Massa puntiforme che scivola su cilindro libero di ruotare
Ho il seguente esercizio:
Una massa puntiforme m se ne sta appoggiata su un cilindro di massa M e raggio R, libero di ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro O. Tra massa m e cilindro c'è attrito, caratterizzato dai coefficienti $\mud$ e $\mus$ (con $\mus$ > $\mud$ ). Il sistema è inizialmente nella posizione di equilibrio instabile. In un dato istante viene applicata alla massa m una forza orizzontale F. Per quali valori di F si ha slittamento tra massa m e cilindro? Immediatamente dopo l'applicazione della forza F si chiede di trovare l'accelerazione a della massa m e l'accelerazione angolare $\alpha$ del cilindro, sia nel caso di slittamento tra massa m e cilindro, sia nel caso in cui lo slittamento non avvenga.
Dunque fatto il diagramma di corpo libero del cilindro e della massa m, visto che il testo non dice alcunché riguardo la forza F, nessuno mi vieta di assumere che questa sia costante. Inoltre per come è fatto tutto il sistema cilindro+massa puntiforme, non appena applico questa forza si muove tutto: il cilindro prende a ruotare per effetto della forza di attrito esercitata dalla massa m, e quest'ultima è vincolata a muoversi sulla circonferenza esterna del cilindro. Quindi la forza F posso applicarla per un tempo infinitesimamente piccolo, in quanto può essere solo orizzontale.
Visto che la massa puntiforme parte da ferma c'è da vincere la forza di attrito statico massima per avere slittamento. Impongo quindi:
F> $\F_s max $ = $\mus$ $\F_n $
Applicando la seconda legge di Newton in direzione verticale alla massa m ci sarebbe da tener conto dell'accelerazione centripeta visto che questa si muoverà su una circonferenza, ma visto che parte da ferma essa non ha tempo di raggiungere alcuna velocità tangenziale. Quindi si può dire che durante l'applicazione di F l'accelerazione centripeta di m è nulla e quindi:
$\F_n $ = mg
Sostituendo:
F > $\mus$ mg
(Anche se devo dire che questa soluzione mi sembra un pò troppo semplicistica..)
Per quanto riguarda la seconda parte del problema, si ha che la massa m è ancora praticamente lì, ma ormai visto che la posizione era di equilibrio instabile si allontanerà da essa. E nel caso in cui ci sia attrito dinamico, si avrà che l'accelerazione angolare del cilindro è minore dell'accelerazione angolare del punto materiale. Imponendo questa condizione e la seconda legge di Newton per il moto rotatorio ad entrambi i corpi ottengo:
a= $mud *g$ e $\alpha$= $\alpha$ = $(2mu_d*m*g)$ / $(M*R)$
Per quanto riguarda il caso del non slittamento però non riesco ad impostare nulla.. Con l'applicazione delle leggi di Newton non arrivo a nulla, ho provato anche a mettermi nel riferimento del cilindro che ruota ma senza esito.
Una massa puntiforme m se ne sta appoggiata su un cilindro di massa M e raggio R, libero di ruotare senza attrito intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro O. Tra massa m e cilindro c'è attrito, caratterizzato dai coefficienti $\mud$ e $\mus$ (con $\mus$ > $\mud$ ). Il sistema è inizialmente nella posizione di equilibrio instabile. In un dato istante viene applicata alla massa m una forza orizzontale F. Per quali valori di F si ha slittamento tra massa m e cilindro? Immediatamente dopo l'applicazione della forza F si chiede di trovare l'accelerazione a della massa m e l'accelerazione angolare $\alpha$ del cilindro, sia nel caso di slittamento tra massa m e cilindro, sia nel caso in cui lo slittamento non avvenga.
