(Meccanica Applicata) Problema studio della cinematica del sistema
Salve a tutti,
volevo chidere aiuto su un esercizio di meccanica applicata che non riesco a risolvere, sicuramente per alcune mie lacune.
Il mio problema è sullo studio della cinematica del sistema e ho forti dubbi già dal calcolo delle velocità.
Esercizio: Determinare la velocità del punto D e del punto E sapendo che il punto A ha una velocità Va costante diretta verso destra. Nota la geometria del sistema.
Non sono riuscito ad allegare la foto del problema per dimensioni eccessive e ho dovuto caricarla su un sito esterno, spero non sia un problema... http://it.tinypic.com/r/6jojmo/9
Guardando il disegno, ho fatto i seguenti passaggi:
-Applico l'equazione fondamentale della cinematica per determinare la velocità di B rispetto al punto A (prima formula scritta sotto il disegno)
già qui sorge un problema: essendo nota solo "Va", dal movimento del sistema quando viene applicata tale velocità posso dedurre che la $ omega 2 $ (velocità angolare del corpo rigido 2) sia oraria, quindi ho rappresentato graficamente $ omega 2^^ (B-A) $ con il verso indicato nel disegno.
di tale vettore però non conosco il modulo e non so come calcolarlo (ho pensato alla trigonometria ma conosco solo un lato (Va) e un angolo (135gradi) del triangolo che si forma).
-Ho quindi calcolato sempre Vb ma questa volta rispetto al punto C (cerniera, quindi con velocità Vc=0): da tale calcolo , facendo lo stesso ragionamento precedente che mi porta a pensare che $ omega 3 $ (velocità angolare del corpo rigido 3) sia oraria, deduco che Vb in questo caso sia perpendicolare a BC e diretta verso destra ma anche in questo caso non conosco il suo modulo perchè non mi é noto il modulo di $ omega 3 $ .
Mi sono fermato qui con diversi dubbi: Ho ottenuto due diverse velocità del punto B, come ottengo la velocità assoluta di tale punto? Come determino le velocità angolari $ omega 2 $ e $ omega 3 $ ?
Spero che qualcuno possa aiutarmi perchè non riesco a capire cosa non sto considerando o quali errori sto commettendo.
volevo chidere aiuto su un esercizio di meccanica applicata che non riesco a risolvere, sicuramente per alcune mie lacune.
Il mio problema è sullo studio della cinematica del sistema e ho forti dubbi già dal calcolo delle velocità.
Esercizio: Determinare la velocità del punto D e del punto E sapendo che il punto A ha una velocità Va costante diretta verso destra. Nota la geometria del sistema.
Non sono riuscito ad allegare la foto del problema per dimensioni eccessive e ho dovuto caricarla su un sito esterno, spero non sia un problema... http://it.tinypic.com/r/6jojmo/9
Guardando il disegno, ho fatto i seguenti passaggi:
-Applico l'equazione fondamentale della cinematica per determinare la velocità di B rispetto al punto A (prima formula scritta sotto il disegno)
già qui sorge un problema: essendo nota solo "Va", dal movimento del sistema quando viene applicata tale velocità posso dedurre che la $ omega 2 $ (velocità angolare del corpo rigido 2) sia oraria, quindi ho rappresentato graficamente $ omega 2^^ (B-A) $ con il verso indicato nel disegno.
di tale vettore però non conosco il modulo e non so come calcolarlo (ho pensato alla trigonometria ma conosco solo un lato (Va) e un angolo (135gradi) del triangolo che si forma).
-Ho quindi calcolato sempre Vb ma questa volta rispetto al punto C (cerniera, quindi con velocità Vc=0): da tale calcolo , facendo lo stesso ragionamento precedente che mi porta a pensare che $ omega 3 $ (velocità angolare del corpo rigido 3) sia oraria, deduco che Vb in questo caso sia perpendicolare a BC e diretta verso destra ma anche in questo caso non conosco il suo modulo perchè non mi é noto il modulo di $ omega 3 $ .
Mi sono fermato qui con diversi dubbi: Ho ottenuto due diverse velocità del punto B, come ottengo la velocità assoluta di tale punto? Come determino le velocità angolari $ omega 2 $ e $ omega 3 $ ?
Spero che qualcuno possa aiutarmi perchè non riesco a capire cosa non sto considerando o quali errori sto commettendo.
Risposte
Se C è una cerniera fissa:
Atto di moto istantaneo asta AB
Traslazione
Atto di moto istantaneo asta DE
Rotazione rispetto al punto d'intersezione tra CD e la sua perpendicolare passante per E
Grazie mille per la risposta.
Ti confermo che C è una cerniera fissa.
Puoi spiegarmi in modo più dettagliato ciò che hai scritto?
Devo determinare il centro d'istantanea rotazione per l'asta AB (Teorema di Charles)? In tal caso dovrei tracciare le perpendicolari alle velocità Va e Vb per identificarlo, ma non conosco Vb.
