Matrice di trasformazione di coordinate curvilinee
Ciao a tutti, avevo scritto questo post nella sezione di Geometria, ma non ricevendo risposta ho pensato che forse non era la sezione più adatta, quindi l'ho cancellato e provo a chiedere qui.
Ci sarebbero un po' di notazioni che mi stanno mandando in confusione in un esercizio svolto, ma con il quale non mi trovo.
Abbiamo un punto $ P $ di coordinate cilindriche $ (rho ,varphi ,x^3) $ e un vettore $ ul(v) $ di componenti $ (1, 0, -1) $ rispetto alla base locale in $ P $ associata a queste coordinate. Bisogna determinare le componenti del vettore nella base associata alle coordinate sferiche $ (r, phi, vartheta ) $ .
Partendo da come vado a trasformare i vettori di base, se chiamo $ ul(e) $ la base di partenza ed $ ul(e)' $ la base di arrivo, ho che:
$ ul(e)'_i=(partial y^h)/(partial y'^i) ul(e)_h=A_h^iul(e)_h $
dove $ y^h(y'^1,y'^2,y'^3) $ è la funzione che esprme la h-esima coordinata curvilinea iniziale in funzione delle coordinate curvilinee finali. In questo caso le $ y^h $ consisterebbero in:
$ rho =rsin vartheta $
$ varphi =phi $
$ x^3=rcosvartheta $
Le componenti finali di $ ul(v) $ si otterranno in questo modo:
$ v'^i=(A^-1)_h^i v^h $
I passaggi mi sono chiari, il mio problema è che, ancor prima di trovare la matrice inversa, nella prima formula che ho scritto leggo una matrice diversa da quella che calcola il mio libro. Leggo che sulle righe della $ A $ dovrei trovare le derivate di ogni coordinata iniziale rispetto a una fissata coordinata finale, mentre viene scritto:
$ A_h^i=( ( sinvartheta , 0 , rcosvartheta ),( 0 , 1 , 0 ),( cosvartheta , 0 , -rsinvartheta ) ) $
cioè la trasposta di quella che io leggo dalla formula iniziale.
Potreste dirmi se è un mio errore di lettura o un errore del libro?
P.S. Scusate se ho scritto più del necessario, volevo evitare di essere poco chiaro.
Ci sarebbero un po' di notazioni che mi stanno mandando in confusione in un esercizio svolto, ma con il quale non mi trovo.
Abbiamo un punto $ P $ di coordinate cilindriche $ (rho ,varphi ,x^3) $ e un vettore $ ul(v) $ di componenti $ (1, 0, -1) $ rispetto alla base locale in $ P $ associata a queste coordinate. Bisogna determinare le componenti del vettore nella base associata alle coordinate sferiche $ (r, phi, vartheta ) $ .
Partendo da come vado a trasformare i vettori di base, se chiamo $ ul(e) $ la base di partenza ed $ ul(e)' $ la base di arrivo, ho che:
$ ul(e)'_i=(partial y^h)/(partial y'^i) ul(e)_h=A_h^iul(e)_h $
dove $ y^h(y'^1,y'^2,y'^3) $ è la funzione che esprme la h-esima coordinata curvilinea iniziale in funzione delle coordinate curvilinee finali. In questo caso le $ y^h $ consisterebbero in:
$ rho =rsin vartheta $
$ varphi =phi $
$ x^3=rcosvartheta $
Le componenti finali di $ ul(v) $ si otterranno in questo modo:
$ v'^i=(A^-1)_h^i v^h $
I passaggi mi sono chiari, il mio problema è che, ancor prima di trovare la matrice inversa, nella prima formula che ho scritto leggo una matrice diversa da quella che calcola il mio libro. Leggo che sulle righe della $ A $ dovrei trovare le derivate di ogni coordinata iniziale rispetto a una fissata coordinata finale, mentre viene scritto:
$ A_h^i=( ( sinvartheta , 0 , rcosvartheta ),( 0 , 1 , 0 ),( cosvartheta , 0 , -rsinvartheta ) ) $
cioè la trasposta di quella che io leggo dalla formula iniziale.
Potreste dirmi se è un mio errore di lettura o un errore del libro?
P.S. Scusate se ho scritto più del necessario, volevo evitare di essere poco chiaro.
Risposte
Sembra anche a me quella del libro sia la trasposta, e non la matrice $A$: posso chiederti che libro stai usando? Il Romano?
Sì, Meccanica Analitica di A.Romano.
Se è la nuova edizione è una sfida persa in partenza. Quel libro conta tante di quelle improprietà ed errori che rende impossibile studiarci in maniera seria e serena. Quella della matrice delle trasformazioni è una cosa che, purtroppo, non sono mai riuscito a capire a causa dei continui indici spesso messi impropriamente, e mi spiace non poterti aiutare: capisco benissimo il tuo disagio. Suppongo tu sia un collega della mia università, anche perché non credo quel libro venga usato al di fuori della Federico II, o mi sbaglio?
Non so dove venga usato, comunque sì, sto alla Federico II. Con gli indici sto proprio impazzendo, pensi che la vecchia edizione sia migliore? Oppure conosci un altro testo utile per la parte di algebra tensoriale?
Purtroppo la vecchia edizione segue una strada molto più radicata nella geometria differenziale e quelle nozioncine sui cambiamenti di base vengono trattati in maniera abbastanza sommaria, inglobati da altri argomenti. Studiare dal Romano è veramente molto difficile, in quanto ha un suo approccio molto diverso dagli altri testi di meccanica analitica (come il Landau o il Goldstein che ti consiglio caldamente per approfondire); riguardo la parte di algebra/geometria differenziale... Resisti: il Romano nuovo cerca di arrangiare più argomenti possibili facendo un'accozzaglia terribilmente poco chiara; fai attenzione agli errori e capirai il minimo indispensabile proposto dal libro. Altrimenti, dedicati due settimane buone di studio e fatti un giro del Romano/Starita, la prima parte della vecchia edizione. Se vuoi posso passarti privatamente gli appunti presi a lezione in latex: temo di non poterti offrire altro aiuto :/
Certo, te ne sarei molto grato. In ogni caso grazie per la solidarietà 
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