale.Supponendo che la collisione sia completamente anelastica ,trovare l'energia cinetica minima che deve possedere la cometa per spostre il pianeta su un 'orbita parabolica.
Ora.... in un orbita ellittica il pianeta ha un'energia pari a:$E=-k/(2a)$dove $a$è il semiasse maggiore, poichè è noto che in un orbita parabolica il pianeta deve avere un'energia nulla , l'energia necessaria per spostare il pianeta sarà:$k/(2a)$
Ma come posso esprimere il semiasse maggiore in funzione dell'eccentricità?La relazione che lega i semiassi all'eccentricità è:$b=a sqrt(1-\epsilon^2)$. però non conosco $b$. probabilmente bisogna sfruttare il fatto che l'orbita iniziale è fortemente ellittica ma non sò come.

[baldo891]

uo

[Faussone]

Considera che se l'orbita è molto ellittica all'afelio (punto più lontano al sole) il pianeta arriva con velocità praticamente nulla per cui vale per l'energia

$-G \frac{M_s M}{a}$

Tale energia è uguale poi a quella da fornire al sistema per fargli assumere l'orbita parabolica.

EDIT: Corretto un doppio errore.

[baldo891]

scusami ma hai semplicemente riscritto quello avevo detto io.La domanda è: come posso esprimere $a$in funzione dell'eccentricità e di altri parametri noti dal testo del problema?

[Faussone]

Scusami ma pensavo il dubbio fosse se si poteva esprimere l'energia del sistema in funzione del semiasse maggiore nel caso limite in cui l'orbita è molto ellittica.
Mi pare ovvio che conoscendo solo l'eccentricità non è possibile: esistono infinite orbite molto eccentriche a diverso semiasse maggiore infatti. Occorre oltre alla massa del pianeta almeno un altro dato (semiasse o velocità in un punto noto dell'orbita)...


EDIT: Corretto messaggio precedente e precedente riferimento a quello qui.

[baldo891]

pure io ero giunto alla tua conclusione eppure i dati del problema sono quelli,secondo me bisogna sfruttare il fatto che l'orbita è fortemente ellittica, ma non riesco a capire come.

[baldo891]

altrimenti che senso avrebbe dire nel testo del problema che l'orbita è fortemente ellittica!Le nostre considerazioni valgono indipendentemente dall'eccentricità.

[Faussone]

Col solo dato dell'eccentricità, senza conoscere il semiasse maggiore, o un altro dato, non è possibile. Come dicevo esistono infinite orbite fortemente ellittiche con diverso semiasse con quei dati.

[baldo891]

non sono daccordo con la tua ultima correzione ,ti dimentichi di considerare il potenziale efficace, la formula corretta è:
$E=-k/(2a)$ Se non ti fidi puoi consultare il Goldstain (meccanica classsica terza edizione)pag 91.Cmq sono daccordo con te manca un dato,però non si sa mai!tutto qua.grazie per la pazienza

[Faussone]

Nel caso di orbita molto eccentrica il momento angolare del pianeta è nullo, mi pare corretta pertanto l'espressione senza il 2.

EDIT Avevo scritto ellittica, invece di eccentrica. Questo rendeva il messaggio un po' criptico. Spero di aver chiarito col successivo messaggio,

[baldo891]

non è così: nel caso di orbite paraboliche ellittiche e iperboliche il momento angolare è SEMPRE una costante del moto.
Infatti in un problema dove compaiono le forze centrali il momento meccanico è sempre nullo poichè la posizione e la forza sono paralleli quindi per la seconda equazione cardinale della meccanica la derivata temporale prima del momento angolare è nulla quindi il momento angolare è una costante del moto.Inoltre perchè il momento angolare dovrebbe essere nullo?anche se è nulla la velocità radiale la velocità tangenziale e comunque nonnulla.

[Faussone]

Verissimo che il momento angolare si conserva, mai detto il contrario.
Ho invece detto che in questo caso particolare il momento angolare non solo è costante ma è quasi nullo, visto che se l'orbita è molto eccentrica (e deduco sia ellittica dato che si dice che il pianeta è in orbita attorno al sole) l'orbita stessa degenera quasi in un segmento con al centro il sole. Il momento angolare pertanto è nullo visto che raggio vettore e velocità sono paralleli.

Se l'orbita è molto eccentrica nel punto più lontano dal sole il pianeta ha velocità quasi nulla rispetto al sole, per cui tutta la sua energia puramente potenziale sarà $-G \frac{M M_s}{a}$, con $a$ semiasse maggiore.

Tutto qui, o almeno così pare a me di dover interpretare un eccentricità molto vicina ad 1, considerando l'orbita ancora ellittica.
Poi può darsi si intendesse tutt'altro che però non vedo proprio ....

NB: Nei messaggi precedenti a volte ho scritto "orbita molto ellittica" (che non significa nulla) mentre volevo scrivere "orbita molto eccentrica" ovviamente.

EDIT
Forse ho capito il modo corretto di interpretare il problema.
In effetti a eccentricità pari a 1 oltre al caso limite dell'orbita a segmento c'è il caso limite di orbita quasi a parabola, che ha più senso altrimenti il pianeta impatterebbe il sole.

A quel punto l'energia del pianeta sarebbe circa $-G \frac{M M_s}{2a}$, quindi concordo con quanto dicevi.
Per la soluzione però ancora non riesco a vedere via d'uscita, dipendendo comunque dal valore di $a$. Ci penso ancora un po'....