Dunque fatto il diagramma di corpo libero del cilindro e della massa m, visto che il testo non dice alcunché riguardo la forza F, nessuno mi vieta di assumere che questa sia costante. Inoltre per come è fatto tutto il sistema cilindro+massa puntiforme, non appena applico questa forza si muove tutto: il cilindro prende a ruotare per effetto della forza di attrito esercitata dalla massa m, e quest'ultima è vincolata a muoversi sulla circonferenza esterna del cilindro. Quindi la forza F posso applicarla per un tempo infinitesimamente piccolo, in quanto può essere solo orizzontale.
Visto che la massa puntiforme parte da ferma c'è da vincere la forza di attrito statico massima per avere slittamento. Impongo quindi:
F> $\F_s max $ = $\mus$ $\F_n $
Applicando la seconda legge di Newton in direzione verticale alla massa m ci sarebbe da tener conto dell'accelerazione centripeta visto che questa si muoverà su una circonferenza, ma visto che parte da ferma essa non ha tempo di raggiungere alcuna velocità tangenziale. Quindi si può dire che durante l'applicazione di F l'accelerazione centripeta di m è nulla e quindi:
$\F_n $ = mg
Sostituendo:
F > $\mus$ mg
(Anche se devo dire che questa soluzione mi sembra un pò troppo semplicistica..)
Per quanto riguarda la seconda parte del problema, si ha che la massa m è ancora praticamente lì, ma ormai visto che la posizione era di equilibrio instabile si allontanerà da essa. E nel caso in cui ci sia attrito dinamico, si avrà che l'accelerazione angolare del cilindro è minore dell'accelerazione angolare del punto materiale. Imponendo questa condizione e la seconda legge di Newton per il moto rotatorio ad entrambi i corpi ottengo:
a= $mud *g$ e $\alpha$= $\alpha$ = $(2mu_d*m*g)$ / $(M*R)$
Per quanto riguarda il caso del non slittamento però non riesco ad impostare nulla.. Con l'applicazione delle leggi di Newton non arrivo a nulla, ho provato anche a mettermi nel riferimento del cilindro che ruota ma senza esito.
Risposte
Up! 
Quando si ha a che fare con questi esercizi strani, bisogna andarci con le dovute precauzioni….Vediamo se riusciamo a cavare il ragno dal buco.
Per la prima parte direi questo :
Più che costante, io direi che si tratta di una forza impulsiva. Ma questa forza non determina da sola l'accelerazione di $m$, perché ci dovrebbe essere la forza di attrito statico $f_a$ esercitata dal cilindro in verso opposto, per cui l'equazione del moto immediatamente dopo l'impulso dovrebbe essere :
$F-f_a = ma$
Infatti, la reazione del cilindro su $m$ dovrebbe avere un componente verticale che equilibra il peso, e un componente orizzontale che è la forza di attrito statico.
LA forza di attrito statico che $m$ esercita sul cilindro si traduce in un momento impulsivo $f_a*R$ , che causa variazione del momento angolare del cilindro : $(\DeltaL)/(\Deltat) = I*(\Delta\omega)/(\Deltat) = I*\alpha$.
Inoltre, se non si supera la max forza di attrito $\mumg$ , direi che tra accelerazione angolare e accelerazione lineare sussiste la solita relazione del rotolamento puro :
$a = \alpha*R $
Mi fermo qui.
Che cosa ne pensi ? Mi piacerebbe sentire anche profK , gordnbrn , e chiunque altro, sull'argomento .
Per la prima parte direi questo :
visto che il testo non dice alcunché riguardo la forza F, nessuno mi vieta di assumere che questa sia costante.
Più che costante, io direi che si tratta di una forza impulsiva. Ma questa forza non determina da sola l'accelerazione di $m$, perché ci dovrebbe essere la forza di attrito statico $f_a$ esercitata dal cilindro in verso opposto, per cui l'equazione del moto immediatamente dopo l'impulso dovrebbe essere :
$F-f_a = ma$
Infatti, la reazione del cilindro su $m$ dovrebbe avere un componente verticale che equilibra il peso, e un componente orizzontale che è la forza di attrito statico.