Oppure non intendevi questo quando hai parlato di "Atto di moto istantaneo asta AB"?
Sto cercando di comprendere a pieno tale materia e vorrei evitare di avere dubbi sui singoli passaggi e fare errori grossolani in futuro.
Grazie in anticipo per la risposta
Ti confermo che C è una cerniera fissa.
Puoi spiegarmi in modo più dettagliato ciò che hai scritto?
Devo determinare il centro d'istantanea rotazione per l'asta AB (Teorema di Charles)? In tal caso dovrei tracciare le perpendicolari alle velocità Va e Vb per identificarlo, ma non conosco Vb.
Oppure non intendevi questo quando hai parlato di "Atto di moto istantaneo asta AB"?
Sto cercando di comprendere a pieno tale materia e vorrei evitare di avere dubbi sui singoli passaggi e fare errori grossolani in futuro.
Grazie in anticipo per la risposta
Poichè B ruota rispetto a C, la velocità di B è parallela alla velocità di A.
Ok perfetto, quindi Vb è la seconda che ho scritto sel disegno...
La prima Vb che ho calcolato invece (quella riespetto ad A) alla fine non serve a niente?
La prima Vb che ho calcolato invece (quella riespetto ad A) alla fine non serve a niente?
Più semplicemente, poichè l'atto di moto istantaneo dell'asta AB è traslatorio:
A questo punto, puoi ricavare $|vecv_D|$ e $|vecv_E|$. Per esempio:
Prova tu a concludere.
$|vecv_B|=|vecv_A|$
A questo punto, puoi ricavare $|vecv_D|$ e $|vecv_E|$. Per esempio:
$|vecv_D|=bar(CD)/bar(CB)|vecv_B|$
Prova tu a concludere.
"anonymous_0b37e9":
Più semplicemente, poichè l'atto di moto istantaneo dell'asta AB è traslatorio:
$|vecv_B|=|vecv_A|$
A questo punto, puoi ricavare $|vecv_D|$ e $|vecv_E|$. Per esempio:
$|vecv_D|=bar(CD)/bar(CB)|vecv_B|$
Prova tu a concludere.
ok quindi nell'istante considerato l'asta AB non sta ruotando ma semplicementre traslando , per questo la velocità è uguale in tutti i punti dell'asta.
Ora ho compreso ciò che hai scritto nel messaggio precedente: se traccio la perpendicolare all'asta CD passante per il punto E,l'intersezione mi da praticamente il centro della "rotazione" che stanno compiendo i punti D ed E in quell'istante, quindi ovviamente Ve andrà verso il basso e avrà modulo uguale a Vd.
Grazie mille per la spiegazione!
PS: Dato che il problema impone Va costante, quindi l'accelerazione di A sarà 0.
Sarà quindi nulla anche l`accelerazione di B? (se l'asta sta traslando dovrebbe essere nulla l'accelerazione di B)
Per concludere:
Avendo determinato le velocità in un particolare istante, il procedimento seguito non dipende dalla dipendenza dal tempo di $vecv_A$. Il fatto che $vecv_A$ sia costante andrebbe considerato se si volessero determinare le velocità in un istante qualsiasi. Tuttavia, non credo sia questo il caso:
Io lo interpreto così. Ad ogni modo, non conoscendo il livello di difficoltà degli esercizi proposti durante il corso, potrei sbagliarmi.
$|vecv_E|=(sqrt2/2bar(DE))/(sqrt2/2bar(DE))|vecv_D|=|vecv_D|$
"Mike9490":
Dato che il problema impone $vecv_A$ costante ...
Avendo determinato le velocità in un particolare istante, il procedimento seguito non dipende dalla dipendenza dal tempo di $vecv_A$. Il fatto che $vecv_A$ sia costante andrebbe considerato se si volessero determinare le velocità in un istante qualsiasi. Tuttavia, non credo sia questo il caso:
"Mike9490":
Nota la geometria del sistema.
Io lo interpreto così. Ad ogni modo, non conoscendo il livello di difficoltà degli esercizi proposti durante il corso, potrei sbagliarmi.
"anonymous_0b37e9":
Per concludere:
$|vecv_E|=(sqrt2/2bar(DE))/(sqrt2/2bar(DE))|vecv_D|=|vecv_D|$
[quote="Mike9490"]
Dato che il problema impone $vecv_A$ costante ...
Avendo determinato le velocità in un particolare istante, il procedimento seguito non dipende dalla dipendenza dal tempo di $vecv_A$. Il fatto che $vecv_A$ sia costante andrebbe considerato se si volessero determinare le velocità in un istante qualsiasi. Tuttavia, non credo sia questo il caso:
"Mike9490":
Nota la geometria del sistema.
