Massa rotante legata a paletto
Ciao, amici!
Mi sono imbattuto in un interessante quesito su una massa, un dischetto, legato ad una cordicella legata ad un paletto che gira, lanciata ad una velocità tangenziale iniziale $v_t$ avvolgendosi su un piano privo di attrito. Il quesito chiede se la velocità tangenziale e il momento angolare rimangono costanti, aumentano o diminuiscono.
Io ho affrontato il problema così: pensando che la forza centripeta sia una componente della tensione $\vec T$ della corda, cioè, chiamando $\theta$ l'angolo formato dalla cordicella con il raggio, variabile ovviamente e descrescentenel tempo, del moto del dischetto attorno al paletto (cioè il segmento che unisce il centro del dischetto a quello del paletto), che
$F_(cp)=a_(cp)m=v_t^2/r m=Tcos\theta$
direi che la massa che gira è sottoposta ad un momento (considero positiva la velocità angolare iniziale e chiamo z l'asse perpendicolare al piano)
$\vecM=I\vecalpha=-Tsin\thetar \hatz=-(v_t^2msin\theta)/(rcos\theta)·r \hatz=-v_t^2mtan\theta \hatz$
per cui mi pare che
$|\vec a_t|=|\vec\alpha|·r=|\vecM|/I r=(v_t^2mtan\thetar)/I$ dove $\theta$, $r$ e $I$ (che sarebbe $mr^2$ se consideriamo il dischetto puntiforme o, per il teorema di Huygens-Steiner, $1/2mR^2+mr^2$ -dove R è il raggio del dischetto- se lo consideriamo un disco uniforme) variano man mano che il filo si avvolge.
Immagino che sia tutto completamente sbagliato (però purtroppo non vedo come e dove...), perché con questa accelerazione, diversa da 0 e di verso opposto a quello della $\vec v_t$, non mi sembrerebbe possibile che la velocità tangenziale si conservi... Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a uscire da questo che mi sembra un delirio pseudoscientifico e fantamatematico?
Grazie $+oo$ a tutti!!!
Davide
Mi sono imbattuto in un interessante quesito su una massa, un dischetto, legato ad una cordicella legata ad un paletto che gira, lanciata ad una velocità tangenziale iniziale $v_t$ avvolgendosi su un piano privo di attrito. Il quesito chiede se la velocità tangenziale e il momento angolare rimangono costanti, aumentano o diminuiscono.
Io ho affrontato il problema così: pensando che la forza centripeta sia una componente della tensione $\vec T$ della corda, cioè, chiamando $\theta$ l'angolo formato dalla cordicella con il raggio, variabile ovviamente e descrescentenel tempo, del moto del dischetto attorno al paletto (cioè il segmento che unisce il centro del dischetto a quello del paletto), che
$F_(cp)=a_(cp)m=v_t^2/r m=Tcos\theta$
direi che la massa che gira è sottoposta ad un momento (considero positiva la velocità angolare iniziale e chiamo z l'asse perpendicolare al piano)
$\vecM=I\vecalpha=-Tsin\thetar \hatz=-(v_t^2msin\theta)/(rcos\theta)·r \hatz=-v_t^2mtan\theta \hatz$
per cui mi pare che
$|\vec a_t|=|\vec\alpha|·r=|\vecM|/I r=(v_t^2mtan\thetar)/I$ dove $\theta$, $r$ e $I$ (che sarebbe $mr^2$ se consideriamo il dischetto puntiforme o, per il teorema di Huygens-Steiner, $1/2mR^2+mr^2$ -dove R è il raggio del dischetto- se lo consideriamo un disco uniforme) variano man mano che il filo si avvolge.
Immagino che sia tutto completamente sbagliato (però purtroppo non vedo come e dove...), perché con questa accelerazione, diversa da 0 e di verso opposto a quello della $\vec v_t$, non mi sembrerebbe possibile che la velocità tangenziale si conservi... Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a uscire da questo che mi sembra un delirio pseudoscientifico e fantamatematico?
Grazie $+oo$ a tutti!!!
Davide
Risposte
Se il filo si avvolge attorno ad un paletto (quindi il paletto ha diametro maggiore di zero ovviamente) il momento angolare rispetto al centro del paletto NON si conserva, si conserva invece l'energia cinetica del sistema.
Guarda anche questo messaggio che accenna proprio a questo problema e alla differenza rispetto ad un problema apparentemente analogo (in cui il filo non si avvolge attorno ad un paletto ma il tutto gira attorno ad un punto fisso e da lì il filo è tirato in modo da ridurre il raggio della circonferenza descritta) in cui si conserva il momento angolare.
Guarda anche questo messaggio che accenna proprio a questo problema e alla differenza rispetto ad un problema apparentemente analogo (in cui il filo non si avvolge attorno ad un paletto ma il tutto gira attorno ad un punto fisso e da lì il filo è tirato in modo da ridurre il raggio della circonferenza descritta) in cui si conserva il momento angolare.
Grazie $+oo$!!! Ho letto il post dove si tratta di un caso analogo...
