Masse legate da una molla
Vorrei analizzare una situazione particolare in cui su un piano orizzontale sono poggiate due masse legate tra loro da una molla:
- $ m_1 $ massa a sinistra
- $ m_2 $ massa a destra
- $ k $ costante elastica molla
- $ Deltal(0) $ compressione iniziale della molla
- $ l $ lunghezza a riposo della molla
Quindi vorrei calcolare la velocità massima raggiunta dalle massi in 2 casi diversi:
- caso 1: non c'è attrito tra piano e masse.
- caso 2: presenza di attrito sia statico sia dinamico.
Il problema è unidimensionale: asse x parallela al piano, diretta verso destra.
CASO 1: uso la conservazione dell'energia meccanica totale.
Le masse raggiungeranno la velocità massima nel momento di massima elongazione della molla, cioè quando l'energia potenziale associata alla forza elastica sarà nulla.
$ E(0) = 1/2kDeltal(0)^2 + 1/2kDeltal(0)^2 $ energia meccanica iniziale
$ E(t_f) = 1/2m_1v_1^2 + 1/2m_2v_2^2 $ energia meccanica finale
Quindi:
$ m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = 2kDeltal(0)^2$
Abbiamo una equazione per due incognite. Devo trovare un'altra equazione: conservazione della quantità di moto (infatti le forze esterne al sistema, che sono le due forze di gravità e le due forze normali al piano, si annullano).
$ 0 = -m_1v_1 + m_2v_2 => v_2 = m_1/m_2v_1 $
Dopo un po' di passaggi algebrici trovo
$ v_1 = (2m_2)/(m_1(m_1+m_2))kDeltal(0)^2 $
$ v_2 = 2/(m_1 + m_2)kDeltal(0)^2 $
(E già qui la cosa mi sembra strana, essendo il problema simmetrico anche le velocità massime dovrebbero essere simmetriche).
CASO 2: presenza di attrito. Prima devo capire quando le masse riescono a vincere l'attrito statico, e poi continuare lo studio in presenza di attrito dinamico. Sono consapevole di dover utilizzare il fatto che la differenza di energia meccanica totale tra stato finale e stato iniziale è uguale al lavoro svolto dalle forze non conservative (l'attrito). Potreste spiegarmi come?
Grazie per il vostro tempo e aiuto
- $ m_1 $ massa a sinistra
- $ m_2 $ massa a destra
- $ k $ costante elastica molla
- $ Deltal(0) $ compressione iniziale della molla
- $ l $ lunghezza a riposo della molla
Quindi vorrei calcolare la velocità massima raggiunta dalle massi in 2 casi diversi:
- caso 1: non c'è attrito tra piano e masse.
- caso 2: presenza di attrito sia statico sia dinamico.
Il problema è unidimensionale: asse x parallela al piano, diretta verso destra.
CASO 1: uso la conservazione dell'energia meccanica totale.
Le masse raggiungeranno la velocità massima nel momento di massima elongazione della molla, cioè quando l'energia potenziale associata alla forza elastica sarà nulla.
$ E(0) = 1/2kDeltal(0)^2 + 1/2kDeltal(0)^2 $ energia meccanica iniziale
$ E(t_f) = 1/2m_1v_1^2 + 1/2m_2v_2^2 $ energia meccanica finale
Quindi:
$ m_1v_1^2 + m_2v_2^2 = 2kDeltal(0)^2$
Abbiamo una equazione per due incognite. Devo trovare un'altra equazione: conservazione della quantità di moto (infatti le forze esterne al sistema, che sono le due forze di gravità e le due forze normali al piano, si annullano).
$ 0 = -m_1v_1 + m_2v_2 => v_2 = m_1/m_2v_1 $
Dopo un po' di passaggi algebrici trovo
$ v_1 = (2m_2)/(m_1(m_1+m_2))kDeltal(0)^2 $
$ v_2 = 2/(m_1 + m_2)kDeltal(0)^2 $
(E già qui la cosa mi sembra strana, essendo il problema simmetrico anche le velocità massime dovrebbero essere simmetriche).
