Matrice centrale inerzia
Ho questo esercizio:
Ci sono 3 masse O, B e C rispettivamente m,m e 2m posizionate nei seguenti punti : O(0,0) B(l, 0) e C(0, l) in un piano con un riferimento di origine O, asse e1orizzontale ,asse e2 verticale e l'altro e3 perpendicolare al piano degli altri due.
Mi chiede la matrice centrale d'inerzia (cioè i momenti centrali d'inerzia).
Ora , a me il baricentro viene a (l/4 , l/2 ,0) .
Mi sono prima calcolato la matrice d'inerzia rispetto a G, e1,e2,e3 poi ho pensato che , essendo la matrice centrale fatta rispetto ad assi principali passanti per G, un asse principale passasse per OG (simmetria materiale, ma sarà veramente questo?) e poi due assi ad esso perpendicolari.
Poi ho ricavato l'angolo tra OG e l'asse e1 orizzontale e mi sono trovato la matrice del cambiamento di base gamma.
Così applicando la formula del cambiamento di base : gamma* I rispetto a G,e1e2e3 * gamma trasposta, dovrei ottenere la matrice centrale d'inerzia richiesta.
Ma non mi viene diagonale come dovrebbe essere, allora quale sarebbe il riferimento centrale d'inerzia?.
Dove sbaglio?
Grazie assai a chiunque mi vorrà aiutare, non tanto per i calcoli, ma aiutarmi a capire quale riferimento centrale vuole l'esercizio.
Ciao a tutti.
Ci sono 3 masse O, B e C rispettivamente m,m e 2m posizionate nei seguenti punti : O(0,0) B(l, 0) e C(0, l) in un piano con un riferimento di origine O, asse e1orizzontale ,asse e2 verticale e l'altro e3 perpendicolare al piano degli altri due.
Mi chiede la matrice centrale d'inerzia (cioè i momenti centrali d'inerzia).
Ora , a me il baricentro viene a (l/4 , l/2 ,0) .
Mi sono prima calcolato la matrice d'inerzia rispetto a G, e1,e2,e3 poi ho pensato che , essendo la matrice centrale fatta rispetto ad assi principali passanti per G, un asse principale passasse per OG (simmetria materiale, ma sarà veramente questo?) e poi due assi ad esso perpendicolari.
Poi ho ricavato l'angolo tra OG e l'asse e1 orizzontale e mi sono trovato la matrice del cambiamento di base gamma.
Così applicando la formula del cambiamento di base : gamma* I rispetto a G,e1e2e3 * gamma trasposta, dovrei ottenere la matrice centrale d'inerzia richiesta.
Ma non mi viene diagonale come dovrebbe essere, allora quale sarebbe il riferimento centrale d'inerzia?.
Dove sbaglio?
Grazie assai a chiunque mi vorrà aiutare, non tanto per i calcoli, ma aiutarmi a capire quale riferimento centrale vuole l'esercizio.
Ciao a tutti.
Risposte
Le coordinate di $G$ sono giuste, le ho verificate.
Però, che cosa ti fa pensare che la retta passante per $O$ e per $G$ sia un'asse di simmetria materiale?
È difficile valutare ad occhio gli assi di simmetria materiale, a meno che la distribuzione delle masse non sia evidentemente simmetrica, oppure si tratti, ad esempio, di una figura geometrica semplice, simmetrica e omogenea, cioè con densità costante.
Nel tuo caso, tieni presente che la massa in $C$ è $2m$ , quella in $O$ e in $B$ è $m$ . Non credo proprio che la retta per $OG$ sia asse di simmetria materiale.
La terna centrale di inerzia è terna principale riferita al CM : ce n'è almeno una. Nel tuo caso, credo che sia proprio una sola.
Però, che cosa ti fa pensare che la retta passante per $O$ e per $G$ sia un'asse di simmetria materiale?
È difficile valutare ad occhio gli assi di simmetria materiale, a meno che la distribuzione delle masse non sia evidentemente simmetrica, oppure si tratti, ad esempio, di una figura geometrica semplice, simmetrica e omogenea, cioè con densità costante.
Nel tuo caso, tieni presente che la massa in $C$ è $2m$ , quella in $O$ e in $B$ è $m$ . Non credo proprio che la retta per $OG$ sia asse di simmetria materiale.
La terna centrale di inerzia è terna principale riferita al CM : ce n'è almeno una. Nel tuo caso, credo che sia proprio una sola.
Sì, concordo con te sulla simmetria materiale.
Ho detto che la retta per OG è di simmetria materiale semplicemente per disperazione perchè non so proprio come trovare questa terna.
Potresti indicarmi qual è anche se l'esercizio (poco fa me lo hanno postato al completo), dice tra parentesi che non richiede la determinazione degli assi centrali d'inerzia?
Allora ci capisco sempre di meno, perchè se non devo trovare gli assi principali d'inerzia, come trovo i momenti centrali d'inerzia?
Ho detto che la retta per OG è di simmetria materiale semplicemente per disperazione perchè non so proprio come trovare questa terna.
Potresti indicarmi qual è anche se l'esercizio (poco fa me lo hanno postato al completo), dice tra parentesi che non richiede la determinazione degli assi centrali d'inerzia?
Allora ci capisco sempre di meno, perchè se non devo trovare gli assi principali d'inerzia, come trovo i momenti centrali d'inerzia?
Non hai libri, dispense o appunti su cui studiare la geometria delle masse ?
