[m razionale] problema esercizio dinamica dei sistemi
ciao, ho un problema con un esercizio:
[img]http://imageshack.us/photo/my-images/836/catturajx.png/[/img]
http://imageshack.us/photo/my-images/836/catturajx.png/
il risultato dovrebbe essere $alpha = -3/2 (i n s t a b i l e)$
non volendo procedere per via lagrangiana ho pensato di poterlo risolvere o tramite le equazioni cardinali o tramite il principio dei lavori virtuali (l'equazione simbolica della statica). tanto dev'essere equivalente.
con le equazioni cardinali ho fatto il seguente ragionamento:
1) sul disco agisce un momento tale da far ruotare il disco in modo che rotoli verso destra. il disco rotola senza strisciare quindi $ddot(x) = L*dot(omega)$ per il disco quindi per l'equilibrio si ha $I*dot(omega) = alpha m g L$ -> $ dot(omega) = (2 alpha g)/L $ quindi la forza che il disco esercita sull'estremo dell'asta è $Rda = m ddot(x) = m L dot(omega) = 2 alpha m g$ lungo la direzione orizzontale mentre la reazione vincolare del piano sul disco è $phi d = mg$ lungo la verticale.
2) la reazione vincolare su A, $vec(phi)a$ poichè $dA$ è invertibile è perpendicolare all'appoggio e quindi orizzontale
il punto M ha coordinate: $M=(4L*sin theta, L + 4L*cos theta)$
facendo l'equilibrio alla translazione dell'asta ho $ vec(phi)a + vec(R)da - k(M - H) - m vec(g) + vec(phi)da = vec 0$ (con $phi da$ indico la componente verticale della reazione vincolare del disco sull'asta)
proiettando sulla verticale $phi da = mg$
sull'orizzontale $phi a + 2 alpha m g - k*4L*sin theta = 0$
(da qui ricavo $phi a$: $phi a = - 2 alpha m g + k*4L*sin theta$)
3) faccio l'equilibrio alle rotazioni, prendendo come polo ad esempio M e ho:
lungo l'ortogonale $4L*phi a cos theta - 4L*Rda cos theta - 4L*mg sin theta = 0$ cioè
$-2 alpha m g cos theta + 4L k sin theta cos theta - 2 alpha m g cos theta - mg sin theta = 0$
4) sostituisco $theta = pi/3$ cioè $(cos theta, sin theta) = (1/2, sqrt(3)/2)$ e viene
$- 2 alpha m g + L k sqrt(3) - (mg sqrt(3))/2 = 0$ cioè $alpha = (Lk)/(mg) sqrt(3)/2 - sqrt(3)/4$
dove sbaglio?
[img]http://imageshack.us/photo/my-images/836/catturajx.png/[/img]
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il risultato dovrebbe essere $alpha = -3/2 (i n s t a b i l e)$
non volendo procedere per via lagrangiana ho pensato di poterlo risolvere o tramite le equazioni cardinali o tramite il principio dei lavori virtuali (l'equazione simbolica della statica). tanto dev'essere equivalente.
con le equazioni cardinali ho fatto il seguente ragionamento:
1) sul disco agisce un momento tale da far ruotare il disco in modo che rotoli verso destra. il disco rotola senza strisciare quindi $ddot(x) = L*dot(omega)$ per il disco quindi per l'equilibrio si ha $I*dot(omega) = alpha m g L$ -> $ dot(omega) = (2 alpha g)/L $ quindi la forza che il disco esercita sull'estremo dell'asta è $Rda = m ddot(x) = m L dot(omega) = 2 alpha m g$ lungo la direzione orizzontale mentre la reazione vincolare del piano sul disco è $phi d = mg$ lungo la verticale.
2) la reazione vincolare su A, $vec(phi)a$ poichè $dA$ è invertibile è perpendicolare all'appoggio e quindi orizzontale
il punto M ha coordinate: $M=(4L*sin theta, L + 4L*cos theta)$
facendo l'equilibrio alla translazione dell'asta ho $ vec(phi)a + vec(R)da - k(M - H) - m vec(g) + vec(phi)da = vec 0$ (con $phi da$ indico la componente verticale della reazione vincolare del disco sull'asta)
proiettando sulla verticale $phi da = mg$
sull'orizzontale $phi a + 2 alpha m g - k*4L*sin theta = 0$
(da qui ricavo $phi a$: $phi a = - 2 alpha m g + k*4L*sin theta$)
3) faccio l'equilibrio alle rotazioni, prendendo come polo ad esempio M e ho:
lungo l'ortogonale $4L*phi a cos theta - 4L*Rda cos theta - 4L*mg sin theta = 0$ cioè
$-2 alpha m g cos theta + 4L k sin theta cos theta - 2 alpha m g cos theta - mg sin theta = 0$
4) sostituisco $theta = pi/3$ cioè $(cos theta, sin theta) = (1/2, sqrt(3)/2)$ e viene
$- 2 alpha m g + L k sqrt(3) - (mg sqrt(3))/2 = 0$ cioè $alpha = (Lk)/(mg) sqrt(3)/2 - sqrt(3)/4$
dove sbaglio?