CASO 2: presenza di attrito. Prima devo capire quando le masse riescono a vincere l'attrito statico, e poi continuare lo studio in presenza di attrito dinamico. Sono consapevole di dover utilizzare il fatto che la differenza di energia meccanica totale tra stato finale e stato iniziale è uguale al lavoro svolto dalle forze non conservative (l'attrito). Potreste spiegarmi come?
Grazie per il vostro tempo e aiuto
Risposte
"igol10":
Dopo un po' di passaggi algebrici trovo
Nei passaggi devi, da qualche parte, aver dimenticato che nell'equazione dedotta dalla conservazione dell'energia le velocità compaiono al quadrato. Inoltre hai raddoppiato l'energia elastica, ma questo non incide sulla mancanza di simmetria del risultato.
Ciao
B.
Per quanto riguarda il fatto che ho scritto 2 volte l'energia potenziale associata alla forza elastica, ho ragionato in questo modo:
- sulla massa m1 agisce una forza elastica F1
- sulla massa m2 agisce una forza elastica F2
Quindi ci sono due energie potenziali associate a queste due forze elastiche.
Forse però dovrei calcolare così l'energia potenziale associata alle 2 forze?
- $ E_p(F_1) = 1/2k(Deltal(0)^2)/2 $
- $ E_p(F_2) = 1/2k(Deltal(0)^2)/2 $
Cioè la compressione della molla data dal problema è una compressione "totale" dovuta ad entrambe le forze, quindi ognuna agisce comprimendo la molla di $ (Deltal(0)^2)/2 $ ??
Dando per vero questo mio ragionamento e facendo più attenzione nel fare i calcoli, le velocità massime sono:
$ v_1 = sqrt(m_2/(m_1(m_1+m_2))kDeltal(0)^2 ) $
$ v_2 = sqrt(m_1/(m_2(m_1+m_2))kDeltal(0)^2 ) $
Poi potresti darmi una mano con il secondo punto dell'esercizio perfavore?? Ti ringrazio
- sulla massa m1 agisce una forza elastica F1
- sulla massa m2 agisce una forza elastica F2
Quindi ci sono due energie potenziali associate a queste due forze elastiche.
Forse però dovrei calcolare così l'energia potenziale associata alle 2 forze?
- $ E_p(F_1) = 1/2k(Deltal(0)^2)/2 $
- $ E_p(F_2) = 1/2k(Deltal(0)^2)/2 $
Cioè la compressione della molla data dal problema è una compressione "totale" dovuta ad entrambe le forze, quindi ognuna agisce comprimendo la molla di $ (Deltal(0)^2)/2 $ ??
Dando per vero questo mio ragionamento e facendo più attenzione nel fare i calcoli, le velocità massime sono:
$ v_1 = sqrt(m_2/(m_1(m_1+m_2))kDeltal(0)^2 ) $
$ v_2 = sqrt(m_1/(m_2(m_1+m_2))kDeltal(0)^2 ) $
Poi potresti darmi una mano con il secondo punto dell'esercizio perfavore?? Ti ringrazio
Per darti una mano bisognerebbe essere abbastanza sicuri di quanto si afferma. Si sbaglia anche così, ma in caso contrario è grande il rischio di aumentare solo la confusione nell'interlocutore.
Allora per il primo problema direi che ci siamo: il tuo dubbio sulle due forze, e conseguente doppia energia, si supera se tieni conto che l'energia immagazzinata in una molla, perfettamente elastica, dipende solo dalla sua lunghezza nell'istante considerato.
Per il secondo posso buttar giù delle idee, magari altri più ferrati in merito potranno correggerle, semplificarle o completarle.
Primo caso (molto semplice): la forza iniziale della molla non supera quella massima dell'attrito statico per il corpo di minor massa. Velocità costante uguale a zero per entrambi i corpi.