Questi sono dei buoni appunti , studia a partire da " I momenti di secondo ordine" :
http://dsg.uniroma1.it/Tocci/images/Dec ... aMasse.pdf
da essi ho tratto questa immagine , dove si dà la formula per calcolare l'angolo $\alpha$ , che un asse centrale di inerzia forma con un asse baricentrico dato :
dato il tuo sistema , che è una distribuzione piana di masse, e trovato $G$ nel piano, disegna gli assi cartesiani ortogonali passanti per $G$ e paralleli a quelli dati . Calcola i momenti di inerzia e centrifugo rispetto a questi nuovi assi . Poi applica la formula , e cosi trovi $\alpha$ .
Naturalmente quella formula si dimostra , come fa l'autore della dispensa. La fisica che sta dietro è questa : data una distribuzione piana di masse , e detto $G$ il baricentro, si considera il fascio di rette di centro $G$ . Tra tutte le rette del fascio, ce n'è almeno una rispetto alla quale il m.i. è massimo , e quindi un'altra, perpendicolare alla prima, rispetto alla quale il m.i. è minimo . Questi due, sono assi centrali di inerzia per la distribuzione piana data.
Il terzo asse centrale è perpendicolare al piano nel punto $G$ . Non devi fare molti sforzi per trovare il momento centrale di inerzia rispetto al terzo asse.
In quest' altra dispensa, si fa cenno al cerchio di Mohr , ma è la stessa cosa di prima :
http://web.math.unifi.it/users/ricci/si ... _masse.pdf
In sostanza, data una matrice di inerzia centrale, che è simmetrica, la devi diagonalizzare, trovando gli autovalori e autovettori. Ma forse sono nozioni che non hai studiato?
Questi sono dei buoni appunti , studia a partire da " I momenti di secondo ordine" :
http://dsg.uniroma1.it/Tocci/images/Dec ... aMasse.pdf
da essi ho tratto questa immagine , dove si dà la formula per calcolare l'angolo $\alpha$ , che un asse centrale di inerzia forma con un asse baricentrico dato :
dato il tuo sistema , che è una distribuzione piana di masse, e trovato $G$ nel piano, disegna gli assi cartesiani ortogonali passanti per $G$ e paralleli a quelli dati . Calcola i momenti di inerzia e centrifugo rispetto a questi nuovi assi . Poi applica la formula , e cosi trovi $\alpha$ .
Naturalmente quella formula si dimostra , come fa l'autore della dispensa. La fisica che sta dietro è questa : data una distribuzione piana di masse , e detto $G$ il baricentro, si considera il fascio di rette di centro $G$ . Tra tutte le rette del fascio, ce n'è almeno una rispetto alla quale il m.i. è massimo , e quindi un'altra, perpendicolare alla prima, rispetto alla quale il m.i. è minimo . Questi due, sono assi centrali di inerzia per la distribuzione piana data.
Il terzo asse centrale è perpendicolare al piano nel punto $G$ . Non devi fare molti sforzi per trovare il momento centrale di inerzia rispetto al terzo asse.
In quest' altra dispensa, si fa cenno al cerchio di Mohr , ma è la stessa cosa di prima :
http://web.math.unifi.it/users/ricci/si ... _masse.pdf
In sostanza, data una matrice di inerzia centrale, che è simmetrica, la devi diagonalizzare, trovando gli autovalori e autovettori. Ma forse sono nozioni che non hai studiato?
Ok.
Grazie mille per l'aiuto e il materiale fornito, veramente chiaro.
La mia perplessità, che però rimane, è che nel testo dell'esercizio viene specificato di trovare i momenti centrali d'inerzia del sistema di punti senza la determinazione degli assi centrali d'inerzia, e quindi non saprei come trovare tali momenti centrali d'inerzia senza individuare prima gli assi principali passanti per il baricentro, cioè centrali.
Grazie mille per l'aiuto e il materiale fornito, veramente chiaro.
La mia perplessità, che però rimane, è che nel testo dell'esercizio viene specificato di trovare i momenti centrali d'inerzia del sistema di punti senza la determinazione degli assi centrali d'inerzia, e quindi non saprei come trovare tali momenti centrali d'inerzia senza individuare prima gli assi principali passanti per il baricentro, cioè centrali.
E chi ti impedisce di trovare prima gli assi centrali, e poi i momenti centrali di inerzia ?
T i allego un'altra dispensa :
http://dsg.uniroma1.it/mollaiol/appunti ... _masse.pdf
da cui copio questo pezzo :
tu però devi impegnarti a studiare di più questo argomento, e a lavorare da solo, anche facendo ricerche , altrimenti non impari niente.
Ciao.
T i allego un'altra dispensa :
http://dsg.uniroma1.it/mollaiol/appunti ... _masse.pdf
da cui copio questo pezzo :
tu però devi impegnarti a studiare di più questo argomento, e a lavorare da solo, anche facendo ricerche , altrimenti non impari niente.
Ciao.
Va benissimo.
Approfondirò come mi hai suggerito .
Grazie assai per i contributi che mi hai inviato.
Del resto è anche il discutere tra noi che porta a un miglior livello di preparazione, o no?
E se ciò avviene, il forum è una mano santa.
Grazie di nuovo.
Approfondirò come mi hai suggerito .
Grazie assai per i contributi che mi hai inviato.
Del resto è anche il discutere tra noi che porta a un miglior livello di preparazione, o no?
E se ciò avviene, il forum è una mano santa.
Grazie di nuovo.
Non vedo come sia possibile trovare la matrice centrale senza gli assi principali centrali
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