Matrice di resistori
Sono incappato in un problema che inizialmente sembrava banale.
Dopo qualche ricerca in rete, mi sono convinto dell'opposto.
Provo a sottoporlo alla vostra attenzione.
Nella rete lineare in figura
I valori di resistenza dei singoli resistori sono sconosciuti.
Si conoscono invece i valori di resistenza tra tutte le combinazioni XY dei terminali della rete (quattro valori).
Le equazioni che determinano quest'ultimi sono banali, ad esempio:
R(X[size=85]1[/size], Y[size=85]1[/size]) = R[size=85]11[/size] // (R[size=85]12[/size] + R[size=85]21[/size] + R[size=85]22[/size])
Dato che le equazioni indipendenti sono quattro e le incognite pure, risulta evidente la possibilità di ottenere i valori di resistenza dei singoli resistori come funzione di quelli misurati.
Io ci ho provato, ma mi sono arreso, forse perché continuo a battere sempre la stessa strada senza uscita.
Una volta trovate queste equazioni, sarebbe bello poterle espandere a una matrice generica m x n, che sembra conservare le caratteristiche di risolvibilità della più semplice 2 x 2.
Grazie sin d'ora a chi ci voglia provare o che magari abbia qualche link all'argomento già trattato.
Dopo qualche ricerca in rete, mi sono convinto dell'opposto.
Provo a sottoporlo alla vostra attenzione.
Nella rete lineare in figura
I valori di resistenza dei singoli resistori sono sconosciuti.
Si conoscono invece i valori di resistenza tra tutte le combinazioni XY dei terminali della rete (quattro valori).
Le equazioni che determinano quest'ultimi sono banali, ad esempio:
R(X[size=85]1[/size], Y[size=85]1[/size]) = R[size=85]11[/size] // (R[size=85]12[/size] + R[size=85]21[/size] + R[size=85]22[/size])
Dato che le equazioni indipendenti sono quattro e le incognite pure, risulta evidente la possibilità di ottenere i valori di resistenza dei singoli resistori come funzione di quelli misurati.
Io ci ho provato, ma mi sono arreso, forse perché continuo a battere sempre la stessa strada senza uscita.
Una volta trovate queste equazioni, sarebbe bello poterle espandere a una matrice generica m x n, che sembra conservare le caratteristiche di risolvibilità della più semplice 2 x 2.
Grazie sin d'ora a chi ci voglia provare o che magari abbia qualche link all'argomento già trattato.
Risposte
Aggiorno l'argomento, dopo che mi è stato chiesto qualche dettaglio sulla domanda.
La questione non è teorica, anzi, tutt'altro.
Sto conducendo delle prove su termistori NTC (quelli schematizzati come resistori), in ambiente criogenico.
Il campione è composto da 256 elementi (16 x 16) di cui deve essere monitorata la resistenza in modo continuo.
Potendo fare la misura ipotizzata, il numero di conduttori con cui collegare il sensore sarebbe 32 (cosa possibile), mentre se si dovesse misurare separatamente ogni componente, bisognerebbe utilizzare 257 conduttori che costituirebbero un ponte termico con l'ambiente, incompatibile con le temperature all'interno della camera di prova (100 K circa).
Ogni milliwatt sottratto dall'interno costa un bel po' in termini di potenza del Cryo-Chiller e contrastare il ponte termico in rame costituito da 257 conduttori sarebbe troppo oneroso.
Al momento della scrittura del primo post, non avevo ancora trovato in rete della documentazione concludente, ma successivamente le cose sono cambiate: anche se sensori di questo genere non sono molto diffusi, ci sono laboratori nei quali altri come me si sono trovati con lo stesso problema.
Pare che l'inversione delle semplici equazioni del primo post non sia la strada giusta (e mi sento di confermarlo, dopo aver consumato tre matite a scrivere migliaia di Rij senza arrivare a nulla...).
Qualcuno ha invece trovato una soluzione tanto semplice, quanto geniale nell'esecuzione della misura, riuscendo a isolare il singolo resistore in una matrice m x n qualsiasi.
