Matrici infinite

[lorsalva]

Ciao ragazzi,
avrei bisogno del vostro aiuto per la seguente questione: perché gli operatori della meccanica quantistica devono necessariamente essere definiti su spazi di Hilbert infinito-dimensionali e quindi essere rappresentati con matrici infinite?
Vi ringrazio anticipatamente.
ciao

[dissonance]

Non è vero. Per certi sistemi basta uno spazio di Hilbert finito dimensionale. Vediti per esempio le primissime pagine del Sakurai in cui parla dell'esperimento di Stern - Gerlach.

[lorsalva]

Va bene. Ma il fatto che l'operatore di posizione e quello impulso devono essere definiti su spazi di Hilbert infinito-dimensionali dipende dalla relazione di commutazione?

[dissonance]

No, non direttamente. Gli spazi di dimensione finita possono ospitare solo operatori con lo spettro finito, ovviamente. Ma lo spettro dell'operatore di posizione è addirittura continuo, altro che finito. Lo stesso per l'operatore impulso.

[lorsalva]

quindi posso dire che la dimensione dello spazio su cui sono definiti gli operatori dipende esclusivamente dal loro spettro (cioè se discreto o continuo) o dipende anche da altri "parametri"?

[dissonance]

Più o meno è così ma non la prendere troppo per buona questa cosa, non sono un fisico.

[yoshiharu]

"lorsalva":quindi posso dire che la dimensione dello spazio su cui sono definiti gli operatori dipende esclusivamente dal loro spettro (cioè se discreto o continuo) o dipende anche da altri "parametri"?

Beh, se lo spettro e' continuo, si capisce da subito che ci deve essere almeno un numero infinito di autovettori indipendenti; lo stesso vale per uno spettro discreto ma con infiniti autovalori, tipo l'atomo di idrogeno.
Se hai per esempio uno spin $1/2$, ovviamente per quanto riguarda i gradi di liberta' dello spin lo spazio di Hilbert sara' bidimensionale.
Pero' (permettimi la considerazione "metafisica") in realta' si preferisce in genere (in astratto) pensare allo spazio di un sistema come un sottospazio di uno spazio di Hilbert infinito dimensionale, che poi e' lo spazio di un sistema che contiene il nostro come sottosistema (spero di essermi spiegato).
In un certo senso (prendila con le molle) "esiste un solo spazio di Hilbert", e ogni volta prendi il sottospazio che ti serve...

[rbtqwt]

Come già ti è stato detto, non necessariamente sono necessari spazi infinito-dimensionali per rappresentare un sistema fisico nell'ambito della meccanica quantistica. E' però vero che per rappresentare gli operatori posizione e impulso (diciamo, operatori che soddisfano delle particolari relazioni di commutazione, ma in forma un più forte rispetto a quelle usuali col commutatore) è necessario uno spazio infinito dimensionale, ed è conseguenza del teorema di Stone-von Neumann.