Mecc. Quantistica. Com'è fatto l'aggiunto di un vettore di operatori?
'giorno a tutti. Ho un problema più che altro algebrico nello svolgere un esercizio di meccanica quantistica.
Il problema è questo: mi viene dato un vettore di operatori a=(a1,a2). a1 e a2 sono definiti dalle loro relazioni di commutazione.
Cioè si ha $ [a_i,a_j]=[bar(a_i),bar(a_j)]=0 $ e $ [a_i, bar(a_j)]=delta_{ij} $ per ogni i,j e dove la barra indica l'aggiunto (non so come si faccia la daga).
Quindi il vettore viene ruotato attraverso la matrice: M=$ ( ( cos(t) , sin(t) ),( -sin(t) , cos(t) ) ) $ con t reale.
E si definisce il nuovo vettore di operatori come A=M a e mi si chiede di trovare le relazioni di commutazione tra A1, A2 e i relativi aggiunti.
Dunque si dimostra molto semplicemente che [A_i,A_j]=0 e idem i loro aggiunti.
Quello che non riesco a fare è ottenere esplicitamente $bar(a)$ per fare $[A_i, bar(A_j)]$.
L'esercizio viene risolto sbrigativamente in questo modo $[A_i,bar(A_j)]=M_{ia}M_{jb}[a_i, bar(a_j)]= delta_{ij} $, ma come detto non riesco a verificarlo non avendo capito com'è fatto $bar(a)$.
Qualcuno sa aiutarmi?
p.s. a1 e a2 più tardi nell'esercizio si dimostrano essere gli operatori di abbassamento per 2 oscillatori armonici. forse può essere d'aiuto.
Il problema è questo: mi viene dato un vettore di operatori a=(a1,a2). a1 e a2 sono definiti dalle loro relazioni di commutazione.
Cioè si ha $ [a_i,a_j]=[bar(a_i),bar(a_j)]=0 $ e $ [a_i, bar(a_j)]=delta_{ij} $ per ogni i,j e dove la barra indica l'aggiunto (non so come si faccia la daga).
Quindi il vettore viene ruotato attraverso la matrice: M=$ ( ( cos(t) , sin(t) ),( -sin(t) , cos(t) ) ) $ con t reale.
E si definisce il nuovo vettore di operatori come A=M a e mi si chiede di trovare le relazioni di commutazione tra A1, A2 e i relativi aggiunti.
Dunque si dimostra molto semplicemente che [A_i,A_j]=0 e idem i loro aggiunti.
Quello che non riesco a fare è ottenere esplicitamente $bar(a)$ per fare $[A_i, bar(A_j)]$.
L'esercizio viene risolto sbrigativamente in questo modo $[A_i,bar(A_j)]=M_{ia}M_{jb}[a_i, bar(a_j)]= delta_{ij} $, ma come detto non riesco a verificarlo non avendo capito com'è fatto $bar(a)$.
Qualcuno sa aiutarmi?
p.s. a1 e a2 più tardi nell'esercizio si dimostrano essere gli operatori di abbassamento per 2 oscillatori armonici. forse può essere d'aiuto.
Risposte
L'aggiunto di una matrice in generale è la trasposta coniugata. Vale lo stesso anche per i vettori.
Per esempio gli operatori di abbassamento-innalzamento sono definiti come
$a_(-)=c(ip+momegax)$, il suo trasposto coniugato, che è anche hermitiano in questo caso, è $a_+$
Per esempio gli operatori di abbassamento-innalzamento sono definiti come
$a_(-)=c(ip+momegax)$, il suo trasposto coniugato, che è anche hermitiano in questo caso, è $a_+$
Ciao spremiagrumi, grazie per la risposta.
Conosco le cose hai detto, ma io non ho ancora l'espressione esplicita degli a. Cioè ancora non so che a=c(ip + m wx). So solo che a è un vettore di due operatori a1 e a2 e voglio il suo aggiunto (da cui poi ricavo l'hermitianità, da cui poi riscrivo l'hamiltoniana in un certo modo, da cui poi capisco che a1 e a2 sono op. di abbassamento per osc. armonici, da cui finalmente ricavo l'espressione esplicita che hai scritto tu)
Conosco le cose hai detto, ma io non ho ancora l'espressione esplicita degli a. Cioè ancora non so che a=c(ip + m wx). So solo che a è un vettore di due operatori a1 e a2 e voglio il suo aggiunto (da cui poi ricavo l'hermitianità, da cui poi riscrivo l'hamiltoniana in un certo modo, da cui poi capisco che a1 e a2 sono op. di abbassamento per osc. armonici, da cui finalmente ricavo l'espressione esplicita che hai scritto tu)
Non ti serve sapere come sono fatti gli $a$ comunque, ti imposto l'esercizio, ne ho fatto un pezzo e sembra tornare
Semplicemente scrivi $A=(cos(t)a_1+sin(t)a_2,-sin(t)a_1+cos(t)a_2)$
$bar(A)=(cos(t)bar(a_1)+sin(t)bar(a_2),-sin(t)bar(a_1)+cos(t)bar(a_2))$
Naturalmente $A=(A_1,A_2)$
Svolgiamo in modo esplicito questo calcolo
$[A_1,bar(A)_1]=(cos(t)a_1+sin(t)a_2)(cos(t)bar(a_1)+sin(t)bar(a_2))$
Non ti resta che svolgere questo prodotto stando attento alle relazioni di commutazione (senza di quelle non puoi fare nulla). Ti dovrebbe restare $cos^2+sin^2=1$
L'altro non lo ho fatto $[A_1,bar(A_2)]$ ma dovrebbe tornare senza troppi patemi.
Semplicemente scrivi $A=(cos(t)a_1+sin(t)a_2,-sin(t)a_1+cos(t)a_2)$
$bar(A)=(cos(t)bar(a_1)+sin(t)bar(a_2),-sin(t)bar(a_1)+cos(t)bar(a_2))$
Naturalmente $A=(A_1,A_2)$
Svolgiamo in modo esplicito questo calcolo
$[A_1,bar(A)_1]=(cos(t)a_1+sin(t)a_2)(cos(t)bar(a_1)+sin(t)bar(a_2))$
Non ti resta che svolgere questo prodotto stando attento alle relazioni di commutazione (senza di quelle non puoi fare nulla). Ti dovrebbe restare $cos^2+sin^2=1$
L'altro non lo ho fatto $[A_1,bar(A_2)]$ ma dovrebbe tornare senza troppi patemi.
ok, nella soluzione del testo c'è un errore di calcolo (o più probabilmente di battitura dato che poi a lui viene giusto) e io l'ho copiato senza svolgerlo.
Coi conti giusti viene senza problemi. Gracias anyway!!
Coi conti giusti viene senza problemi. Gracias anyway!!
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