Secondo caso (meno semplice): la forza iniziale della molla supera quella massima dell'attrito statico per il corpo di minor massa ma non per quello di massa maggiore. Quest'ultimo non si muove e l'altro raggiunge la velocità massima quando la forza esercitata dalla molla eguaglierà (in modulo) quella esercitata dall'attrito dinamico sul corpo in questione.
Terzo caso (per me complicato): la forza iniziale della molla supera quella massima dell'attrito statico anche per il corpo di massa maggiore. Si muovono entrambi i corpi, quello di minor massa con una velocità più elevata dell'altro. Il corpo di massa maggiore raggiungerà la sua massima velocità nell'istante in cui la forza esercitata dalla molla sarà uguale (sempre in modulo) a quella dell'attrito dinamico, poi rallenterà fino a fermarsi. Nel frattempo quello di massa minore avrà raggiunto la sua velocità massima? Non lo so. Bisogna far dei conti, magari risolvere equazioni differenziali. Sicuramente, prima o poi, si verificherà la solita condizione, dell'accelerazione nulla.
Ciao
B.
Allora per il primo problema direi che ci siamo: il tuo dubbio sulle due forze, e conseguente doppia energia, si supera se tieni conto che l'energia immagazzinata in una molla, perfettamente elastica, dipende solo dalla sua lunghezza nell'istante considerato.
Per il secondo posso buttar giù delle idee, magari altri più ferrati in merito potranno correggerle, semplificarle o completarle.
Primo caso (molto semplice): la forza iniziale della molla non supera quella massima dell'attrito statico per il corpo di minor massa. Velocità costante uguale a zero per entrambi i corpi.
Secondo caso (meno semplice): la forza iniziale della molla supera quella massima dell'attrito statico per il corpo di minor massa ma non per quello di massa maggiore. Quest'ultimo non si muove e l'altro raggiunge la velocità massima quando la forza esercitata dalla molla eguaglierà (in modulo) quella esercitata dall'attrito dinamico sul corpo in questione.
Terzo caso (per me complicato): la forza iniziale della molla supera quella massima dell'attrito statico anche per il corpo di massa maggiore. Si muovono entrambi i corpi, quello di minor massa con una velocità più elevata dell'altro. Il corpo di massa maggiore raggiungerà la sua massima velocità nell'istante in cui la forza esercitata dalla molla sarà uguale (sempre in modulo) a quella dell'attrito dinamico, poi rallenterà fino a fermarsi. Nel frattempo quello di massa minore avrà raggiunto la sua velocità massima? Non lo so. Bisogna far dei conti, magari risolvere equazioni differenziali. Sicuramente, prima o poi, si verificherà la solita condizione, dell'accelerazione nulla.
Ciao
B.
Allora metto anche i dati del problema e cerco di risolverlo:
$ m_1 = 0.25 kg $ , $ m_2 = 0.5 kg $ , $ Deltal(0) = 0.08 m $ , $ k = 10 Nm^-1 $
Poi mi da due valori dello stesso coefficiente di attrito e devo ragionare su entrambi i valori:
(a) $ mu = 0.1 $ , (b) $ mu = 0.462 $
Imposto la seconda legge di Newton per entrambe le masse:
- Per la massa m1: $ m_1a_1 = F_{e_1} + F_{a_1} $ , $ N_1 = m_1g $
- Per la massa m2: $ m_2a_2 = - F_{e_2} - F_{a_2} $ , $ N_2 = m_2g $
Ora voglio trovarmi il coefficiente di attrito statico minimo per cui nessuna delle due molle si muova.
Quindi impongo prima l'accelerazione del corpo 1 uguale a 0.
- $ F_{e_1} = - F_{a_1} => |F_{e_1}| = F_{a_1} <= mu_1m_1g $
Quindi:
$ kDeltal(0) <= mu_1m_1g => mu_1 >= (kDeltal(0))/(m_1g) = 0.326 => mu_{1,min} = 0.326 $
Ora, invece, impongo l'accelerazione del corpo 2 uguale a 0.