Il metodo prende il nome di "zero-potential scanning method" ed è illustrato in modo esemplare nella pubblicazione che si può scaricare a questo indirizzo.
https://pdfs.semanticscholar.org/7afa/68998b40407aba731aaa09fdfe1d7e8d9030.pdf
Ringrazio chi ha provato a dare soluzione, rinnovando l'offerta per la pizza.
La questione non è teorica, anzi, tutt'altro.
Sto conducendo delle prove su termistori NTC (quelli schematizzati come resistori), in ambiente criogenico.
Il campione è composto da 256 elementi (16 x 16) di cui deve essere monitorata la resistenza in modo continuo.
Potendo fare la misura ipotizzata, il numero di conduttori con cui collegare il sensore sarebbe 32 (cosa possibile), mentre se si dovesse misurare separatamente ogni componente, bisognerebbe utilizzare 257 conduttori che costituirebbero un ponte termico con l'ambiente, incompatibile con le temperature all'interno della camera di prova (100 K circa).
Ogni milliwatt sottratto dall'interno costa un bel po' in termini di potenza del Cryo-Chiller e contrastare il ponte termico in rame costituito da 257 conduttori sarebbe troppo oneroso.
Al momento della scrittura del primo post, non avevo ancora trovato in rete della documentazione concludente, ma successivamente le cose sono cambiate: anche se sensori di questo genere non sono molto diffusi, ci sono laboratori nei quali altri come me si sono trovati con lo stesso problema.
Pare che l'inversione delle semplici equazioni del primo post non sia la strada giusta (e mi sento di confermarlo, dopo aver consumato tre matite a scrivere migliaia di Rij senza arrivare a nulla...).
Qualcuno ha invece trovato una soluzione tanto semplice, quanto geniale nell'esecuzione della misura, riuscendo a isolare il singolo resistore in una matrice m x n qualsiasi.
Il metodo prende il nome di "zero-potential scanning method" ed è illustrato in modo esemplare nella pubblicazione che si può scaricare a questo indirizzo.
https://pdfs.semanticscholar.org/7afa/68998b40407aba731aaa09fdfe1d7e8d9030.pdf
Ringrazio chi ha provato a dare soluzione, rinnovando l'offerta per la pizza.
"LucianoD":
... Pare che l'inversione delle semplici equazioni del primo post non sia la strada giusta (e mi sento di confermarlo, dopo aver consumato tre matite a scrivere migliaia di Rij senza arrivare a nulla...). ...
Che non fosse la strada giusta me ne sono accorto anch'io, ma solo dopo aver postato una assurda risposta.
"LucianoD":
... Qualcuno ha invece trovato una soluzione tanto semplice, quanto geniale nell'esecuzione della misura, riuscendo a isolare il singolo resistore in una matrice m x n qualsiasi.
Per fortuna, così stanotte riuscirò a dormire sonni tranquilli.
"LucianoD":
... Ringrazio chi ha provato a dare soluzione, rinnovando l'offerta per la pizza.
Di nulla, ma spero che nessuno oltre a te l'abbia letta
.[ot]對於披薩，我當然接受邀請。!
[/ot]PS ---------------------
Ad ogni modo, numericamente la soluzione esiste, anzi ce ne sono ben quattro fra le quali, nel caso di congruenza fra i dati in ingresso, una con valori resistivi tutti positivi, ne segue che l'equazione alla quale si perverrebbe (per chi riuscisse ad ottenerla) sarebbe di quarto grado, di conseguenza la soluzione simbolica, ce la possiamo solo "sognare".
-------------------------------------------------
Sei uno studente universitario? Ricercatore? Hai accesso alle varie riviste scientifiche del settore?
"Vidocq":
Sei uno studente universitario?
Magari... Passato ormai da 40 anni quel periodo!
Sono un imprenditore.
La macchina che descrivo è parte della strumentazione R&D del laboratorio interno dell'azienda che dirigo.
