Meccanica celeste
Un corpo celeste si avvicina al sole con velocita' iniziale vettoriale costante
$vec(v_o)$.Essendo d la distanza del sole dalla direzione di
$vec(v_o)$, calcolare la distanza minima del corpo dal sole
nel suo avvicinarsi alla stella.
Si ritengano note la massa del sole e la costante di gravitazione
universale e si suppongano i corpi di dimensioni trascurabili (puntiformi).
karl
$vec(v_o)$.Essendo d la distanza del sole dalla direzione di
$vec(v_o)$, calcolare la distanza minima del corpo dal sole
nel suo avvicinarsi alla stella.
Si ritengano note la massa del sole e la costante di gravitazione
universale e si suppongano i corpi di dimensioni trascurabili (puntiformi).
karl
Risposte
Posso fare l'ipotesi che la massa del corpo in avvicinamento sia molto più piccola di quella del sole in modo da trascurare un eventuale moto di quest'ultimo?
La velocita' $vec(v_o)$ di cui parlo e' riferita al sole
e quindi la tua ipotesi e' implicita nel testo.
Comunque riporto la risposta :
$r_(min)=(G*M)/(v_o^2)*[sqrt(1+((v_o^2*d)/(G*M))^2)-1]$
dove G ed M sono rispettivamente la costante di gravitazione
universale e la massa del sole.
Nessuno si spaventi per la formula :ci si arriva con gli
ordinari principi della Dinamica.
karl
e quindi la tua ipotesi e' implicita nel testo.
Comunque riporto la risposta :
$r_(min)=(G*M)/(v_o^2)*[sqrt(1+((v_o^2*d)/(G*M))^2)-1]$
dove G ed M sono rispettivamente la costante di gravitazione
universale e la massa del sole.
Nessuno si spaventi per la formula :ci si arriva con gli
ordinari principi della Dinamica.
karl
Va bè in attesa di risposta posto la mia soluzione.
Consideriamo un sistema di riferimento polare avente l'origine coincidente con la posizione del Sole (che rimane fissa per le ipotesi fatte). Trascurando l'influenza gravitazionale dei pianeti o di altri corpi esterni si può affermare che il sistema sia isolato; dunque è valido il principio di conservazione dell'energia meccanica $E$ e del momento angolare $L$ del sistema Sole-corpo.
L'energia meccanica è data in qualsiasi istante da
$E=1/2mv^2-(GMm)/r$ (1)
La velocità $vecv$ del corpo ha due componenti, $vecv_(||)$ parallela al raggio vettore $vecr$ e $vecv_(_|_)$ perpendicolare a quest'ultimo tali che $|vecv|^2=|vecv_(||)|^2+|vecv_(_|_)|^2$; detto $phi$ l'angolo istantaneo che il raggio vettore forma con l'asse polare $r$, tali componenti sono date da
$v_(||)=(dr)/(dt)$ e
$v_(_|_)=omegar=r(dphi)/(dt)$
quindi la (1) si riduce a
$1/2m[((dr)/(dt))^2+r^2((dphi)/(dt))^2]=E+(GMm)/r$ (2)
Il momento angolare in ogni istante di tempo $t$ è dato da
$L=mrv_(_|_)=mr*r(dphi)/(dt)$
che sappiamo essere uguale al momento angolare iniziale $L_(i)=mv_(0)d$ quindi
$r(dphi)/(dt)=(v_(0)d)/r$
sostituendo nella (2) si ottiene
$1/2m[((dr)/(dt))^2+(v_(0)^2d^2)/r^2]=E+(GMm)/r$
e risolvendo rispetto alla derivata temporale di $r$
$((dr)/(dt))^2=(2Er^2+2GMmr-mv_(0)^2d^2)/(mr^2)$
Poichè $v_(0)$ è costante come dice il testo significa che il corpo è molto lontano dal sole sicchè tutta la sua energia meccanica è quella cinetica poichè $lim_(rtoinfty)U(r)=0$. In questo modo possiamo sostituire a $E$ il valore $1/2mv_(0)^2$ ottenendo
$((dr)/(dt))^2=(v_(0)^2r^2+2GMr-v_(0)^2d^2)/r^2$
Gli eventuali punti di massimo e minimo si ottengono annullando la derivata:
$v_(0)^2r^2+2GMr-v_(0)^2d^2=0$
$r=(-GM+-sqrt(G^2M^2+v_(0)^4d^2))/v_(0)^2$
Consideriamo un sistema di riferimento polare avente l'origine coincidente con la posizione del Sole (che rimane fissa per le ipotesi fatte). Trascurando l'influenza gravitazionale dei pianeti o di altri corpi esterni si può affermare che il sistema sia isolato; dunque è valido il principio di conservazione dell'energia meccanica $E$ e del momento angolare $L$ del sistema Sole-corpo.