Risposte
Solitamente, in questi esercizi, il parametro adimensionale $\alpha$ è, per esempio, posto uguale a $(kl)/(mg)$.
Quindi viene fatta la discussione. Sei sicuro della soluzione?
Quindi viene fatta la discussione. Sei sicuro della soluzione?
ciao,
per quanto riguarda $alpha$, beh è il suo valore che devo trovare.
in realtà ho pensato che $k$ dovesse avere un valore del tipo $k= cost*(mg)/l$, (magari quella costante è proprio $alpha$) infatti anche in altri esercizi spesso da alle costanti delle molle valori del genere.
la soluzione data direi che a meno di errori del prof dovrebbe essere giusta.
ma in realtà ho qualche dubbio, mi spiego:
se k non assumesse determinati valori, ma rimanesse un dato del problema qualsiasi espressione che comprenda k sarebbe sbagliata poichè questa non compare nel risultato. ma la forza elastica è attive e non puo non entrare nelle equazioni dell'equilibrio, quindi secondo me ho passato due giorni su un problema senza sapere che il risultato era sbagliato...
daltronde ho provato con il principio dei lavori virtuali:
ho $M=(4L sin theta, L + 4L cos theta)$ cioè $ (del M)/(del theta) = (4L cos theta, -4L sin theta)$
allo stesso modo $ A=(8L sin theta, l)$ quindi $(del A)/(del theta) = ( 8L cos theta, 0)$
quindi la forza generalizzata di Laplace è $Q(theta) = vec(F)M * (del M)/(del theta) + vec(F)A*(del A)/(del theta) = -16 L^2 sin theta cos theta + mg 4L sin theta + 2 alpha mg 8L cos theta$
per l'equilibrio basta che questa forza generalizzata sia nulla se calcolata in $theta= (pi)/3$ con atto di moto nullo quindi $Q( (pi)/3 , 0, t) = - L k sqrt(3) + mg sqrt(3)/2 + 2 alpha mg = 0$ e cioè per $alpha = (L k)/(mg) sqrt(3)/2 - sqrt(3)/4$
a questo punto non so che pensare, o ho sbagliato entrambi i procedimenti o c'è un problema con la soluzione...
per quanto riguarda $alpha$, beh è il suo valore che devo trovare.
in realtà ho pensato che $k$ dovesse avere un valore del tipo $k= cost*(mg)/l$, (magari quella costante è proprio $alpha$) infatti anche in altri esercizi spesso da alle costanti delle molle valori del genere.
la soluzione data direi che a meno di errori del prof dovrebbe essere giusta.
ma in realtà ho qualche dubbio, mi spiego:
se k non assumesse determinati valori, ma rimanesse un dato del problema qualsiasi espressione che comprenda k sarebbe sbagliata poichè questa non compare nel risultato. ma la forza elastica è attive e non puo non entrare nelle equazioni dell'equilibrio, quindi secondo me ho passato due giorni su un problema senza sapere che il risultato era sbagliato...
daltronde ho provato con il principio dei lavori virtuali:
ho $M=(4L sin theta, L + 4L cos theta)$ cioè $ (del M)/(del theta) = (4L cos theta, -4L sin theta)$
allo stesso modo $ A=(8L sin theta, l)$ quindi $(del A)/(del theta) = ( 8L cos theta, 0)$
quindi la forza generalizzata di Laplace è $Q(theta) = vec(F)M * (del M)/(del theta) + vec(F)A*(del A)/(del theta) = -16 L^2 sin theta cos theta + mg 4L sin theta + 2 alpha mg 8L cos theta$
per l'equilibrio basta che questa forza generalizzata sia nulla se calcolata in $theta= (pi)/3$ con atto di moto nullo quindi $Q( (pi)/3 , 0, t) = - L k sqrt(3) + mg sqrt(3)/2 + 2 alpha mg = 0$ e cioè per $alpha = (L k)/(mg) sqrt(3)/2 - sqrt(3)/4$
a questo punto non so che pensare, o ho sbagliato entrambi i procedimenti o c'è un problema con la soluzione...
edit:
forse non ho considerato B:
$B=(0, L + 8L cos theta) -> (del B)/(del theta) = (0, - 8L sin theta)$ quindi
$-m vec(g) * (0, -8L sin theta) = (0, 8L m g sin theta)$
e devo aggiungere il termine all'equazione dell'equilibrio che diventa:
$Q((pi)/3,0,t) = - Lk sqrt(3) + mg*sqrt(3) + 2 alpha m g = 0$
meglio cosi?
forse non ho considerato B:
$B=(0, L + 8L cos theta) -> (del B)/(del theta) = (0, - 8L sin theta)$ quindi
$-m vec(g) * (0, -8L sin theta) = (0, 8L m g sin theta)$
e devo aggiungere il termine all'equazione dell'equilibrio che diventa:
$Q((pi)/3,0,t) = - Lk sqrt(3) + mg*sqrt(3) + 2 alpha m g = 0$
meglio cosi?
ho provato anche considerando il potenziale...