Ho accesso ad alcune riviste di elettronica (non a IEEE).
Posso comunque chiedere a colleghi se hai dei riferimenti che possano essere interessanti.
@RenzoDF
Non avevo dubbi che saresti arrivato a caratterizzare l'equazione.
Se con la matrice 2x2 si è al quarto grado, con una matrice 16x16 non oso pensare.
Sono ancora stupito di come una rete con quattro resistori generi un problema praticamente irrisolvibile...
Il problema che descrivi non penso abbia una soluzione analitica, ma questo non significa niente: non ho letto e non conosco tutta la letteratura di riferimento
Esistono, comunque, vari approcci 'operativi' che permettono di ridurre il grado di complessità dello schema.
Qualche anno fa, per altri motivi, mi trovai a leggere il riassunto di questo articolo, poi scartato in quanto non utile per i miei scopi:
Esistono, comunque, vari approcci 'operativi' che permettono di ridurre il grado di complessità dello schema.
Qualche anno fa, per altri motivi, mi trovai a leggere il riassunto di questo articolo, poi scartato in quanto non utile per i miei scopi:
[*:1e46sgn7]R.S. Saxena, R.K. Bhan, Anita Aggrawal, A new discrete circuit for readout of resistive sensor arrays, Sensors and Actuators A 149 (2009) 93–99.[/*:m:1e46sgn7][/list:u:1e46sgn7]
nel quale si descrive un metodo per ridurre da $N^{2}$ ad $N$ il numero di interconnessioni di un resistive sensor arrays (per motivi legati principalmente alla diafonia).
A me interessavano metodi analitici, quindi non mi e' stato utile.
Verifica se può essere utile per il tuo problema.
Ti ringrazio del link.
Alcune precisazioni:
- il metodo permette di ridurre da mxn a m+n in numero di connessioni (o da n² a 2n nel caso di matrici quadre);
- quando parlano di crosstalking (termine alquanto ambiguo nel suo utilizzo in questo ambito), non si riferiscono alla diafonia tra i conduttori, ma all'interazione incrociata dei vari elementi della matrice con quello in misura (il secondo termine del parallelo nella formula del primo post);
- il metodo proposto è una delle varianti dello "zero-potential scanning method" citato sopra e che sarà quello che poi anche noi adotteremo.
Questo metodo (nelle sue varianti) è descritto in molte pubblicazioni nelle quali ogni ricercatore sembra descriverlo come farina del suo sacco... La variante originale più interessante è quella di Kim, Kwon, Choi (citata sopra), che riduce considerevolmente il numero di componenti attivi utilizzati e che presenta l'errore inferiore, in modo particolare quando i resistori nella matrice hanno valore resistivo vicino (che è anche il nostro caso).
Un altro fronte potrebbe essere l'approccio numerico per approssimazioni successive: con le attuali potenze di calcolo disponibili su un PC, probabilmente si potrebbe riuscire ad ottenere un risultato più che soddisfacente. Se facessi "ricerca" (a spese di qualcun altro) mi piacerebbe provarci, ma il mio obbiettivo è la soluzione al problema. Lo "zero-potential scanning method", con poca elettronica permette di ottenere accuratezze nell'ordine dello 0.01%, un ordine di grandezza oltre alle nostre specifiche.
Alcune precisazioni:
- il metodo permette di ridurre da mxn a m+n in numero di connessioni (o da n² a 2n nel caso di matrici quadre);
- quando parlano di crosstalking (termine alquanto ambiguo nel suo utilizzo in questo ambito), non si riferiscono alla diafonia tra i conduttori, ma all'interazione incrociata dei vari elementi della matrice con quello in misura (il secondo termine del parallelo nella formula del primo post);
- il metodo proposto è una delle varianti dello "zero-potential scanning method" citato sopra e che sarà quello che poi anche noi adotteremo.
