Matrice d'inerzia e assi pirncipali di inerzia

[marixg]

ciao a tutti
ecco un esercizio.
un sistema materiale omogeneo costituito da una lamina quadrata $ABCD$ di lato $2R$ e massa $m$ , e da un
semicerchio di raggio$ R $ e massa $m/2$ il cui diametro coincide con il lato $BC$ della lamina. determinare:
a) il baricentro del sistema
b)la matrice di inerzia relativa ad $A$
c)gli assi principali di inerzia relativa a $C$
io ho disegnato il mio sistema, facendo coincidere $A$ con $O$.
il baricentro del quadrato è : $(R,R)$
mentre quello del semicerchio è $(4R/(3pi),R)$
ottengo che il baricentro del sistema è $G(2R(3+(2)/pi),R)$
per i punti a e b non so come procedere, mi potreste aiutare?

[Quinzio]

Per il baricentro c'è qualcosa che non torna.
Il baricentro del semicerchio è $R(4/(3\pi),1)$, quello del quadrato, ok, $R(1,1)$.
La figura composta avrà quindi baricentro (lungo l'asse x...)
$(4R^2*R+\pi/2 R^2 (4/(3\pi)+2)R )/(4R^2+\pi/2R^2) = R/3 (6\pi+28)/(\pi+8)$

[marixg]

scusa ma come hai calcolato il baricentro del sistema?

[Quinzio]

Così:
$(M_A X_A+ M_B X_B)/(M_A + M_B)$

dove $M_A$ ad esempio è la massa (suppopnendo un densità unitaria) e $X_A$ è la posizione del baricentro.

[marixg]

e per la matrice di inerzia relativa ad A come devo procedere

[marixg]

ho ricalcolato le coordinate del baricentro del sistema a me vengono :

$Y_G=(R m +R m/2 )/ (m+m/2) =(2R+R)/2 * 2/3 =R$

$X_G=(R m +4R/(3pi) m/2 )/ (m+m/2) =R+2R/(3pi) 2/3=R/3((3pi+4)/(3pi))$

dove sta l'errore?

[Quinzio]

"marixg":ho ricalcolato le coordinate del baricentro del sistema a me vengono :
$Y_G=(R m +R m/2 )/ (m+m/2) =(2R+R)/2 * 2/3 =R$
$X_G=(R m +4R/(3pi) m/2 )/ (m+m/2) =R+2R/(3pi) 2/3=R/3((3pi+4)/(3pi))$
dove sta l'errore?

Oh cavolo, non avevo letto che la semicirconferenza ha massa $m/2$. Chiedo scusa. Ero partito subito con una densità omogenea.
In questo caso le tue formule vanno quasi bene, tranne questa (la scrivo corretta):
$X_G=(-R m +4R/(3pi) m/2 )/ (m+m/2)$
Però rispetto a prima hai modificato l'origine, va bene lo stesso, basta intendersi.
Anzi, vediamo di fare chiarezza altrimenti non ne usciamo vivi.
Mettiamo l'origine in A, poi AB lungo l'asse x (positivo) e AD lungo l'asse y (positivo).
L'ordinata del baricentro è $Y_B = R$ e non ci piove.
L'ascissa è $X_B = (Rm+(4/(3\pi)+2)R\ m/2)/(m+m/2)=R(4/3+4/(9\pi))=4R((3\pi+1)/(9\pi))$

[marixg]

benissiso.. come calcolo invece la matrice di inerzia?
devo calcolare tutti i momenti di inerzia? come si calcolano?

[sangi89]

scusate se riprendo questo argomento, ma io ho continuato a svolgere l'esercizio.
ho calcolato la matrice d'inerzia come somma della matrice d'inerzia relativa al quadrato e quella relativa al semicerchio.
per quanto riguarda la matrice 'inerzia relativa al semicerchio l'ho trovata così:

$[[A,-D,0],[-D,B,0],[0,0,C]]$ dove, poichè il sistema è piano, $A=B$ e $C=2A=2B$

Quindi

$A=I_x=m/(4m^2)\int_{0}^{2R} \int_{0}^{2R}y^2 dx dy= (4mR^2)/3$
$C=2A=(8mR^2)/3$
$D=I_(xy)=m/(4m^2)\int_{0}^{2R} \int_{0}^{2R}yx dx dy= mR^2$

Sostituisco quindi nella matrice e ottengo la matrice principale d'inerzia relativa al quadrato.
Per quanto riguarda invece la semicirconferenza, ed è quì che sono insicura, ho utilizzato il th di Steiner-Huygens, ho considerato quindi un sistema solidale alla semicirconferenza avente un asse passante per $(CB)/2$ e il baricentro della semicirconferenza, e l'altro asse lungo $CB$, quindi vado a calcolare relativamente a questo sistema di assi che vado a chiamare $T\xi\eta\gamma$
$I_\gamma=m/(\piR^2)\int_{0}^{R} \int_{-\pi}^{\pi}\rho^3 d\rho d\theta=(mR^2)/3$
Allora $I_\xi=I_\eta=I_gamma/2=(mR^2)/6$

Utilizzo quindi il th prima citato e ottengo:

$I_z=I_\gamma + m/2(4R^2+4R^2)=13/3mR^2$
$I_x=I_y=I_\\eta + m/2(4R^2)=13/6mR^2$

Ottengo quindi la matrice principale d'inerzia rispetto alla circonferenza così composta:
$13/6mR^2$$[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,2]]$
come vi sembra??

[marixg]

credo sia corretto!