Masse sovrapposte
Ciao, amici!
Sto cercando di risolvere un problemino estremamente interessante, che riguarda quattro corpi, quattro libri identici di lunghezza L, appilati a gradini sul bordo di un tavolo da cui sporgono ognuno un po' più di quello sotto, di cui si deve calcolare la massima sporgenza d, cioè la coordinata -diciamo x- della faccia sporgente del libro posto più in alto, in funzione di L (la soluzione fornita dal libro è $25/24L$). Lo trovo un problema particolarmente affascinante: è il sottile equilibrio su cui si fondano le volte...
Mi sembra semplice, perché nessun libro cada dal tavolo, dedurre che bisogna imporre -considerando di ascissa 0 lo spigolo del tavolo- che
$X_(CM)=(m\sum_{i=1}^{4}x_i)/(4m)<=0 hArr x_1+x_2+x_3+x_4<=0$
Noto anche che $d=x_4+L/2$ però i vari tentativi di risoluzione che ho fatto non mi hanno portato a nulla... Ho provato considerando le varie $x_i= L/2$+(distanza del bordo del libro dal bordo del libro sottostante), ma non l'ho trovato di troppa utilità...
Qualcuno sarebbe così gentile da suggerirmi qualcosa?
$+oo$ grazie e buon termine di feste!!!
Davide
Sto cercando di risolvere un problemino estremamente interessante, che riguarda quattro corpi, quattro libri identici di lunghezza L, appilati a gradini sul bordo di un tavolo da cui sporgono ognuno un po' più di quello sotto, di cui si deve calcolare la massima sporgenza d, cioè la coordinata -diciamo x- della faccia sporgente del libro posto più in alto, in funzione di L (la soluzione fornita dal libro è $25/24L$). Lo trovo un problema particolarmente affascinante: è il sottile equilibrio su cui si fondano le volte...
Mi sembra semplice, perché nessun libro cada dal tavolo, dedurre che bisogna imporre -considerando di ascissa 0 lo spigolo del tavolo- che
$X_(CM)=(m\sum_{i=1}^{4}x_i)/(4m)<=0 hArr x_1+x_2+x_3+x_4<=0$
Noto anche che $d=x_4+L/2$ però i vari tentativi di risoluzione che ho fatto non mi hanno portato a nulla... Ho provato considerando le varie $x_i= L/2$+(distanza del bordo del libro dal bordo del libro sottostante), ma non l'ho trovato di troppa utilità...
Qualcuno sarebbe così gentile da suggerirmi qualcosa?
$+oo$ grazie e buon termine di feste!!!
Davide
Risposte
Eureka... credo...
Ponendo l'origine dell'asse delle ascisse allo spigolo inferiore del libro più in basso dalla parte opposta a quella dove la pila "avanza" a gradini, si ha che la misura della sporgenza dell'ultimo ennesimo libro contando dall'alto al basso di una pila di n libri (generalizzo perché è più interessante di trattare di una pila di 4 e basta) è
$L-X_(CM)= L-(mL/2+(n-1)mL)/(nm)=L-(1-1/(2n))L=L/(2n)$ dove (n-1)mL è il prodotto della massa della pila eccettuato l'n libro per l'ascissa del suo centro di massa, che deve essere, per avere la massima distanza d, coincidente con quella dello spigolo del libro inferiore, cioè x=L.
Quindi $d=L/2 \sum_{i=1}^{n}i^-1$ che, nel caso specifico di n=4, è 24L/25.
Ciao a tutti e buon 2011!!!
Ponendo l'origine dell'asse delle ascisse allo spigolo inferiore del libro più in basso dalla parte opposta a quella dove la pila "avanza" a gradini, si ha che la misura della sporgenza dell'ultimo ennesimo libro contando dall'alto al basso di una pila di n libri (generalizzo perché è più interessante di trattare di una pila di 4 e basta) è
$L-X_(CM)= L-(mL/2+(n-1)mL)/(nm)=L-(1-1/(2n))L=L/(2n)$ dove (n-1)mL è il prodotto della massa della pila eccettuato l'n libro per l'ascissa del suo centro di massa, che deve essere, per avere la massima distanza d, coincidente con quella dello spigolo del libro inferiore, cioè x=L.
Quindi $d=L/2 \sum_{i=1}^{n}i^-1$ che, nel caso specifico di n=4, è 24L/25.
Ciao a tutti e buon 2011!!!
Ciao, amici! Mi sono imbattuto adesso con un identico problema del mio stesso libro, con l'unica differenza chle masse sovrapposte sono invece ora tre libri identici uniformi di lunghezza L, invece di 4. Applicherei esattamente lo stesso procedimento, ottenendo che
$d=L/2 \sum_{i=1}^{n} 1/i= L/2 \sum_{i=1}^{3} 1/i= L/2(1+1/2+1/3)=11/12 L$
e invece il libro dà come risultato $d=3/4L$, che io considererei la soluzione nel caso che i libri fossero n=2.
Che cosa ne pensate?
Grazie $+oo$ a tutti coloro che vorranno contribuire!!!!!
Ciao,
Davide
P.S.: Mi sono riletto il regolamento per vedere se fosse improprio "riesumare" un vecchio post, ma, dato che sto comunque aggiungendo qualcosa di nuovo e proponendo un problema con valori numerici diversi, mi sono permesso di riutilizzare il mio vecchio post invece di riscrivere tutti i calcoli che avevo già fatto per il vecchio problema (in cui la mia strategia sembrava concordare con il risultato del libro...). Se questo mio riutilizzo del vecchio post fosse improprio, mi scuso tantissimo con i moderatori, che provvederanno eventualmente a cancellarlo. Grazie anche ai nostri moderatori, che ci permettono di fruire di questi forum senza troppi tenendo alla larga troll, comportamenti impropri ecc..
$d=L/2 \sum_{i=1}^{n} 1/i= L/2 \sum_{i=1}^{3} 1/i= L/2(1+1/2+1/3)=11/12 L$
e invece il libro dà come risultato $d=3/4L$, che io considererei la soluzione nel caso che i libri fossero n=2.
Che cosa ne pensate?
Grazie $+oo$ a tutti coloro che vorranno contribuire!!!!!
Ciao,
Davide
P.S.: Mi sono riletto il regolamento per vedere se fosse improprio "riesumare" un vecchio post, ma, dato che sto comunque aggiungendo qualcosa di nuovo e proponendo un problema con valori numerici diversi, mi sono permesso di riutilizzare il mio vecchio post invece di riscrivere tutti i calcoli che avevo già fatto per il vecchio problema (in cui la mia strategia sembrava concordare con il risultato del libro...). Se questo mio riutilizzo del vecchio post fosse improprio, mi scuso tantissimo con i moderatori, che provvederanno eventualmente a cancellarlo. Grazie anche ai nostri moderatori, che ci permettono di fruire di questi forum senza troppi tenendo alla larga troll, comportamenti impropri ecc..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo