Matrici unitarie.
Buonasera, ho difficoltà a capire cosa siano le matrici unitarie. Sono hermitiane? Non rappresentano osservabili, ma trasformazioni canoniche? Se devo passare da una base $ { |e_1>,|e_2> }$ a una base ${ cos\theta |e_1>+ sin\theta |e_2> , -sin\theta |e_1> + cos\theta |e_2>} $ qual è la matrice unitaria che rappresenta la trasformazione ? In realtà intuitivamente ci sono e so che devo mettere in colonna i coefficienti della base di arrivo espressi nella base di partenza, ma perché ? Cosa mi sfugge e qual è l'operazione matematica che precede ciò ? In algebra in cosa consiste? Perché non mi pare una matrice di cambio base. Dev'essere una risposta semplice, ma sfugge . Grazie
Risposte
Ciao. Quella che hai scritto è proprio una matrice di cambio di base, nello specifico una rotazione oraria nel piano di angolo $\theta$. Ti consiglio di riguardare le rotazioni che avrai fatto sicuramente in un corso di geometria o assimilabili. Detto questo una matrice, ma sarebbe meglio parlare di operatore, unitaria è del tipo
$UU^(T\star)=I$ ovvero $U^(T\star)=U^(-1)$
ovvero la sua inversa è pari alla trasposta e coniugata.
Per esercizio puoi scrivere quella matrice di rotazione e dimostrare che è unitaria.
Una matrice (operatore) hermitiana è tale che $H=H^(T\star)$ e visto che una matrice hermitiana è diagonalizzabile mediante matrici unitarie, la loro relazione è molto stretta.
Inoltre una matrice unitaria CONSERVA il prodotto (scalare) hermitiano, che è quello su cui poggia la struttura della meccanica quantistica (lo spazio è quello di Hilbert, se questo ti è di aiuto).
Fisicamente: visto che una trasformazione unitaria cambia solo il riferimento del sistema ma conserva i prodotti scalari e dato che in meccanica quantistica ogni grandezza fisica è rappresentata mediante prodotti scalari, allora una trasformazione unitaria conserva la fisica del sistema mutandone solo la descrizione. Inoltre una ampiezza di probabilità ha al suo interno il prodotto scalare, quindi in ultima analisi ciò che davvero è importante che si conservi è l'ampiezza di probabilità che ovviamente non può cambiare solo perchè impongo rotazioni o traslazioni al mio sistema. Questo è il motivo per cui le trasf unitarie sono rilevanti in mq. Da ciò discendono tutta una serie di teoremi che probabilmente incontrerai e ti aiuteranno a gestire certe trasformazioni che magari sembrano complicate ma diventano semplici se ricondotte ad una o più trasf unitarie.
$UU^(T\star)=I$ ovvero $U^(T\star)=U^(-1)$
ovvero la sua inversa è pari alla trasposta e coniugata.
Per esercizio puoi scrivere quella matrice di rotazione e dimostrare che è unitaria.
Una matrice (operatore) hermitiana è tale che $H=H^(T\star)$ e visto che una matrice hermitiana è diagonalizzabile mediante matrici unitarie, la loro relazione è molto stretta.
Inoltre una matrice unitaria CONSERVA il prodotto (scalare) hermitiano, che è quello su cui poggia la struttura della meccanica quantistica (lo spazio è quello di Hilbert, se questo ti è di aiuto).
Fisicamente: visto che una trasformazione unitaria cambia solo il riferimento del sistema ma conserva i prodotti scalari e dato che in meccanica quantistica ogni grandezza fisica è rappresentata mediante prodotti scalari, allora una trasformazione unitaria conserva la fisica del sistema mutandone solo la descrizione. Inoltre una ampiezza di probabilità ha al suo interno il prodotto scalare, quindi in ultima analisi ciò che davvero è importante che si conservi è l'ampiezza di probabilità che ovviamente non può cambiare solo perchè impongo rotazioni o traslazioni al mio sistema. Questo è il motivo per cui le trasf unitarie sono rilevanti in mq. Da ciò discendono tutta una serie di teoremi che probabilmente incontrerai e ti aiuteranno a gestire certe trasformazioni che magari sembrano complicate ma diventano semplici se ricondotte ad una o più trasf unitarie.
Ok per quanto riguarda la matrice rappresentativa della trasformazione unitaria ci sono. Per quanto riguarda la diagonalizzazione di una matrice hermitiana, non è un operazione svolta solo dalle matrici di autovettori , ma anche da matrici unitarie?
Cosa vieta ad una matrice fatta di autovettori, di essere anche unitaria?
Infatti non ricordo se matrice di aurovettori può essere anche unitaria o se lo è sempre. Viceversa non credo. Ad esempio un esercizio mi chiedeva di dimostrare che due hamiltoniane di due oscillatori armonici che differivano l'una con l'altra solo della massa, applicando all'una o all'altra una data trasformazione unitaria vedevo che $ UH_1U^(-1)=H_2$ e da questo risultato deducevo che gli autovalori di entrambe erano gli stessi. Non so come giustificare questo se non notando una somiglianza con il teorema spettrale e quindi mi sono chiesta se le matrici unitarie e le matrici di aurovettori avessero lo stesso compito ed in questo caso ad esempio $H_2$ non fosse altro che $H_1$ diagonale
Non so mi viene in mente che $U^(-1)U=1$ quindi $UH_1U^(-1)U=H_2U$ $-->$ $UH_1=H_2U$ sembra un commutatore. Non so come collegare le cose
Mi sembra un esercizio parecchio malposto. Gli autovalori dell'oscillatore armonico non dipendono dalla massa in generale, quindi la richiesta semplicemente non ha senso. Essi saranno identici a prescindere. Puoi riportare il testo completo del problema?
