Lunghezza dell'arco
Consideriamo il moto di un corpo di massa m soggetto ad un generico potenziale centrale U(r). Il moto di tale corpo può essere descritto in funzione del raggio introducendo un potenziale effettivo Ueff(r)=U(r)+M^2/(2*m*r^2).
Dato un raggio R, vorrei trovare qual'è la lunghezza dell'arco percorso dalla particella all'interno del cerchio di raggio R (ammeso che ci entri).
Help?
Ho una soluzione in mente ma non mi piace (troppo complicata). Vorrei venir fuori con una formula del tipo L=int[tra R e non so cosa](f(E,Ueff(r),m)) dove E è l'energia iniziale.
Dato un raggio R, vorrei trovare qual'è la lunghezza dell'arco percorso dalla particella all'interno del cerchio di raggio R (ammeso che ci entri).
Help?
Ho una soluzione in mente ma non mi piace (troppo complicata). Vorrei venir fuori con una formula del tipo L=int[tra R e non so cosa](f(E,Ueff(r),m)) dove E è l'energia iniziale.
Risposte
Secondo me cercare una soluzione a questo problema che vada bene in generale per qualunque tipo di potenziale centrale mi sembra parecchio ambizioso. Com'è la tua idea complicatissima?
L'idea sarebbe (evito di scrivere formule ma ti metto il link ad una pagina a cui farò riferimento):
per un generico moto centrale si puo fare quanto indicato alla pagina http://electron6.phys.utk.edu/phys594/T ... entral.htm
se guardi dove c'è scritto "we obtain" appena sopra al secondo "From", c'è un'integrale con il quale (almeno in linea teorica) si può calcolare l'angolo in funzione del raggio. Ottenuto l'angolo in funzione del raggio, cerchiamo l'inversa, ottenendo il raggio in funzione dell'angolo. A questo punto possiamo ottenere la lunghezza dell'arco come integrale di sqrt(r^2+(dr/dphi)^2)*dphi.
Ovviamente questi passagi sono belli solo a parole, perchè analiticamente dal primo integrale non se ne esce, pertanto non si puo proseguire con la funzione inversa e tutto il resto.
Quello che mi piacerebbe avere è un'integrale come quello del sito che ho postato ma che anzichè darmi l'angolo in funzione del raggio, mi desse la lunghezza d'arco. A quel punto potrei integrare numericamente al variare di una serie di parametri di interesse e sarei a posto...
per un generico moto centrale si puo fare quanto indicato alla pagina http://electron6.phys.utk.edu/phys594/T ... entral.htm
se guardi dove c'è scritto "we obtain" appena sopra al secondo "From", c'è un'integrale con il quale (almeno in linea teorica) si può calcolare l'angolo in funzione del raggio. Ottenuto l'angolo in funzione del raggio, cerchiamo l'inversa, ottenendo il raggio in funzione dell'angolo. A questo punto possiamo ottenere la lunghezza dell'arco come integrale di sqrt(r^2+(dr/dphi)^2)*dphi.
Ovviamente questi passagi sono belli solo a parole, perchè analiticamente dal primo integrale non se ne esce, pertanto non si puo proseguire con la funzione inversa e tutto il resto.
Quello che mi piacerebbe avere è un'integrale come quello del sito che ho postato ma che anzichè darmi l'angolo in funzione del raggio, mi desse la lunghezza d'arco. A quel punto potrei integrare numericamente al variare di una serie di parametri di interesse e sarei a posto...
Ho buttato giu' qualcosa. Potrei aver sbagliato, dimmi cosa ne pensi
Per il moto in un potenziale centrale hai
$U(r)+(1/2)m((dr)/(dt))^2+(1/2)m(M^2/(m^2 r^2))=E$
e
$((dtheta)/(dt))=M/(m r^2)$
Sostituisci la seconda nella prima e esplicita $((dr)/(dt))$
a questo punto hai due espressioni per $((dr)/(dt))$ e $((d theta)/(dt))$
che dipendono solo da r.
La lunghezza d'arco è l'integrale della velocità in dr, dato che abbiamo tutto espresso in dr, tra 0 e R che poni come limite superiore
La velocità è
$sqrt(((dr)/(dt))^2+r^2 ((d theta)/(dt))^2)$
Ti torna?
Ovviamente l'integrazione che dipende da U credo sia spesso non banale.
P.
Per il moto in un potenziale centrale hai
$U(r)+(1/2)m((dr)/(dt))^2+(1/2)m(M^2/(m^2 r^2))=E$
e
$((dtheta)/(dt))=M/(m r^2)$
Sostituisci la seconda nella prima e esplicita $((dr)/(dt))$
a questo punto hai due espressioni per $((dr)/(dt))$ e $((d theta)/(dt))$
che dipendono solo da r.
La lunghezza d'arco è l'integrale della velocità in dr, dato che abbiamo tutto espresso in dr, tra 0 e R che poni come limite superiore
La velocità è
$sqrt(((dr)/(dt))^2+r^2 ((d theta)/(dt))^2)$
Ti torna?
Ovviamente l'integrazione che dipende da U credo sia spesso non banale.
P.
La seconda eq è scritta sbagliata:
$((d theta)/(dt))=M/(m r^2)$
P.
$((d theta)/(dt))=M/(m r^2)$
P.
Per tornare, torna. Il punto è che l'espressione come scritta da te non è nella forma che mi serve.
A me serve un'espressione per L (lunghezza d'arco) in funzione di R, U, M ed m, ovviamente che non coinvolga il tempo.
Quello che voglio capire è la dipendenza funzionale di L dai parametri sopraelencati, perchè devo riuscire ad ottenere (con opportune approssimazioni e semplificazioni) una formuletta analitica per ottenere una ragionevole stima al variare dei suddetti parametri.
A me serve un'espressione per L (lunghezza d'arco) in funzione di R, U, M ed m, ovviamente che non coinvolga il tempo.
Quello che voglio capire è la dipendenza funzionale di L dai parametri sopraelencati, perchè devo riuscire ad ottenere (con opportune approssimazioni e semplificazioni) una formuletta analitica per ottenere una ragionevole stima al variare dei suddetti parametri.
A me serve un'espressione per L (lunghezza d'arco) in funzione di R, U, M ed m, ovviamente che non coinvolga il tempo.
Infatti nell'espressione che ottieni se segui il procedimento che indico non hai il tempo. Prova e vedrai che ottieni un'espressione per la derivata di r (la chiamo rpunto, sai come si scrive senza usare il differenziale ogni volta?) e dell'angolo (thetapunto) in funzione solo di r e non del tempo. Tanto che poi l'integrale
$int f(r) dt$
devi riscriverlo
$int f(r) ((dt)/(dr)) dr$
e il temine in parentesi è 1/rpunto
P.
Ad occhio e croce si ottiene un'espressione del tipo $L=int d\theta \frac{j}{r^2} \sqrt{2m[E-U(r)]}$. Confesso però che dovrei pensare al suo significato. È evidente che comunque ha grosse difficoltà a trattare il caso di traiettoria rettilinea passante per l'origine.
Io ottenevo una cosa abbastanza simile. Ma in dr, non in dtheta.
P.
P.
Ricapitolando, seguendo i consigli di Pupe arrivo all'ultima formula per dL che c'è nella prima immagine allegata.
Considerando una traiettoria generica come quella indicata nella figura seguente:
si vede come gli estremi di integrazione sarebbero R ed R, ma ovviamente in quel caso l'integrale verrebbe uguale a zero.
A questo punto credo che dovrei integrare tra R e Rmin e poi moltiplicare per due. Rmin lo trovo tramite l'uguaglianza:
Tutto giusto secondo voi?
EDIT: ho corretto l'ultimo passaggio delle formule, in cui avevo fatto una boiata mostruosa...
EDIT 2: Ho provato a fare un po di integrazioni numeriche e la cosa sembra funzionare. Adesso proverò a confrontare i risultati dell'integrale con quelli di un banale molecular dynamics e vediamo se mi danno la stessa risposta.
EDIT 3: sto disimparando l'italiano...
"Marco83":
A questo punto credo che dovrei integrare tra R e Rmin e poi moltiplicare per due.
non sono sicuro che con qualsiasi potenziale centrale questo sia vero. certo, in ambito kepleriano si. ma nel caso di una traiettoria stile orbita di Mercurio... devo pensarci. se ragioni in dtheta il problema non si pone.
Beh, credo che se supponiamo U=U(r) e indipendente dal tempo, la traiettoria deve essere simmetrica rispetto ad Rmin, ossia il cammino percorso tra R ed Rmin sarà necessariamente uguale a quello percorso tra Rmin ed R...
"Marco83":
U=U(r)
è vero, ho sparato una sentenza affrettata confondendo la definizione di potenziale centrale e radiale.
pardon!
EDIT 2: Ho provato a fare un po di integrazioni numeriche e la cosa sembra funzionare.
Ottimo!
Spero che questa impressione sia confermata!
Buon lavoro
P.
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