$U(theta) = -1/2 k 16 L^2 sin^2 theta - mg(L + 4Lcos theta) + 2 alpha m g 8L sin theta$
$(pi)/3$ è una posizione d'equilibrio se $(del U(theta))/(del theta) ((pi)/3) = 0$ cioè
$ (del U(theta))/(del theta) ((pi)/3) = -16 k L^2 sin theta cos theta + 4L mg sin theta + 16 alpha m g L cos theta = 0$
e risolvendo viene $ alpha = (kL)/(mg) sqrt(3)/2 - sqrt(3)/4$
non è che magari sbaglio a trasformare il momento agente sul disco in quella forza agente su A ?
$U(theta) = -1/2 k 16 L^2 sin^2 theta - mg(L + 4Lcos theta) + 2 alpha m g 8L sin theta$
$(pi)/3$ è una posizione d'equilibrio se $(del U(theta))/(del theta) ((pi)/3) = 0$ cioè
$ (del U(theta))/(del theta) ((pi)/3) = -16 k L^2 sin theta cos theta + 4L mg sin theta + 16 alpha m g L cos theta = 0$
e risolvendo viene $ alpha = (kL)/(mg) sqrt(3)/2 - sqrt(3)/4$
non è che magari sbaglio a trasformare il momento agente sul disco in quella forza agente su A ?
Il potenziale associato al momento mi risulta $-\alphamgL8sin\theta$.
In ogni modo non può venire la soluzione da te indicata.
Secondo me è stata fatta confusione con il parametro.
In ogni modo non può venire la soluzione da te indicata.
Secondo me è stata fatta confusione con il parametro.
già l'unica quindi mi sembra che $k = cost*(mg)/l$
ho provato anche un altro approcio,
$(vec(F)k + m vec(g)) * del M + vec(P) * vec(omega) del t = 0$
dove $vec(F)k$ è la forza elastica, $vec P$ il momento sul disco e $vec omega$ la velocità angolare del disco.
allora puro rotolamento => $ omega = dot(x)A/L = 8 dot(theta) cos theta$
allora svolgendo ho l'eq scalare $ -k 16 L^2 sin theta cos theta *del theta + 4L m g sin theta * del theta - 8 L alpha m g cos theta * dot(theta)dt = 0$
poiche $dot(theta)*del t = del theta$ :
$ - k 16 L^2 sin theta cos theta + 4L m g sin theta - 8 L alpha m g cos theta = 0$ (che convalida la tua espressione del potenziale)
e viene un risultato nella solita forma ovviamente $alpha = - (kL)/(mg) sqrt(3) + sqrt(3)/2$
per soddisfare la soluzione quindi k dovrebbe valere $k = (sqrt(3)+2)/4 * (mg)/L$
mi sembra un po strano come valore da omettere nel testo.. ma vabbe l'importante è il ragionamento, grazie speculor!
ho provato anche un altro approcio,
$(vec(F)k + m vec(g)) * del M + vec(P) * vec(omega) del t = 0$
dove $vec(F)k$ è la forza elastica, $vec P$ il momento sul disco e $vec omega$ la velocità angolare del disco.
allora puro rotolamento => $ omega = dot(x)A/L = 8 dot(theta) cos theta$
allora svolgendo ho l'eq scalare $ -k 16 L^2 sin theta cos theta *del theta + 4L m g sin theta * del theta - 8 L alpha m g cos theta * dot(theta)dt = 0$
poiche $dot(theta)*del t = del theta$ :
$ - k 16 L^2 sin theta cos theta + 4L m g sin theta - 8 L alpha m g cos theta = 0$ (che convalida la tua espressione del potenziale)
e viene un risultato nella solita forma ovviamente $alpha = - (kL)/(mg) sqrt(3) + sqrt(3)/2$
per soddisfare la soluzione quindi k dovrebbe valere $k = (sqrt(3)+2)/4 * (mg)/L$
mi sembra un po strano come valore da omettere nel testo.. ma vabbe l'importante è il ragionamento, grazie speculor!
Potevi più banalmente notare che $x = 8Lsin\theta = \alphaL$ dove $x$ è l'ascissa del disco e $\alpha$ è l'angolo di rotazione del disco.
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