Certo, potrei essermi espressa male:
Exploit the von Neumann theorem (there exists a unitary operator $U$
implementing the transformation $q → q^(˜) ≡ λ q = U q U ^(−1)$,$ p → p^(˜) ≡
λ^(−1)p = U p U ^(−1) )$ to show that the two Hamiltonians H1 and H2:
$H_1 = p^(2)/2m_1+1/(2m_1)* ω^(2)q^(2)$ , $H_2 = p^(2)/2m_2+1/(2m_2)* ω^(2)q^(2)$
have the same eigenvalues. (As a consequence the eigenvalues of the Hamiltonian of a harmonic oscillator of given ω are independent of its mass.)
Are the eigenvectors of H1 and H2 the same?
Exploit the von Neumann theorem (there exists a unitary operator $U$
implementing the transformation $q → q^(˜) ≡ λ q = U q U ^(−1)$,$ p → p^(˜) ≡
λ^(−1)p = U p U ^(−1) )$ to show that the two Hamiltonians H1 and H2:
$H_1 = p^(2)/2m_1+1/(2m_1)* ω^(2)q^(2)$ , $H_2 = p^(2)/2m_2+1/(2m_2)* ω^(2)q^(2)$
have the same eigenvalues. (As a consequence the eigenvalues of the Hamiltonian of a harmonic oscillator of given ω are independent of its mass.)
Are the eigenvectors of H1 and H2 the same?
Mai visto questo teorema. Non lo trovo nemmeno in rete, nè in italiano nè in inglese. Osservo un'altra incongruenza nella scrittura delle hamiltoniane, hanno la massa messa in punti in cui non tornano le dimensioni, dovrebbe essere del tipo $p^2/m+mq^2$. Anche sistemando questa cosa non vedo la soluzione così su due piedi. Inoltre perchè le due hamiltoniane hanno gli stessi $p,q$? In generale sarebbe $(p_1,q_1);(p_2,q_2)$ . E quel $\lambda$ nella trasformazione, è unico? E' una costante arbitraria non dipendente dalla coppia $(p,q)$ ? ( E quindi possiamo sceglierla uguale per entrambe le hamiltoniane in sostanza) Ci sono un po' di cose non dette in questo teorema, se l'enunciato è tale come l'hai riportato.
Due messaggi fa hai scritto inoltre $UH_1U^(-1)=H_2$ , ma perchè (se le H erano riferite a questo esempio)?
Due messaggi fa hai scritto inoltre $UH_1U^(-1)=H_2$ , ma perchè (se le H erano riferite a questo esempio)?
Ho omesso l'inizio dell'esercizio perchè non credevo fosse il punto focale, ma magari contestualizza:
Consider the scale transformation $q → q^(˜) = λ q , p → p^(˜)= λ^(−1)p$
where λ is an arbitrary real parameter.
a) Verify that the transformation is a canonical transformation.
Il teorema di Von Neumann è riportato sul Picasso, è enunciato alla fine della spiegazione delle trasformazioni unitarie. In pratica parte dal fatto che le trasformazioni unitarie corrispondano alle trasformazioni canoniche e che le trasformazioni $q-> q^(˜)$ e $p-> p^(˜)$ inducono su ogni osservabile la trasformazione $f(q,p)->f(q^(˜),p^(˜))$
cioè $f(q^(˜),p^(˜))=f(UqU^(-1),UpU^(-1))=Uf(p,q)U^(-1)$ . Poi scrive l'equazione agli autovalori in notazione di Dirac di un'osservabile generico ( $O|o>$ $=o|o>$ ) e fa vedere che se ad esso viene applicata la matrice unitaria $UOU^(-1)=O^(˜)$ e posto $ |o'>$ $=U|o> $ allora si ha $O^(˜)|o'>$ $=o|o'>$
Consider the scale transformation $q → q^(˜) = λ q , p → p^(˜)= λ^(−1)p$
where λ is an arbitrary real parameter.
a) Verify that the transformation is a canonical transformation.
Il teorema di Von Neumann è riportato sul Picasso, è enunciato alla fine della spiegazione delle trasformazioni unitarie. In pratica parte dal fatto che le trasformazioni unitarie corrispondano alle trasformazioni canoniche e che le trasformazioni $q-> q^(˜)$ e $p-> p^(˜)$ inducono su ogni osservabile la trasformazione $f(q,p)->f(q^(˜),p^(˜))$
cioè $f(q^(˜),p^(˜))=f(UqU^(-1),UpU^(-1))=Uf(p,q)U^(-1)$ . Poi scrive l'equazione agli autovalori in notazione di Dirac di un'osservabile generico ( $O|o>$ $=o|o>$ ) e fa vedere che se ad esso viene applicata la matrice unitaria $UOU^(-1)=O^(˜)$ e posto $ |o'>$ $=U|o> $ allora si ha $O^(˜)|o'>$ $=o|o'>$
Adesso il discorso fila molto di più. Sostanzialmente quindi, potendo scegliere $\lambda$ arbitrariamente, basta scegliere quella costante come $m^(1/2)$ (con pedice diverso per le due masse ovviamente) ed è tutto verificato poiché avresti la stessa conclusione che hai scritto, dove qui $o$ sono gli autovalori dell'oscillatore armonico.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo