Macchina di Atwood
Buongiorno ragazzi mi sto esercitando con la fisica e mi sono imbattuto in un esercizio con la macchina di Atwood.
Ho dei dubbi su una parte del problema.
La traccia è:
Una macchina ideale di Atwood ha le masse $ m_1 $ e $ m_2 $ rispettivamente uguali a 2 kg e 3 kg .Calcolare le tensioni,le accelerazioni delle masse e la velocità del centro di massa del sistema composto dalle due masse dopo due secondi.
Io ho scelto un sistema di riferimento tale che la forza peso di $ m_2 $ sia positiva.
Il sistema da risolvere è: $ { ( -m_1g+T_1=m_1a_1 ),( m_2g-T_2=m_2a_2 ):} $
essendo però il filo inestensibile si ha che $ a_1=a_2=a $
inoltre essendo la carrucola prima di massa si ha che $ T_1=T_2=T $
quindi sostituisco nel sistema queste relazioni appena trovate e sommo membro a membro in modo da eliminare le tensioni in seguito ricavo l'accelerazione che è uguale a : $ a=((m_2-m_1)g)/(m_2+m_1) $ .Per trovare la tensione sostituisco l'accelerazione nella prima riga del sistema e ottengo che $ T=m_1(a+g)=m_1(g(m_2-m_1)/(m_1+m_2)+g)=(2gm_1m_2)/(m_1+m_2) $ .
Infine per ricavare la velocità del centro di massa del sistema $ m_1 + m_2 $ ricordo che $ x_{cm}=(m_1x_1+m_2x_2)/(m_1+m_2) $ ,la derivo e ottengo: $ v_{cm}(t)=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)=(m_1at+m_2at)/(m_1+m_2)=(at(m_1+m_2))/(m_1+m_2)=at $ ,valuto questa funzione per t=2 e ottengo $ 2a $
sono abbastanza convinto su tutto tranne che per trovare la velocità del centro di massa,spero qualcuno possa aiutarmi
Ho dei dubbi su una parte del problema.
La traccia è:
Una macchina ideale di Atwood ha le masse $ m_1 $ e $ m_2 $ rispettivamente uguali a 2 kg e 3 kg .Calcolare le tensioni,le accelerazioni delle masse e la velocità del centro di massa del sistema composto dalle due masse dopo due secondi.
Io ho scelto un sistema di riferimento tale che la forza peso di $ m_2 $ sia positiva.
Il sistema da risolvere è: $ { ( -m_1g+T_1=m_1a_1 ),( m_2g-T_2=m_2a_2 ):} $
essendo però il filo inestensibile si ha che $ a_1=a_2=a $
inoltre essendo la carrucola prima di massa si ha che $ T_1=T_2=T $
quindi sostituisco nel sistema queste relazioni appena trovate e sommo membro a membro in modo da eliminare le tensioni in seguito ricavo l'accelerazione che è uguale a : $ a=((m_2-m_1)g)/(m_2+m_1) $ .Per trovare la tensione sostituisco l'accelerazione nella prima riga del sistema e ottengo che $ T=m_1(a+g)=m_1(g(m_2-m_1)/(m_1+m_2)+g)=(2gm_1m_2)/(m_1+m_2) $ .
Infine per ricavare la velocità del centro di massa del sistema $ m_1 + m_2 $ ricordo che $ x_{cm}=(m_1x_1+m_2x_2)/(m_1+m_2) $ ,la derivo e ottengo: $ v_{cm}(t)=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)=(m_1at+m_2at)/(m_1+m_2)=(at(m_1+m_2))/(m_1+m_2)=at $ ,valuto questa funzione per t=2 e ottengo $ 2a $
sono abbastanza convinto su tutto tranne che per trovare la velocità del centro di massa,spero qualcuno possa aiutarmi
Risposte
Il calcolo di $a$ e di $T$ è ok. Per $v$ invece ricorda che le due masse hanno accelerazioni opposte e quindi a una delle due masse devi mettere $a$ con un segno meno (a quale delle due dipende da come hai scelto l'asse).
PS: Noto che nelle equazioni hai fatto molta confusione tra moduli e componenti dei vettori e ci sono delle incoerenze...ma per qualche motivo i risultati sono corretti
PS: Noto che nelle equazioni hai fatto molta confusione tra moduli e componenti dei vettori e ci sono delle incoerenze...ma per qualche motivo i risultati sono corretti
Nei calcoli che ho svolto ho considerato direttamente le proiezioni dei vettori,e anche per la velocità intendo il modulo.Puoi farmi vedere il tuo modo di operare?
Assumo "m_1" a sinistra e $m_2$ a destra della carrucola, e l'asse x rivolto verso il basso. In queste ipotesi le equazioni sono
\(\displaystyle m_1a_{1x}=m_1g-T\)
\(\displaystyle m_2a_{2x}=m_2g-T\)
\(\displaystyle a_{1x}=-a_{2x}\)
dove $T$ è il modulo della tensione e l'ultima equazione tiene conto, senza fare nessuna ipotesi su come si muoverà il sistema, che in ogni caso le due masse avranno moti opposti.
Dopo che hai risolto il sistema, per l'accelerazione del cdm $C$ hai
\(\displaystyle a_{cx}=\frac{m_1a_{1x}+m_2a_{2x}}{m_1+m_2}=\frac{m_1a_{1x}-m_2a_{1x}}{m_1+m_2} \) e ci sostituisci il valore di $a_{1x}$ trovato prima.
\(\displaystyle m_1a_{1x}=m_1g-T\)
\(\displaystyle m_2a_{2x}=m_2g-T\)
\(\displaystyle a_{1x}=-a_{2x}\)
dove $T$ è il modulo della tensione e l'ultima equazione tiene conto, senza fare nessuna ipotesi su come si muoverà il sistema, che in ogni caso le due masse avranno moti opposti.
Dopo che hai risolto il sistema, per l'accelerazione del cdm $C$ hai
\(\displaystyle a_{cx}=\frac{m_1a_{1x}+m_2a_{2x}}{m_1+m_2}=\frac{m_1a_{1x}-m_2a_{1x}}{m_1+m_2} \) e ci sostituisci il valore di $a_{1x}$ trovato prima.
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