Se la tensione della cordicella è perpendicolare allo spostamento (infinitesimo), come nel caso del mio dischetto che gira avvolgendosi attorno a un paletto (quindi tutte le mie elucubrazioni sulla componente $Tsin\theta$ e i miei calcoli erano un completo delirio) non esercita alcun lavoro, quindi si conserva l'energia cinetica: $\sum W=\DeltaK=0 hArr K_i=K_f=1/2I_i\omega_i^2=1/2I_f·\omega_f^2 =1/2mr_i^2(v_(t,i)/r_i)^2=1/2mr_f^2(v_(t,f)/r_f)^2$ per cui (dato che il raggio varia decrescendo) $v_(t,i)=v_(t,f)$.
Essendo la tensione appunto perpendicolare allo spostamento, non si tratta quindi di una forza radiale di momento 0? E, se il momento risultante delle forze è 0, non si dovrebbe conservare anche il momento angolare? Ovviamente qui il momento d'inerzia cambia, in funzione del raggio, e non è possibile che si conservino sia il momento angolare sia l'energia cinetica, quindi che cosa succede?
Per quanto riguarda il caso in cui la cordicella non si avvolge a nessun paletto, ma viene accorciata progressivamente tirandola (lo stesso esercizio è nel mio libro prima di quello dove c'è il paletto), come si deduce che si conserva il momento angolare, quando esiste eccome una forza non radiale che compie il lavoro responsabile della perdita di energia cinetica?
Grazie di cuore ancora!!!!!
Davide
Se la tensione della cordicella è perpendicolare allo spostamento (infinitesimo), come nel caso del mio dischetto che gira avvolgendosi attorno a un paletto (quindi tutte le mie elucubrazioni sulla componente $Tsin\theta$ e i miei calcoli erano un completo delirio) non esercita alcun lavoro, quindi si conserva l'energia cinetica: $\sum W=\DeltaK=0 hArr K_i=K_f=1/2I_i\omega_i^2=1/2I_f·\omega_f^2 =1/2mr_i^2(v_(t,i)/r_i)^2=1/2mr_f^2(v_(t,f)/r_f)^2$ per cui (dato che il raggio varia decrescendo) $v_(t,i)=v_(t,f)$.
Essendo la tensione appunto perpendicolare allo spostamento, non si tratta quindi di una forza radiale di momento 0? E, se il momento risultante delle forze è 0, non si dovrebbe conservare anche il momento angolare? Ovviamente qui il momento d'inerzia cambia, in funzione del raggio, e non è possibile che si conservino sia il momento angolare sia l'energia cinetica, quindi che cosa succede?
Per quanto riguarda il caso in cui la cordicella non si avvolge a nessun paletto, ma viene accorciata progressivamente tirandola (lo stesso esercizio è nel mio libro prima di quello dove c'è il paletto), come si deduce che si conserva il momento angolare, quando esiste eccome una forza non radiale che compie il lavoro responsabile della perdita di energia cinetica?
Grazie di cuore ancora!!!!!
Davide
"DavideGenova":
Essendo la tensione appunto perpendicolare allo spostamento, non si tratta quindi di una forza radiale di momento 0? E, se il momento risultante delle forze è 0, non si dovrebbe conservare anche il momento angolare? Ovviamente qui il momento d'inerzia cambia, in funzione del raggio, e non è possibile che si conservino sia il momento angolare sia l'energia cinetica, quindi che cosa succede?
Se la corda si avvolge attorno ad un paletto osserva che la massa all'altro estremo ruota istantaneamente intorno ai vari punti della circonferenza del paletto, NON attorno al centro del paletto.
Quindi quando parli di momento angolare se ti riferisci a momento rispetto al centro del paletto allora la tensione della corda avrebbe momento non nullo rispetto a tale punto, quindi il momento angolare non si conserva rispetto al centro del paletto.
"DavideGenova":
Per quanto riguarda il caso in cui la cordicella non si avvolge a nessun paletto, ma viene accorciata progressivamente tirandola (lo stesso esercizio è nel mio libro prima di quello dove c'è il paletto), come si deduce che si conserva il momento angolare, quando esiste eccome una forza non radiale che compie il lavoro responsabile della perdita di energia cinetica?
In tal caso la tensione della corda compie lavoro per cui non si conserva l'energia cinetica, d'altra parte però questa volta il punto attorno a cui ruota la corda è sempre lo stesso e la tensione della corda agendo lungo la corda stessa ha momento nullo rispetto a quel punto per cui il momento angolare rispetto a tale punto si conserva.
Grazie infinite davvero per il tuo aiuto! È vero, il dischetto ruota istantaneamente intorno ad ogni unto della circonferenza del paletto, quindi esiste un momento della tensione non nullo nel caso in cui c'è il paletto.
Nel secondo caso sono stato così rimbambito da non rendermi conto che la tensione è sempre radiale perché la cordicella "è" il raggio!
Ciao e tantissime grazie ancora!!!
Nel secondo caso sono stato così rimbambito da non rendermi conto che la tensione è sempre radiale perché la cordicella "è" il raggio!
Ciao e tantissime grazie ancora!!!
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