[Meccanica] Anello che striscia sul pavimento
Una ginnasta impartisce al suo cerchio, un anello sottile di plastica, omogeneo, di raggio $ R = 45.0 cm $ e massa $ M = 310 g $, appoggiato verticalmente su un pavimento orizzontale, una velocità iniziale (riferita al suo centro di massa) in avanti pari a $v_0 = 4.94 m/s $ e una velocità angolare iniziale pari a $ω_0 = 14.2 \frac{rad}{s} $ che lo fa ruotare indietro, ovvero in senso opposto a quello in cui ruoterebbe se rotolasse senza strisciare sotto l’effetto di $v_0$. Lo strisciamento rallenta il moto del centro di massa fino ad invertire la sua direzione di moto, facendo poi ritornare il cerchio indietro verso la ginnasta. Il coefficiente di attrito dinamico tra cerchio e pavimento è $ μ = 0.47 $.
Indicando con $t_0 = 0 $ l’istante iniziale, calcolare l'istante di tempo $ t_1 $in cui il centro di massa del cerchio inverte la sua velocità e l’istante di tempo $ t_2>t_1 $ in cui cessa lo strisciamento tra cerchio e pavimento.
Ho trovato (usando il teorema dell'impulso) $t_1=1.07 s $(risultato confermato dal testo), ma non riesco a trovare $t_2$.
Qualcuno saprebbe indicarmi come procedere per trovarlo?
Grazie.
Indicando con $t_0 = 0 $ l’istante iniziale, calcolare l'istante di tempo $ t_1 $in cui il centro di massa del cerchio inverte la sua velocità e l’istante di tempo $ t_2>t_1 $ in cui cessa lo strisciamento tra cerchio e pavimento.
Ho trovato (usando il teorema dell'impulso) $t_1=1.07 s $(risultato confermato dal testo), ma non riesco a trovare $t_2$.
Qualcuno saprebbe indicarmi come procedere per trovarlo?
Grazie.
Risposte
Esercizio interessante !
Orientiamo l'asse $x$ su cui rotola l'anello nello stesso verso del vettore velocità iniziale $vecv_0$, cioè per intenderci da sinistra verso destra, con l'origine nella posizione iniziale del punto di contatto dell'anello col suolo.
Supponiamo dapprima che all'istante $t_0 = 0$ venga impressa all'anello solo la velocità di traslazione anzidetta $vecv_0$, per esempio mediante un colpetto iniziale, per cui se il moto fosse di rotolamento puro l'anello si metterebbe in moto con velocità angolare costante di valore :
$\omega = v_0/R = 10.97 (rad)/s$
che farebbe rotolare l'anello in senso orario : guardando la figura, l'anello si sposterebbe con rotolamento puro da sinistra a destra, con velocità di traslazione costante; infatti la velocità lineare iniziale non aumenta perché il testo non dice che c'è una forza agente con continuità, l'impulso è stato solo quello iniziale.
Per cui sarebbe : $x = vt = v_0t$
$\theta = \omegat = v_0/Rt = x/R $ .
Ma in realtà ora all'anello è impressa anche una velocità angolare iniziale antioraria $\omega_0$ che, se agisse da sola, farebbe ruotare l'anello in senso antiorario. Quindi l'azione combinata di $v_0$ e di $\omega_0$ fa strisciare l'anello, il quale avanza inizialmente verso destra, ma con moto traslatorio uniformemente ritardato, fino a fermarsi e poi tornare indietro.
Questo vuol dire che durante il moto sta agendo una forza di attrito di valore $|F_x| = \mu*mg $ , che non è altro che la componente secondo l'asse $x$ della reazione vincolare esercitata dal piano sull'anello (la componente verticale della reazione vincolare equilibria il peso). Tale forza deve essere diretta verso sinistra perché deve ritardare il moto. Percio si possono scrivere le due equazioni cardinali della dinamica ($\theta$ indica l'angolo di cui ruota in senso antiorario il raggio inizialmente verticale) :
$mddotx = F_x = - \mu*mg$
$mR^2ddot\theta = RF_x = -R\mu*mg$
La seconda eq. cardinale è scritta prendendo come polo il cdm dell'anello, cioè il suo centro. Ma essa serve per capire che l'accelerazione angolare vale : $ -(\mu*g)/R$.
Percio, tenendo presenti le condizioni iniziali (per $t=0$ sono nulli la posizione e l'angolo, mentre : $dotx(0) = v_0$ e $ dot\theta(0) = \omega_0$ ), si possono integrare le due equazioni :
$ddotx = -\mug$
$dotx = v_0 - \mu*g*t$
$x = v_0t - 1/2\mu*g*t^2$
e analogamente :
$ddot\theta = - (\mug)/R$
$dot\theta = \omega_0 - (\mug)/Rt$
$\theta = \omega_0t - 1/2(\mug)/Rt^2$
Tieni ora presente che la velocità del punto P di contatto tra anello e piano non è nulla , come sarebbe nel rotolamento puro, ma :
$ v_P = dotx + Rdot\theta = (v_0 + R\omega_0) - 2\mu*g*t $
(basta sommare le due relazioni scritte per $dotx$ e $Rdot\theta$).
