Massa, energia e relatività
Una massa a riposo ha un' energia che è $E0=m0C^2$
Una massa in movimento ha un'energia
$E=(m0C^2)/(sqrt(1-(V^2/C^2)))$ che può essere semplificata in $E=mC^2$
Ma questa energia $E$ è la somma dell'energia a riposo e dell'energia cineteca della massa?
Cioè $E=m0C^2+K(massa)$ ?
Perché non ho ben capito questo aspetto della relatività...
Grazie
Una massa in movimento ha un'energia
$E=(m0C^2)/(sqrt(1-(V^2/C^2)))$ che può essere semplificata in $E=mC^2$
Ma questa energia $E$ è la somma dell'energia a riposo e dell'energia cineteca della massa?
Cioè $E=m0C^2+K(massa)$ ?
Perché non ho ben capito questo aspetto della relatività...
Grazie
Risposte
Si, è proprio cosí .
MA c'è un primo punto da chiarire : la massa di un corpo non aumenta con la velocità , è un invariante relativistico . Questo è il punto di vista più moderno sulla massa, il cui valore non dipende dalla velocità che il corpo ha in un certo riferimento inerziale , cioè rispetto a un certo osservatore. Ti rimando a questa discussione, e ai link in essa citati :
viewtopic.php?f=19&t=183360&p=8325043&hilit=einstein+barnett#p8325043
leggila tutta, potrai renderti conto di quanto ancora si discute su questo aspetto. Io sto dalla parte di coloro che affermano l'invarianza di $m$ con la velocità, come del resto la maggiore parte dei relativisti moderni. D'altronde, lo stesso Einstein lo aveva detto, scrivendo al'amico Barnett , come riportato in uno dei link di cui sopra.
Quindi, non ha senso distinguere tra "massa di riposo $m_0$ " e massa in moto $m = gammam_0$ . LA massa è massa $m$ , in quiete come in moto, invariante .
Chiarito questo , l'energia relativistica è espressa da : $E = gammamc^2 = (mc^2)/(sqrt( 1- (v/c)^2) $
Il fattore $gamma$ si può sviluppare in serie : $ E = mc^2 ( 1 + 1/2(v/c)^2 + ....) $
a basse velocità , ci si può fermare al secondo termine dello sviluppo in serie, ponendo :
$ E =mc^2( 1 + 1/2(v/c)^2) = mc^2 + 1/2mv^2 $
come vedi , l'energia (a basse velocità , per cui v << c ) è data dalla somma delle quantità $mc^2 $ , energia di riposo ( ora sí che possiamo dire "di riposo" , perché basta assumere $v=0$ nella precedente relazione! ) e di $1/2mv^2 = K $ , energia cinetica classica . Se non si trascurano i termini di ordine superiore nello sviluppo in serie, si ottengono altri addendi, ma $K= 1/2mv^2$ è di gran lunga quello preponderante .
La scoperta più importante di Einstein fu questa : una massa $m$ , indipendentemente dal suo stato di moto, possiede una energia di quiete $E_0 = mc^2$.
Quando la massa è in moto , energia relativistica è data da : $ E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2 $ , in cui $p=gammamv$ è la quantità di moto relativistica della massa .
MA c'è un primo punto da chiarire : la massa di un corpo non aumenta con la velocità , è un invariante relativistico . Questo è il punto di vista più moderno sulla massa, il cui valore non dipende dalla velocità che il corpo ha in un certo riferimento inerziale , cioè rispetto a un certo osservatore. Ti rimando a questa discussione, e ai link in essa citati :
viewtopic.php?f=19&t=183360&p=8325043&hilit=einstein+barnett#p8325043
leggila tutta, potrai renderti conto di quanto ancora si discute su questo aspetto. Io sto dalla parte di coloro che affermano l'invarianza di $m$ con la velocità, come del resto la maggiore parte dei relativisti moderni. D'altronde, lo stesso Einstein lo aveva detto, scrivendo al'amico Barnett , come riportato in uno dei link di cui sopra.
Quindi, non ha senso distinguere tra "massa di riposo $m_0$ " e massa in moto $m = gammam_0$ . LA massa è massa $m$ , in quiete come in moto, invariante .
Chiarito questo , l'energia relativistica è espressa da : $E = gammamc^2 = (mc^2)/(sqrt( 1- (v/c)^2) $
Il fattore $gamma$ si può sviluppare in serie : $ E = mc^2 ( 1 + 1/2(v/c)^2 + ....) $
a basse velocità , ci si può fermare al secondo termine dello sviluppo in serie, ponendo :
$ E =mc^2( 1 + 1/2(v/c)^2) = mc^2 + 1/2mv^2 $
come vedi , l'energia (a basse velocità , per cui v << c ) è data dalla somma delle quantità $mc^2 $ , energia di riposo ( ora sí che possiamo dire "di riposo" , perché basta assumere $v=0$ nella precedente relazione! ) e di $1/2mv^2 = K $ , energia cinetica classica . Se non si trascurano i termini di ordine superiore nello sviluppo in serie, si ottengono altri addendi, ma $K= 1/2mv^2$ è di gran lunga quello preponderante .
La scoperta più importante di Einstein fu questa : una massa $m$ , indipendentemente dal suo stato di moto, possiede una energia di quiete $E_0 = mc^2$.
Quando la massa è in moto , energia relativistica è data da : $ E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2 $ , in cui $p=gammamv$ è la quantità di moto relativistica della massa .
Grazie
Mi sono ricordato di una dimostrazione un po' più tecnica della formula $E_0 = mc^2$ , questa :
viewtopic.php?f=19&t=172587&p=8267169&hilit=dimostrazione+energia+relativistica#p8267169
dove si parte dalla definizione di forza come la stessa che si fa in meccanica newtoniana : $ F = (dp)/(dt) $ , e dall'applicazione del teorema dell'energia cinetica : il lavoro delle forze agenti su $m$ è uguale alla variazione di energia cinetica di $m$.
La differenza fondamentale con la meccanica classica è nella definizione della quantità di moto relativistica , che non è più semplicemente : $p= mv$ , ma è data da $p = gammamv$. Perchè questo ? Innanzitutto c'è una ricca evidenza sperimentale al riguardo. Poi, quando si introducono i 4-vettori , dovuti a Minkowski , uno dei primi che si incontra è la 4-velocità di un corpo di massa $m$ (invariante) , che è formata da una componente temporale e una spaziale.
A partire dal 4-vettore posizione di m, cosí definita :
$vecr =(ct, x,y,z) = (x^0 , x^1,x^2,x^3)$
semplifichiamo considerando solo spostamenti lungo $x$ , per cui : $ vec(dr) = (dx^0 , dx)= (cdt, dx) $ .
Come noto , le TL ci portano a dire che : $(cdt)^2 - (dx)^2$ è invariante, non dipende cioè dall'osservatore, e questa non è altro che l'invarianza del 4-intervallo tra due eventi nello spaziotempo.
Volendo definire una 4-velocità , dobbiamo rapportare la variazione $dr$ non al tempo coordinato $dt$, che dipende dall'osservatore , ma al tempo proprio $d\tau$ di $m$ , che è invece indipendente dall'osservatore , è il tempo segnato da un orologio che $m$ porta con sé nel suo movimento. Allora si definisce la 4-velocita $barV$:
$barV = ((dx^0)/(d\tau) , (dx)/(d\tau) ) = ((c(dt)/(d\tau) , (vdt)/(d\tau) ) $
ma sappiamo che $(dt)/(d\tau) = gamma$ , per cui : $barV = (gammac, gammav)$ : è facile calcolare la norma di questo 4-vettore , moltiplicandolo scalarmente per se stesso [nota]Qui bisognerebbe precisare che cosa si intende per "prodotto scalare parlando di quadrivettori : in breve si fa il quadrato del primo e si sottrae il quadrato del secondo termine, ma è impreciso, bisognerebbe introdurre la metrica dello ST ....sorvoliamo ...[/nota] :
$V^2 = gamma ^2 (c^2-v^2) =...= c^2$
cioè , la norma della 4-velocità non è altro che la velocità della luce: $V =c $ .
