Masse puntiformi in rotazione connesse da una molla
Buonasera, rieccomi con un dubbio su un esercizio di meccanica classica.
Stavo svolgendo l'ennesimo problema, stavolta le protagoniste sono due masse puntiformi vincolate a muoversi lungo una guida rettilinea legate da una molla. Il dispositivo in cui sono inserite permette, tramite dei vincoli, che la distanza tra le masse vari da un minimo di $2l_0$ a un massimo di $4l_0$.
La guida comincia a ruotare a velocità costante attorno all'asse z. Un punto dell'esercizio richiede di determinare la minima velocità angolare $\Omega$ che consente alle masse di raggiungere la distanza massima. Lo svolgimento del professore parte dalla scrittura dell'equazione del moto. Se $\mu$ è la massa ridotta e $d$ la distanza, si ha:
Allora, ponendo $d=4l_0$, si ottiene subito \(\Omega=\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}\).
Io ho provato a risolvere imponendo la conservazione dell'energia meccanica. L'energia potenziale del sistema, in funzione della distanza $d$, è \(U(d)=\frac{1}{2}k(d-l_0)^2-\frac{1}{4}m\Omega^2 d^2\), tuttavia svolgendo i conti con $d_i=2l_0$ e $d_f=4l_0$ risulta \(\Omega=\sqrt{\dfrac{4k}{3m}}\).
I calcoli a meno di assurde sviste sono corretti, quindi ho pensato che ci fosse qualcosa che non andava nelle equazioni. Grazie mille.
Stavo svolgendo l'ennesimo problema, stavolta le protagoniste sono due masse puntiformi vincolate a muoversi lungo una guida rettilinea legate da una molla. Il dispositivo in cui sono inserite permette, tramite dei vincoli, che la distanza tra le masse vari da un minimo di $2l_0$ a un massimo di $4l_0$.
La guida comincia a ruotare a velocità costante attorno all'asse z. Un punto dell'esercizio richiede di determinare la minima velocità angolare $\Omega$ che consente alle masse di raggiungere la distanza massima. Lo svolgimento del professore parte dalla scrittura dell'equazione del moto. Se $\mu$ è la massa ridotta e $d$ la distanza, si ha:
\(\mu\ddot d=-k(d-l_0)+\mu\Omega^2 d\).
Allora, ponendo $d=4l_0$, si ottiene subito \(\Omega=\sqrt{\dfrac{3k}{2m}}\).
Io ho provato a risolvere imponendo la conservazione dell'energia meccanica. L'energia potenziale del sistema, in funzione della distanza $d$, è \(U(d)=\frac{1}{2}k(d-l_0)^2-\frac{1}{4}m\Omega^2 d^2\), tuttavia svolgendo i conti con $d_i=2l_0$ e $d_f=4l_0$ risulta \(\Omega=\sqrt{\dfrac{4k}{3m}}\).
I calcoli a meno di assurde sviste sono corretti, quindi ho pensato che ci fosse qualcosa che non andava nelle equazioni. Grazie mille.
Risposte
Non mi risulta in entrambi i modi. Infatti, orientando un asse verso l'esterno, la forza che agisce sulla singola massa:
deriva dall'energia potenziale sottostante:
Quindi:
$F=-2k(x-l_0)+m\Omega^2x$
deriva dall'energia potenziale sottostante:
$U=k(x-l_0)^2-1/2m\Omega^2x^2$
Quindi:
$[-1/2m\Omega^2l_0^2=kl_0^2-2m\Omega^2l_0^2] rarr [\Omega=sqrt((2k)/(3m))]$
Che cosa indichi con $x$? Se indichi la lunghezza della molla / distanza fra le masse, non mi torna: come mai su ciascuna massa agisca una forza diversa da $k(x-l_0)$ se l'allungamento della molla è $x-l_0$?
Per $x$ intendo l'ascissa della singola massa. L'allungamento della molla é $2(x-l_0)$.
Ok. Però non mi è chiaro perché non raddoppi l'energia potenziale associata alla forza centrifuga. Non dovremmo tener conto del fatto che entrambe le masse le sono soggette? In quel caso, essendo $x=\frac{l}{2}-l_0$, i nostri bilanci coinciderebbero.
Orientando un asse verso l'esterno:
per quanto riguarda l'energia potenziale del sistema:
e per quanto riguarda le forze:
Vale la pena sottolineare che, in base alle limitazioni imposte, i segni di tutte le forze sono rispettati. A questo punto:
P.S.