- $ F_{e_2} = - F_{a_2} => |F_{e_2}| = F_{a_2} <= mu_2m_2g $
Quindi:
$ kDeltal(0) <= mu_2m_2g => mu_2 >= (kDeltal(0))/(m_2g) = 0.163 => mu_{2,min} = 0.163 $
Quindi analizzando il caso (b) in cui $ mu = 0.462 $ è evidente che nessuna delle due masse si muoverà e quindi le velocità sono nulle.
Analizzando il caso (a) invece si ha $ mu = 0.1 $, quindi entrambe le masse si muoveranno.
Per semplificare assumo che le due masse si muoveranno di una stessa accelerazione $ a $ in modulo, ma con verso opposto. Non sono affatto sicuro di poter fare questa semplificazione
Quindi questo vuol dire che anche le velocità in modulo sono identiche. Allora
$ E(0) = 1/2(kDeltal(0))^2 $
$ E(t_f) = 1/2m_1v^2 + 1/2m_2v^2 $
$ W_{nc} = -mu(m_1 + m_2)gDeltal(0) $
E quindi risolvo in funzione di v.
Non sono per niente convinto di aver risolto il problema nel modo giusto, quindi se c'è qualcuno nel forum in grado di farlo è molto ben accetto ( ogni riferimento a professorkappa è puramente casuale )
$ m_1 = 0.25 kg $ , $ m_2 = 0.5 kg $ , $ Deltal(0) = 0.08 m $ , $ k = 10 Nm^-1 $
Poi mi da due valori dello stesso coefficiente di attrito e devo ragionare su entrambi i valori:
(a) $ mu = 0.1 $ , (b) $ mu = 0.462 $
Imposto la seconda legge di Newton per entrambe le masse:
- Per la massa m1: $ m_1a_1 = F_{e_1} + F_{a_1} $ , $ N_1 = m_1g $
- Per la massa m2: $ m_2a_2 = - F_{e_2} - F_{a_2} $ , $ N_2 = m_2g $
Ora voglio trovarmi il coefficiente di attrito statico minimo per cui nessuna delle due molle si muova.
Quindi impongo prima l'accelerazione del corpo 1 uguale a 0.
- $ F_{e_1} = - F_{a_1} => |F_{e_1}| = F_{a_1} <= mu_1m_1g $
Quindi:
$ kDeltal(0) <= mu_1m_1g => mu_1 >= (kDeltal(0))/(m_1g) = 0.326 => mu_{1,min} = 0.326 $
Ora, invece, impongo l'accelerazione del corpo 2 uguale a 0.
- $ F_{e_2} = - F_{a_2} => |F_{e_2}| = F_{a_2} <= mu_2m_2g $
Quindi:
$ kDeltal(0) <= mu_2m_2g => mu_2 >= (kDeltal(0))/(m_2g) = 0.163 => mu_{2,min} = 0.163 $
Quindi analizzando il caso (b) in cui $ mu = 0.462 $ è evidente che nessuna delle due masse si muoverà e quindi le velocità sono nulle.
Analizzando il caso (a) invece si ha $ mu = 0.1 $, quindi entrambe le masse si muoveranno.
Per semplificare assumo che le due masse si muoveranno di una stessa accelerazione $ a $ in modulo, ma con verso opposto. Non sono affatto sicuro di poter fare questa semplificazione
Quindi questo vuol dire che anche le velocità in modulo sono identiche. Allora
$ E(0) = 1/2(kDeltal(0))^2 $
$ E(t_f) = 1/2m_1v^2 + 1/2m_2v^2 $
$ W_{nc} = -mu(m_1 + m_2)gDeltal(0) $
E quindi risolvo in funzione di v.
Non sono per niente convinto di aver risolto il problema nel modo giusto, quindi se c'è qualcuno nel forum in grado di farlo è molto ben accetto
( ogni riferimento a professorkappa è puramente casuale )
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