LA forza di attrito statico che $m$ esercita sul cilindro si traduce in un momento impulsivo $f_a*R$ , che causa variazione del momento angolare del cilindro : $(\DeltaL)/(\Deltat) = I*(\Delta\omega)/(\Deltat) = I*\alpha$.
Inoltre, se non si supera la max forza di attrito $\mumg$ , direi che tra accelerazione angolare e accelerazione lineare sussiste la solita relazione del rotolamento puro :
$a = \alpha*R $
Mi fermo qui.
Che cosa ne pensi ? Mi piacerebbe sentire anche profK , gordnbrn , e chiunque altro, sull'argomento .
Essendo breve l'intervallo di tempo in cui viene applicata mi torna che sia impulsiva la forza F, ma mi pare anche possibile che questa sia costante.. non vedo qualcosa che lo vieti. Ma la cosa che non riesco a capire è l'interpretazione di quell' "immediatamente dopo"..dopo che il cilindro ha percorso una spostamento angolare elementare? oppure la massa m rispetto allo stesso asse di rotazione?
Ma la cosa che non riesco a capire è l'interpretazione di quell' "immediatamente dopo"..dopo che il cilindro ha percorso una spostamento angolare elementare?
Si, dovebbe essere così, per lo meno io ho interpretato così, visto che anche il testo da te riportato….:
Immediatamente dopo l'applicazione della forza F si chiede di trovare l'accelerazione a della massa m e l'accelerazione angolare α del cilindro, sia nel caso di slittamento tra massa m e cilindro, sia nel caso in cui lo slittamento non avvenga.
…..chiede di determinare cosa succede "immediatamente dopo" l'applicazione della forza . Perché lo dice? Secondo me, dopo il fattaccio, la massa $m$ si stacca dal cilindro e casca giù; e siccome non c'è stato slittamento (almeno, nella prima delle ipotesi su cui mi sono soffermato) il cilindro, che è stato accelerato angolarmente dal momento impulsivo, continua a ruotare a velocità angolare costante, visto che $L$ rimane costante in quanto cessa il momento dell'impulso, e la velocità angolare è quella massima raggiunta alla fine del $\DeltaL$ : non so se sono stato chiaro.
Ecco perché vorrei che altri esperti intervenissero.
Direi che il NAvi e' sulla strada giusta, anche io considererei l'impulso (anche se non ti da il tempo di applicazione della forza).
Oppure si puo' provare cosi.
Supponendo che la forza non sia impulsiva, quando il cilindro percorre un angolo $\theta$, il diagramma delle forze porta a queste equazioni:
Lungo la tangente, forze applicate alla massa:
$Fcos\theta+mgsin\theta-F_a=mR^2\ddot\theta$
Lungo il raggio
$Fsin\theta-mgcos\theta+N=-m\dot\omega^2R$
$F_a=\muN$
Per il cilindro:
$F_aR=I\dot\theta$
Vedi se riesci ad arrivare da qualche parte risolvendo il sistema e cercando di arrivare a una differenziale.
Magari se non ci riesci (oggi non ho tempo per risolverle), cerca di vedere cosa succede se $\theta$ e' molto piccolo
Oppure si puo' provare cosi.
Supponendo che la forza non sia impulsiva, quando il cilindro percorre un angolo $\theta$, il diagramma delle forze porta a queste equazioni:
Lungo la tangente, forze applicate alla massa:
$Fcos\theta+mgsin\theta-F_a=mR^2\ddot\theta$
Lungo il raggio
$Fsin\theta-mgcos\theta+N=-m\dot\omega^2R$
$F_a=\muN$
Per il cilindro:
$F_aR=I\dot\theta$
Vedi se riesci ad arrivare da qualche parte risolvendo il sistema e cercando di arrivare a una differenziale.
Magari se non ci riesci (oggi non ho tempo per risolverle), cerca di vedere cosa succede se $\theta$ e' molto piccolo
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