Lo stesso risultato del mio primo messaggio.
$l_0 lt= x_1 lt= 2l_0$
$-2l_0 lt= x_2 lt= -l_0$
per quanto riguarda l'energia potenziale del sistema:
$U=1/2k(x_1-x_2-2l_0)^2-1/2m\Omega^2x_1^2-1/2m\Omega^2x_2^2$
e per quanto riguarda le forze:
$F_1=-(delU)/(delx_1)=-k(x_1-x_2-2l_0)+m\Omega^2x_1$
$F_2=-(delU)/(delx_2)=k(x_1-x_2-2l_0)+m\Omega^2x_2$
Vale la pena sottolineare che, in base alle limitazioni imposte, i segni di tutte le forze sono rispettati. A questo punto:
$U_1=-1/2m\Omega^2l_0^2-1/2m\Omega^2l_0^2=-m\Omega^2l_0^2$
$U_2=2kl_0^2-2m\Omega^2l_0^2-2m\Omega^2l_0^2=2kl_0^2-4m\Omega^2l_0^2$
$-m\Omega^2l_0^2=2kl_0^2-4m\Omega^2l_0^2 rarr \Omega=sqrt((2k)/(3m))$
P.S.
Lo stesso risultato del mio primo messaggio.
Grazie infinite! Solo una cosa: perché l'elongazione della molla è $x_1-x_2-2l_0$? Non dovrebbe essere $x_1-x_2-l_0$ dato che la lunghezza a riposo è $l_0$?
Dalla figura, sembrerebbe che la lunghezza a riposo sia $2l_0$.
No, è $l_0$... Scusami tantissimo, lo davo per scontato e non l'ho specificato. Ora si spiega la mia incomprensione! 
Rifaccio io i calcoli:
Allora:
da cui: \( \Omega=\sqrt{\dfrac{4k}{3m}} \). Ed eccoci al punto di partenza... Dall'equazione del moto risulta diversamente.
Rifaccio io i calcoli:\( U=\dfrac{1}{2}k(x_1-x_2-l_0)^2-\dfrac{1}{2}m\Omega^2x_1^2-\dfrac{1}{2}m\Omega^2x_2^2 \).
Allora:
\( U_i = \dfrac{1}{2}kl_0^2-m\Omega^2l_0^2 \)
\( U_f = \dfrac{1}{2}k(3l_0)^2-m\Omega^2(2l_0)^2=\dfrac{9}{2}kl_0^2-4m\Omega^2l_0^2 \)
da cui: \( \Omega=\sqrt{\dfrac{4k}{3m}} \). Ed eccoci al punto di partenza... Dall'equazione del moto risulta diversamente.
Ok. Premesso che l'equazione del moto scritta dal docente è corretta:
non si comprende il motivo per cui abbia imposto che l'accelerazione sia nulla. Poiché, nel caso più favorevole:
il moto è armonico:
l'accelerazione è nulla nel centro dell'oscillazione:
Quindi:
essendo, il centro dell'oscillazione, anche il punto medio dei due estremi. Insomma, tutte le strade portano a Roma.
$[mddotx=-k(2x-l_0)+m\Omega^2x] ^^ [d=2x] ^^ [\mu=m/2] rarr [\muddotd=-k(d-l_0)+\mu\Omega^2d]$
non si comprende il motivo per cui abbia imposto che l'accelerazione sia nulla. Poiché, nel caso più favorevole:
$\Omega lt sqrt((2k)/m)$
il moto è armonico:
$ddotx+((2k)/m-\Omega^2)x=(kl_0)/m$
l'accelerazione è nulla nel centro dell'oscillazione:
$[((2k)/m-\Omega^2)x=(kl_0)/m] rarr [x=(kl_0)/(2k-m\Omega^2)]$
Quindi:
$[(kl_0)/(2k-m\Omega^2)=(l_0+2l_0)/2] rarr [\Omega=sqrt((4k)/(3m))]$
essendo, il centro dell'oscillazione, anche il punto medio dei due estremi. Insomma, tutte le strade portano a Roma.
Perfetto! Grazie. Allora forse il professore chiedeva la velocità angolare per la quale $x=2l_0$ è un punto di equilibrio. A quel punto annullare l'accelerazione ha senso, e si tratta di una strada concettualmente diversa da quella che hai appena seguito o - equivalentemente - da quella della conservazione dell'energia.
Non lo escludo. Vero è che, se questo fosse il caso, il testo lascerebbe molto a desiderare.
Grazie mille per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo