Massa appesa ad una molla con urto anelastico
Salve a tutti! Mi trovo a dover affrontare il seguente esercizio:
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Ho risolto i primi due punti, di cui vi riporto lo svolgimento, e ora sono a risolvere il terzo punto:
(a) - Determinazione della lunghezza della molla nella posizione di equilibrio:
Si considera un asse verticale rivolto verso il basso e si osservano le forze agenti sulla massa m: l'equazione del moto all'equilibio risulta:
\(\displaystyle \vec{F_{e}} + \vec{P} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle -ky_{eq} + mg = 0 \Rightarrow y_{eq} = {mg \over k} \)
(b) - Determinazione del valore minimo della velocità \(\displaystyle v_{0} \) (\(\displaystyle v_{0}^{min} \)) affinch+ m raggiunga il soffitto:
Sappiamo dalle ipotesi che l'urto è completamente anelastico, di conseguenza si ha la conservazione della quantità di moto del sistema:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle Mv_{0}^{min} = (m+M) V \Rightarrow v_{0}^{min} = {(m+M) \over M} V \)
Si osserva, ora, che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, non agisce sul sistema alcun tipo di forza dissipativa e conseguentemente si ha la conservazione dell'energia meccanica del sistema:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = 0 \Rightarrow E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \)
Pertanto:
\(\displaystyle E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \Rightarrow {1\over 2} (m+M)V^{2} = (m+M)gy_{eq} \)
e quindi:
\(\displaystyle V^{2} = {2mg^{2} \over k} \Rightarrow V = g \sqrt{{2m \over k}} \)
Sostituiamo ora l'espressione ottenuta per ottenere la velocità \(\displaystyle v_{0}^{min} \) richiesta:
\(\displaystyle v_{0}^{min} = {(m+M)\over M} V \Rightarrow v_{0}^{min} = {(m+M)\over M}g \sqrt{{2m \over k}} \)
(c) - Studio del moto di m e determinazione della sua legge oraria:
Poichè per ipotesi l'urto è completamente anelastico, si ha la conservazione della quantità di moto del sistema, quindi:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle M{v_{0}^{min} \over 2} = (m+M) V \Rightarrow V ={Mv_{0}^{min} \over 2(m+M)} \)
Si osserva ora che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, nessuna forza dissipativa agisce sul sistema e di conseguenza l'energia meccanica si conserva:
\(\displaystyle {d \over dt} E_{tot} = 0 \)
dove:
\(\displaystyle E_{tot} = {1\over 2} (m+M)V^{2} + g(m+M)y_{eq} + ky^{2} \)
Quindi:
\(\displaystyle {d\over dt} E_{tot} = (m+M)V \ddot{y} + 2ky \dot{y} = 0 \Rightarrow \ddot{y} + {2k y \dot{y} \over (m+M)V} \)
Si osserva ora che \(\displaystyle V \equiv \dot{y} \), dunque:
\(\displaystyle \ddot{y} + {2k\over (m+M)} y = 0 \)
Abbiamo ottenuto l'equazione di un oscillatore armonico, la cui legge oraria è:
\(\displaystyle y(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)
Per la determinazione di A, \(\displaystyle \phi \) ed \(\displaystyle \omega \), utilizzo le seguenti relazioni:
\(\displaystyle A = \sqrt{{V^{2} \over \omega^{2}} + y_{0}^{2}} \)
\(\displaystyle \omega = \sqrt{2k \over (m+M)} \)
\(\displaystyle \phi = -{V \over \omega y_{eq}} \)
E' corretto questo modo di procedere per il punto (c) ?
Vi ringrazio in aticipo per la disponibilità e la pazienza! Grazie!
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Ho risolto i primi due punti, di cui vi riporto lo svolgimento, e ora sono a risolvere il terzo punto:
(a) - Determinazione della lunghezza della molla nella posizione di equilibrio:
Si considera un asse verticale rivolto verso il basso e si osservano le forze agenti sulla massa m: l'equazione del moto all'equilibio risulta:
\(\displaystyle \vec{F_{e}} + \vec{P} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle -ky_{eq} + mg = 0 \Rightarrow y_{eq} = {mg \over k} \)
(b) - Determinazione del valore minimo della velocità \(\displaystyle v_{0} \) (\(\displaystyle v_{0}^{min} \)) affinch+ m raggiunga il soffitto:
Sappiamo dalle ipotesi che l'urto è completamente anelastico, di conseguenza si ha la conservazione della quantità di moto del sistema:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle Mv_{0}^{min} = (m+M) V \Rightarrow v_{0}^{min} = {(m+M) \over M} V \)
Si osserva, ora, che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, non agisce sul sistema alcun tipo di forza dissipativa e conseguentemente si ha la conservazione dell'energia meccanica del sistema:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = 0 \Rightarrow E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \)
Pertanto:
\(\displaystyle E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \Rightarrow {1\over 2} (m+M)V^{2} = (m+M)gy_{eq} \)
e quindi:
\(\displaystyle V^{2} = {2mg^{2} \over k} \Rightarrow V = g \sqrt{{2m \over k}} \)
Sostituiamo ora l'espressione ottenuta per ottenere la velocità \(\displaystyle v_{0}^{min} \) richiesta:
\(\displaystyle v_{0}^{min} = {(m+M)\over M} V \Rightarrow v_{0}^{min} = {(m+M)\over M}g \sqrt{{2m \over k}} \)
(c) - Studio del moto di m e determinazione della sua legge oraria:
Poichè per ipotesi l'urto è completamente anelastico, si ha la conservazione della quantità di moto del sistema, quindi:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle M{v_{0}^{min} \over 2} = (m+M) V \Rightarrow V ={Mv_{0}^{min} \over 2(m+M)} \)
Si osserva ora che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, nessuna forza dissipativa agisce sul sistema e di conseguenza l'energia meccanica si conserva:
\(\displaystyle {d \over dt} E_{tot} = 0 \)
dove:
\(\displaystyle E_{tot} = {1\over 2} (m+M)V^{2} + g(m+M)y_{eq} + ky^{2} \)
Quindi:
\(\displaystyle {d\over dt} E_{tot} = (m+M)V \ddot{y} + 2ky \dot{y} = 0 \Rightarrow \ddot{y} + {2k y \dot{y} \over (m+M)V} \)
Si osserva ora che \(\displaystyle V \equiv \dot{y} \), dunque:
\(\displaystyle \ddot{y} + {2k\over (m+M)} y = 0 \)
Abbiamo ottenuto l'equazione di un oscillatore armonico, la cui legge oraria è:
\(\displaystyle y(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)
Per la determinazione di A, \(\displaystyle \phi \) ed \(\displaystyle \omega \), utilizzo le seguenti relazioni:
\(\displaystyle A = \sqrt{{V^{2} \over \omega^{2}} + y_{0}^{2}} \)
\(\displaystyle \omega = \sqrt{2k \over (m+M)} \)
\(\displaystyle \phi = -{V \over \omega y_{eq}} \)
E' corretto questo modo di procedere per il punto (c) ?
Vi ringrazio in aticipo per la disponibilità e la pazienza! Grazie!
Risposte
Nel punto b devi anche considerare l'energia della molla.
Ciao! Per quanto riguarda il punto (b), hai perfettamente ragione si vede che ieri mi son dimenticato, ma ovviamente c'è anche l'energia potenziale della molla. Riportando il procedimento corretto:
(b) - Determinazione del valore minimo della velocità \(\displaystyle v_{0} \) (\(\displaystyle v_{0}^{min} \)) affinchè m raggiunga il soffitto:
Sappiamo dalle ipotesi che l'urto è completamente anelastico, di conseguenza si ha la conservazione della quantità di moto del sistema:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle Mv_{0}^{min} = (m+M) V \Rightarrow v_{0}^{min} = {(m+M) \over M} V \)
Si osserva, ora, che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, non agisce sul sistema alcun tipo di forza dissipativa e conseguentemente si ha la conservazione dell'energia meccanica del sistema:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = 0 \Rightarrow E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \)
Pertanto:
\(\displaystyle E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \Rightarrow {1\over 2} (m+M)V^{2} + {k\over 2} y_{eq}^{2} = (m+M)gy_{eq} \)
e quindi:
\(\displaystyle V^{2} ={g^{2} \over k}(2m - {m^{2}\over (m+M)}) \Rightarrow V = g\sqrt{{m\over k}(2 -{m\over (m+M)})} \)
Sostituiamo ora l'espressione ottenuta per ottenere la velocità \(\displaystyle v_{0}^{min} \) richiesta:
\(\displaystyle v_{0}^{min} = {(m+M)\over M} V = {(m+M)\over M} g \sqrt{ { m\over k}(2- {m \over m+M})} \)
Tenendo conto quindi di quanto detto, riporto il procedimento per la risoluzione del punto (c), chiedendovi se risulta corretto procedere in questo modo:
(c) - Studio del moto di m e determinazione della sua legge oraria:
Poichè per ipotesi l'urto è completamente anelastico, si ha la conservazione della quantità di moto del sistema, quindi:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle M{v_{0}^{min} \over 2} = (m+M) V \Rightarrow V ={Mv_{0}^{min} \over 2(m+M)} \)
Si osserva ora che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, nessuna forza dissipativa agisce sul sistema e di conseguenza l'energia meccanica si conserva:
\(\displaystyle {d \over dt} E_{tot} = 0 \)
dove:
\(\displaystyle E_{tot} = {1\over 2} (m+M)\dot{y}^{2} + g(m+M)y + {k\over 2}y^{2} \)
Quindi:
\(\displaystyle {d\over dt} E_{tot} = (m+M)\dot{y} \ddot{y} + ky \dot{y} + g(m+M) \dot{y} = 0 \Rightarrow \ddot{y} + {k y \dot{y} \over (m+M) \dot{y}} + {g(m+M) \dot{y} \over (m+M)\dot{y}} \)
Dunque:
\(\displaystyle \ddot{y} + {k\over (m+M)} y + g = 0 \)
Poniamo ora:
\(\displaystyle s(t) = y(t) + {m+M \over k}g \)
Ottenendo:
\(\displaystyle \ddot{s} + {k \over m+M} s =0 \)
Questa è l'equazione di un oscillatore armonico, la cui legge oraria è:
\(\displaystyle s(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)
di conseguenza:
\(\displaystyle y(t) = s(t) - {m+M \over k} g = A cos(\omega t + \phi)- {m+M \over k} g \)
Per la determinazione di A, \(\displaystyle \phi \) ed \(\displaystyle \omega \), utilizzo le seguenti relazioni:
\(\displaystyle A = \sqrt{{V^{2} \over \omega^{2}} + y_{eq}^{2}} \)
\(\displaystyle \omega = \sqrt{k \over (m+M)} \)
\(\displaystyle \tan{\phi} = -{V \over \omega y_{eq}} \)
(d) - Determinazione delle leggi orarie del moto lungo l'orizzontale e la verticale, e determinazione della traiettoria:
Poichè per ipotesi l'urto è completamente anelastico, si ha la conservazione del momento angolare del sistema: proprio qua però ho il primo dubbio. Infatti il momento angolare iniziale è dato da:
\(\displaystyle \vec{P_{o}^{i}} = M \vec{v_{1}} \Delta \vec{l_{eq}} = M \vec{v_{1}} \vec{y_{eq}} \)
Quello finale invece dovrà tenere di conto che il braccio è aumentato a causa della dilatazione ulteriore della molla subito dopo l'urto: la massa appesa alla molla è infatti ora pari a (m+M). Quindi avrò:
\(\displaystyle \vec{P_{o}^{f}} = (m+M) \vec{V} \Delta \vec{l^{'}}\)
Come determino questa nuova dilatazione della molla? Le due masse, oltre a spostarsi verso destra, oscilleranno lungo l'asse della molla? Come ottengo le leggi orarie lungo l'orizzontale e la verticale?
Vi chiedo dunque se è appunto corretto procedere come ho riportato per il punto (c) e in più vi chiedo gentilmente aiuto per la risoluzione del punto (d). Grazie ancora, davvero!
(b) - Determinazione del valore minimo della velocità \(\displaystyle v_{0} \) (\(\displaystyle v_{0}^{min} \)) affinchè m raggiunga il soffitto:
Sappiamo dalle ipotesi che l'urto è completamente anelastico, di conseguenza si ha la conservazione della quantità di moto del sistema:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle Mv_{0}^{min} = (m+M) V \Rightarrow v_{0}^{min} = {(m+M) \over M} V \)
Si osserva, ora, che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, non agisce sul sistema alcun tipo di forza dissipativa e conseguentemente si ha la conservazione dell'energia meccanica del sistema:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = 0 \Rightarrow E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \)
Pertanto:
\(\displaystyle E_{tot}^{i} = E_{tot}^{f} \Rightarrow {1\over 2} (m+M)V^{2} + {k\over 2} y_{eq}^{2} = (m+M)gy_{eq} \)
e quindi:
\(\displaystyle V^{2} ={g^{2} \over k}(2m - {m^{2}\over (m+M)}) \Rightarrow V = g\sqrt{{m\over k}(2 -{m\over (m+M)})} \)
Sostituiamo ora l'espressione ottenuta per ottenere la velocità \(\displaystyle v_{0}^{min} \) richiesta:
\(\displaystyle v_{0}^{min} = {(m+M)\over M} V = {(m+M)\over M} g \sqrt{ { m\over k}(2- {m \over m+M})} \)
Tenendo conto quindi di quanto detto, riporto il procedimento per la risoluzione del punto (c), chiedendovi se risulta corretto procedere in questo modo:
(c) - Studio del moto di m e determinazione della sua legge oraria:
Poichè per ipotesi l'urto è completamente anelastico, si ha la conservazione della quantità di moto del sistema, quindi:
\(\displaystyle \Delta\vec{Q} = 0 \)
Pertanto:
\(\displaystyle M{v_{0}^{min} \over 2} = (m+M) V \Rightarrow V ={Mv_{0}^{min} \over 2(m+M)} \)
Si osserva ora che, dal momento immediatamente successivo all'urto in poi, nessuna forza dissipativa agisce sul sistema e di conseguenza l'energia meccanica si conserva:
\(\displaystyle {d \over dt} E_{tot} = 0 \)
dove:
\(\displaystyle E_{tot} = {1\over 2} (m+M)\dot{y}^{2} + g(m+M)y + {k\over 2}y^{2} \)
Quindi:
\(\displaystyle {d\over dt} E_{tot} = (m+M)\dot{y} \ddot{y} + ky \dot{y} + g(m+M) \dot{y} = 0 \Rightarrow \ddot{y} + {k y \dot{y} \over (m+M) \dot{y}} + {g(m+M) \dot{y} \over (m+M)\dot{y}} \)
Dunque:
\(\displaystyle \ddot{y} + {k\over (m+M)} y + g = 0 \)
Poniamo ora:
\(\displaystyle s(t) = y(t) + {m+M \over k}g \)
Ottenendo:
\(\displaystyle \ddot{s} + {k \over m+M} s =0 \)
Questa è l'equazione di un oscillatore armonico, la cui legge oraria è:
\(\displaystyle s(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)
di conseguenza:
\(\displaystyle y(t) = s(t) - {m+M \over k} g = A cos(\omega t + \phi)- {m+M \over k} g \)
Per la determinazione di A, \(\displaystyle \phi \) ed \(\displaystyle \omega \), utilizzo le seguenti relazioni:
\(\displaystyle A = \sqrt{{V^{2} \over \omega^{2}} + y_{eq}^{2}} \)
\(\displaystyle \omega = \sqrt{k \over (m+M)} \)
\(\displaystyle \tan{\phi} = -{V \over \omega y_{eq}} \)
(d) - Determinazione delle leggi orarie del moto lungo l'orizzontale e la verticale, e determinazione della traiettoria:
Poichè per ipotesi l'urto è completamente anelastico, si ha la conservazione del momento angolare del sistema: proprio qua però ho il primo dubbio. Infatti il momento angolare iniziale è dato da:
\(\displaystyle \vec{P_{o}^{i}} = M \vec{v_{1}} \Delta \vec{l_{eq}} = M \vec{v_{1}} \vec{y_{eq}} \)
Quello finale invece dovrà tenere di conto che il braccio è aumentato a causa della dilatazione ulteriore della molla subito dopo l'urto: la massa appesa alla molla è infatti ora pari a (m+M). Quindi avrò:
\(\displaystyle \vec{P_{o}^{f}} = (m+M) \vec{V} \Delta \vec{l^{'}}\)
Come determino questa nuova dilatazione della molla? Le due masse, oltre a spostarsi verso destra, oscilleranno lungo l'asse della molla? Come ottengo le leggi orarie lungo l'orizzontale e la verticale?
Vi chiedo dunque se è appunto corretto procedere come ho riportato per il punto (c) e in più vi chiedo gentilmente aiuto per la risoluzione del punto (d). Grazie ancora, davvero!
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