Adesso, lo strisciamento cessa nel momento $t_2$ in cui la velocità del punto di contatto si annulla :
$ (v_0 + R\omega_0) - 2\mu*g*t_2 = 0 $
da cui, sostituendo i valori numerici , si trova : $t_2 = (v_0 + R\omega_0)/(2\mu*g) = 1.23 s $
Dopo questo istante, l'anello non striscia più . LA forza di attrito diventa uguale a zero. L'anello potrebbe tornare indietro o continuare verso destra con rotolamento puro o fermarsi, dipende dai valori iniziali della velocità lineare $v_0$ e della velocità angolare $\omega_0$. Il testo dell'esercizio dice che torna indietro. In generale:
1) se $v_0 < R\omega_0$ , l'anello torna indietro (ed infatti è il tuo caso)
2) se $v_0 > R\omega_0$ , l'anello si allontana ancora nella stessa direzione
3) se $v_0 = R\omega_0$ , l'anello si arresta.
Può sembrare strano, a prima vista, che l'istante di fine strisciamento sia successivo all'istante in cui si arresta il cdm dell'anello. Ma non lo è, proprio in virtù del fatto che c'è lo strisciamento : quando il cdm si è fermato, l'anello continua per un breve tempo a ruotare strisciando sul piano, finchè si arresta, e succede quello detto sopra.
Orientiamo l'asse $x$ su cui rotola l'anello nello stesso verso del vettore velocità iniziale $vecv_0$, cioè per intenderci da sinistra verso destra, con l'origine nella posizione iniziale del punto di contatto dell'anello col suolo.
Supponiamo dapprima che all'istante $t_0 = 0$ venga impressa all'anello solo la velocità di traslazione anzidetta $vecv_0$, per esempio mediante un colpetto iniziale, per cui se il moto fosse di rotolamento puro l'anello si metterebbe in moto con velocità angolare costante di valore :
$\omega = v_0/R = 10.97 (rad)/s$
che farebbe rotolare l'anello in senso orario : guardando la figura, l'anello si sposterebbe con rotolamento puro da sinistra a destra, con velocità di traslazione costante; infatti la velocità lineare iniziale non aumenta perché il testo non dice che c'è una forza agente con continuità, l'impulso è stato solo quello iniziale.
Per cui sarebbe : $x = vt = v_0t$
$\theta = \omegat = v_0/Rt = x/R $ .
Ma in realtà ora all'anello è impressa anche una velocità angolare iniziale antioraria $\omega_0$ che, se agisse da sola, farebbe ruotare l'anello in senso antiorario. Quindi l'azione combinata di $v_0$ e di $\omega_0$ fa strisciare l'anello, il quale avanza inizialmente verso destra, ma con moto traslatorio uniformemente ritardato, fino a fermarsi e poi tornare indietro.
Questo vuol dire che durante il moto sta agendo una forza di attrito di valore $|F_x| = \mu*mg $ , che non è altro che la componente secondo l'asse $x$ della reazione vincolare esercitata dal piano sull'anello (la componente verticale della reazione vincolare equilibria il peso). Tale forza deve essere diretta verso sinistra perché deve ritardare il moto. Percio si possono scrivere le due equazioni cardinali della dinamica ($\theta$ indica l'angolo di cui ruota in senso antiorario il raggio inizialmente verticale) :
$mddotx = F_x = - \mu*mg$
$mR^2ddot\theta = RF_x = -R\mu*mg$
La seconda eq. cardinale è scritta prendendo come polo il cdm dell'anello, cioè il suo centro. Ma essa serve per capire che l'accelerazione angolare vale : $ -(\mu*g)/R$.
Percio, tenendo presenti le condizioni iniziali (per $t=0$ sono nulli la posizione e l'angolo, mentre : $dotx(0) = v_0$ e $ dot\theta(0) = \omega_0$ ), si possono integrare le due equazioni :
$ddotx = -\mug$
$dotx = v_0 - \mu*g*t$
$x = v_0t - 1/2\mu*g*t^2$
e analogamente :
$ddot\theta = - (\mug)/R$
$dot\theta = \omega_0 - (\mug)/Rt$
$\theta = \omega_0t - 1/2(\mug)/Rt^2$
Tieni ora presente che la velocità del punto P di contatto tra anello e piano non è nulla , come sarebbe nel rotolamento puro, ma :
$ v_P = dotx + Rdot\theta = (v_0 + R\omega_0) - 2\mu*g*t $
(basta sommare le due relazioni scritte per $dotx$ e $Rdot\theta$).
Adesso, lo strisciamento cessa nel momento $t_2$ in cui la velocità del punto di contatto si annulla :
$ (v_0 + R\omega_0) - 2\mu*g*t_2 = 0 $
da cui, sostituendo i valori numerici , si trova : $t_2 = (v_0 + R\omega_0)/(2\mu*g) = 1.23 s $
Dopo questo istante, l'anello non striscia più . LA forza di attrito diventa uguale a zero. L'anello potrebbe tornare indietro o continuare verso destra con rotolamento puro o fermarsi, dipende dai valori iniziali della velocità lineare $v_0$ e della velocità angolare $\omega_0$. Il testo dell'esercizio dice che torna indietro. In generale:
1) se $v_0 < R\omega_0$ , l'anello torna indietro (ed infatti è il tuo caso)
2) se $v_0 > R\omega_0$ , l'anello si allontana ancora nella stessa direzione
3) se $v_0 = R\omega_0$ , l'anello si arresta.
Può sembrare strano, a prima vista, che l'istante di fine strisciamento sia successivo all'istante in cui si arresta il cdm dell'anello. Ma non lo è, proprio in virtù del fatto che c'è lo strisciamento : quando il cdm si è fermato, l'anello continua per un breve tempo a ruotare strisciando sul piano, finchè si arresta, e succede quello detto sopra.
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