Questo metodo (nelle sue varianti) è descritto in molte pubblicazioni nelle quali ogni ricercatore sembra descriverlo come farina del suo sacco... La variante originale più interessante è quella di Kim, Kwon, Choi (citata sopra), che riduce considerevolmente il numero di componenti attivi utilizzati e che presenta l'errore inferiore, in modo particolare quando i resistori nella matrice hanno valore resistivo vicino (che è anche il nostro caso).
Un altro fronte potrebbe essere l'approccio numerico per approssimazioni successive: con le attuali potenze di calcolo disponibili su un PC, probabilmente si potrebbe riuscire ad ottenere un risultato più che soddisfacente. Se facessi "ricerca" (a spese di qualcun altro) mi piacerebbe provarci, ma il mio obbiettivo è la soluzione al problema. Lo "zero-potential scanning method", con poca elettronica permette di ottenere accuratezze nell'ordine dello 0.01%, un ordine di grandezza oltre alle nostre specifiche.
Grazie per le precisazioni. Non ho mai letto l'articolo in quanto mi interessava solo l'approccio analitico al problema.
A questo punto credo che non sia interessante per le tue applicazioni, ma esistono altre pubblicazioni riguardanti proprio gli errori commessi con questi metodi.
A questo punto credo che non sia interessante per le tue applicazioni, ma esistono altre pubblicazioni riguardanti proprio gli errori commessi con questi metodi.
Come scrivevo, gli obbiettivi adesso sono altri, anche se non certo meno interessanti o impegnativi:
la validazione del metodo con il calcolo dell'errore massimo in worst-condition, e (ben più stimolante) il progetto e la realizzazione del calorimetro adiabatico all'interno del quale condurre le prove (lavorare su intervalli di temperatura tra 100 e 500 K è una sfida molto stimolante).
la validazione del metodo con il calcolo dell'errore massimo in worst-condition, e (ben più stimolante) il progetto e la realizzazione del calorimetro adiabatico all'interno del quale condurre le prove (lavorare su intervalli di temperatura tra 100 e 500 K è una sfida molto stimolante).
Come immaginavo, non ho resistito (e probabilmente ho fatto bene...).
Ho scritto un programma che ricerca i valori dei resistori della matrice minimizzando l'errore dei valori di resistenza letti tra righe e colonne della matrice stessa.
Il programma parte da una stima iniziale di valori e a ogni ciclo modifica un solo valore (quello che genera il miglior vantaggio nei termini di errore quadratico tra stima e valori letti).
Con un certo stupore ho trovato che il sistema converge sempre ai valori cercati, e lo fa in tempi estremamente contenuti. Un esempio di simulazione lo si vede qui sotto.
Arrivare allo 0.001 % in meno di 7 millisecondi non mi pare male...
Adesso bisogna vedere quanto si complicano le cose all'aumentare delle dimensioni della matrice, ma mi sembra proprio una strada da seguire!
Nota: i valori della matrice iniziale sono scelti nell'intervallo (9000 - 11000) ohm. Questo semplifica ovviamente la risoluzione, ma essendo questo l'intervallo su cui devo lavorare...
Ho scritto un programma che ricerca i valori dei resistori della matrice minimizzando l'errore dei valori di resistenza letti tra righe e colonne della matrice stessa.
Il programma parte da una stima iniziale di valori e a ogni ciclo modifica un solo valore (quello che genera il miglior vantaggio nei termini di errore quadratico tra stima e valori letti).
Con un certo stupore ho trovato che il sistema converge sempre ai valori cercati, e lo fa in tempi estremamente contenuti. Un esempio di simulazione lo si vede qui sotto.
Arrivare allo 0.001 % in meno di 7 millisecondi non mi pare male...
Adesso bisogna vedere quanto si complicano le cose all'aumentare delle dimensioni della matrice, ma mi sembra proprio una strada da seguire!
Nota: i valori della matrice iniziale sono scelti nell'intervallo (9000 - 11000) ohm. Questo semplifica ovviamente la risoluzione, ma essendo questo l'intervallo su cui devo lavorare...
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