Io lo interpreto così. Ad ogni modo, non conoscendo il livello di difficoltà degli esercizi proposti durante il corso, potrei sbagliarmi.[/quote]
Mi sono ritrovato alla perfezione nella spiegazione delle velocità e penso/spero di aver compreso tutto.
Sinceramente la traccia dell'esercizio non specifica se l'analisi deve essere fatta per un istante qualsiasi oppure in un particolare istante...
Solitamente utilizziamo gli angoli forniti nello schema del sistema per determinate i moduli di velocità o accelerazioni(a livello grafico), quindi ciò mi fa pensare che l'analisi sia riferita a quell'istante preciso ma ho sempre qualche dubbio.
In questo caso particolare però so solo che $ vecv_A $ è costante e tra le richieste devo determinare anche l'accelerezione del punto D.
Tale accelerazione dovrebbe essere il doppio di quella in B (data la rotazione dell'asta attorno alla cerniera C).
Come determino quindi l'accelerazione di B?
"Mike9490":
Solitamente utilizziamo gli angoli forniti nello schema del sistema per determinate i moduli di velocità o accelerazioni (a livello grafico), quindi ciò mi fa pensare che l'analisi sia riferita a quell'istante preciso ma ho sempre qualche dubbio.
Direi che è proprio così. Tuttavia, se sono richieste anche le accelerazioni, quell'informazione è fondamentale. Dal punto di vista analitico, determinando $veca_B$ in due modi diversi:
Asta AB
$[vecv_A=vecv_B] ^^ [veca_A=0]$
$vecv_B=vecv_A+vec\omega_(AB)xx(B-A) rarr$
$rarr veca_B=veca_A+(dvec\omega_(AB))/(dt)xx(B-A)+vec\omega_(AB)xx(vecv_B-vecv_A) rarr$
$rarr veca_B=(dvec\omega_(AB))/(dt)xx(B-A)$
Asta CD
$[vecv_A=vecv_B] ^^ [vecv_C=0]$
$vecv_B=vec\omega_(CD)xx(B-C) rarr$
$rarr veca_B=(dvec\omega_(CD))/(dt)xx(B-C)+vec\omega_(CD)xx(vecv_B-vecv_C) rarr$
$rarr veca_B=(dvec\omega_(CD))/(dt)xx(B-C)+vec\omega_(CD)xxvecv_A$
si ricava la seguente equazione vettoriale:
$(dvec\omega_(AB))/(dt)xx(B-A)=(dvec\omega_(CD))/(dt)xx(B-C)+vec\omega_(CD)xxvecv_A$
Poichè, tralasciando le unità di misura:
$B-A=sqrt2/20veci+sqrt2/20vecj$
$B-C=3/20vecj$
$vecv_A=3/2veci$
$vec\omega_(CD)=-10veck$
$(dvec\omega_(AB))/(dt)xx(B-A)=|(veci,vecj,veck),(0,0,dotomega_(AB)),(sqrt2/20,sqrt2/20,0)|=-sqrt2/20dotomega_(AB)veci+sqrt2/20dotomega_(AB)vecj$
$(dvec\omega_(CD))/(dt)xx(B-C)=|(veci,vecj,veck),(0,0,dotomega_(CD)),(0,3/20,0)|=-3/20dotomega_(CD)veci$
$vec\omega_(CD)xxvecv_A=|(veci,vecj,veck),(0,0,-10),(3/2,0,0)|=-15vecj$
$-sqrt2/20dotomega_(AB)veci+sqrt2/20dotomega_(AB)vecj=-3/20dotomega_(CD)veci-15vecj$
è possibile determinare $dotomega_(AB)$ e $dotomega_(CD)$:
$\{(-sqrt2/20dotomega_(AB)=-3/20dotomega_(CD)),(sqrt2/20dotomega_(AB)=-15):} rarr \{(dotomega_(AB)=-150sqrt2),(dotomega_(CD)=100):}$
A questo punto, non rimane che determinare $veca_D$:
Asta CD
$vecv_C=0$
$vecv_D=vec\omega_(CD)xx(D-C) rarr$
$rarr veca_D=(dvec\omega_(CD))/(dt)xx(D-C)+vec\omega_(CD)xx(vecv_D-vecv_C) rarr$
$rarr veca_D=(dvec\omega_(CD))/(dt)xx(D-C)+vec\omega_(CD)xxvecv_D$
Poichè:
$D-C=3/10vecj$
$vecv_D=3veci$
$(dvec\omega_(CD))/(dt)xx(D-C)=|(veci,vecj,veck),(0,0,100),(0,3/10,0)|=-30veci$
$vec\omega_(CD)xxvecv_D=|(veci,vecj,veck),(0,0,-10),(3,0,0)|=-30vecj$
si ha:
$veca_D=-30veci-30vecj$
Spiegazione perfetta, ho compreso tutto a pieno.
Grazie mille per la risposta.
Grazie mille per la risposta.
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