L'energia meccanica è data in qualsiasi istante da
$E=1/2mv^2-(GMm)/r$ (1)
La velocità $vecv$ del corpo ha due componenti, $vecv_(||)$ parallela al raggio vettore $vecr$ e $vecv_(_|_)$ perpendicolare a quest'ultimo tali che $|vecv|^2=|vecv_(||)|^2+|vecv_(_|_)|^2$; detto $phi$ l'angolo istantaneo che il raggio vettore forma con l'asse polare $r$, tali componenti sono date da
$v_(||)=(dr)/(dt)$ e
$v_(_|_)=omegar=r(dphi)/(dt)$
quindi la (1) si riduce a
$1/2m[((dr)/(dt))^2+r^2((dphi)/(dt))^2]=E+(GMm)/r$ (2)
Il momento angolare in ogni istante di tempo $t$ è dato da
$L=mrv_(_|_)=mr*r(dphi)/(dt)$
che sappiamo essere uguale al momento angolare iniziale $L_(i)=mv_(0)d$ quindi
$r(dphi)/(dt)=(v_(0)d)/r$
sostituendo nella (2) si ottiene
$1/2m[((dr)/(dt))^2+(v_(0)^2d^2)/r^2]=E+(GMm)/r$
e risolvendo rispetto alla derivata temporale di $r$
$((dr)/(dt))^2=(2Er^2+2GMmr-mv_(0)^2d^2)/(mr^2)$
Poichè $v_(0)$ è costante come dice il testo significa che il corpo è molto lontano dal sole sicchè tutta la sua energia meccanica è quella cinetica poichè $lim_(rtoinfty)U(r)=0$. In questo modo possiamo sostituire a $E$ il valore $1/2mv_(0)^2$ ottenendo
$((dr)/(dt))^2=(v_(0)^2r^2+2GMr-v_(0)^2d^2)/r^2$
Gli eventuali punti di massimo e minimo si ottengono annullando la derivata:
$v_(0)^2r^2+2GMr-v_(0)^2d^2=0$
$r=(-GM+-sqrt(G^2M^2+v_(0)^4d^2))/v_(0)^2$
Raccogliendo $(G^2M^2)/v_(0)^4$ sotto radice si arriva alla tua formula...ancora sto cercando di capire però perchè trovo due soluzioni 
Bravo Giuseppe! Stavo per cominciare a mettermici su, quando ho visto che avevi già fatto tutto... 
Penso però che la soluzione negativa vada scartata, per via del suo non significato fisico.
Penso però che la soluzione negativa vada scartata, per via del suo non significato fisico.
Concordo con Cavalli:tutto benissimo.
Complimenti.
karl
Complimenti.
karl
P.S.: ho appena visto anche la tua tesina di maturità, di nuovo complimenti... Io alle superiori, pur avendo seguito un indirizzo linguistico, non sapevo davvero armeggiare in quel modo la matematica ed anche la fisica... 
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