Per ottenere il 4-impulso, è semplice , basta moltiplicare per la massa $m$ invariante del corpo :
$bar P = (gammamc, gamma mv ) $ . Anche la norma del 4-impulso è invariante , e risulta : $ P = mc $ .
Come vedi , la parte spaziale del 4-impulso è data ora da : $p = gammamv$ . La legge di Newton della forza in RR si scrive:
$F = (dp)/(dt) = (d(gammamv)) /(dt) = m (d(gammav))/(dt) $
da cui si ricavano conseguenze diverse da quelle della meccanica classica .
viewtopic.php?f=19&t=172587&p=8267169&hilit=dimostrazione+energia+relativistica#p8267169
dove si parte dalla definizione di forza come la stessa che si fa in meccanica newtoniana : $ F = (dp)/(dt) $ , e dall'applicazione del teorema dell'energia cinetica : il lavoro delle forze agenti su $m$ è uguale alla variazione di energia cinetica di $m$.
La differenza fondamentale con la meccanica classica è nella definizione della quantità di moto relativistica , che non è più semplicemente : $p= mv$ , ma è data da $p = gammamv$. Perchè questo ? Innanzitutto c'è una ricca evidenza sperimentale al riguardo. Poi, quando si introducono i 4-vettori , dovuti a Minkowski , uno dei primi che si incontra è la 4-velocità di un corpo di massa $m$ (invariante) , che è formata da una componente temporale e una spaziale.
A partire dal 4-vettore posizione di m, cosí definita :
$vecr =(ct, x,y,z) = (x^0 , x^1,x^2,x^3)$
semplifichiamo considerando solo spostamenti lungo $x$ , per cui : $ vec(dr) = (dx^0 , dx)= (cdt, dx) $ .
Come noto , le TL ci portano a dire che : $(cdt)^2 - (dx)^2$ è invariante, non dipende cioè dall'osservatore, e questa non è altro che l'invarianza del 4-intervallo tra due eventi nello spaziotempo.
Volendo definire una 4-velocità , dobbiamo rapportare la variazione $dr$ non al tempo coordinato $dt$, che dipende dall'osservatore , ma al tempo proprio $d\tau$ di $m$ , che è invece indipendente dall'osservatore , è il tempo segnato da un orologio che $m$ porta con sé nel suo movimento. Allora si definisce la 4-velocita $barV$:
$barV = ((dx^0)/(d\tau) , (dx)/(d\tau) ) = ((c(dt)/(d\tau) , (vdt)/(d\tau) ) $
ma sappiamo che $(dt)/(d\tau) = gamma$ , per cui : $barV = (gammac, gammav)$ : è facile calcolare la norma di questo 4-vettore , moltiplicandolo scalarmente per se stesso [nota]Qui bisognerebbe precisare che cosa si intende per "prodotto scalare parlando di quadrivettori : in breve si fa il quadrato del primo e si sottrae il quadrato del secondo termine, ma è impreciso, bisognerebbe introdurre la metrica dello ST ....sorvoliamo ...[/nota] :
$V^2 = gamma ^2 (c^2-v^2) =...= c^2$
cioè , la norma della 4-velocità non è altro che la velocità della luce: $V =c $ .
Per ottenere il 4-impulso, è semplice , basta moltiplicare per la massa $m$ invariante del corpo :
$bar P = (gammamc, gamma mv ) $ . Anche la norma del 4-impulso è invariante , e risulta : $ P = mc $ .
Come vedi , la parte spaziale del 4-impulso è data ora da : $p = gammamv$ . La legge di Newton della forza in RR si scrive:
$F = (dp)/(dt) = (d(gammamv)) /(dt) = m (d(gammav))/(dt) $
da cui si ricavano conseguenze diverse da quelle della meccanica classica .
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