Lubrificazione

[cavallipurosangue]

Per passare dalla teoria generale a quella dei meati cilindrici infiniti e di spessore sottile si è soliti partire dall'equazione di Navier-Stokes e procedere con successive approssimazioni.

La legge di Navier-Stokes dice che:
$\rho(\Lambda\vec{v}+(\partial\vec{v})/(\partialt))=\vec{F}-\nablap+\mu\nabla^2(\vec{v})+\mu/3\nabla(\nabla\cdot\vec{v})$

dove $\Lambda=(((\partial\vec{v}\cdot\veci)/(\partialx),(\partial\vec{v}\cdot\veci)/(\partialy),(\partial\vec{v}\cdot\veci)/(\partialz)),((\partial\vec{v}\cdot\vecj)/(\partialx),(\partial\vec{v}\cdot\vecj)/(\partialy),(\partial\vec{v}\cdot\vecj)/(\partialz)),((\partial\vec{v}\cdot\veck)/(\partialx),(\partial\vec{v}\cdot\veck)/(\partialy),(\partial\vec{v}\cdot\veck)/(\partialz)))$,
$\vec{F}$ una forza per unità di volume e $mu$ la viscosità del fluido.

Ecco a questo punto si comincia a dire che essendo le dimensioni del meato trascurabili l'unica componente significativa per lo studio del moto è quella lungo $\veci$ che sarà chiamata $u$, poi si dice che la variazione di u rispetto a z è nulla dato che l'estensione in z è infinita, lo stesso per la variazione della velocità lungo $\vecj$ rispetto a x, y e z e per quella lungo $\veck$ rispetto a z. Poi però si dice anche che che la variazione di u rispetto a x è nulla... Ecco io mi chiedo come sia possibile! Se fosse così non si avrebbe variazione di velocità lungo la direzione di moto qualunque sia la convergenza divergenza del condotto, o sbaglio?

Infatti poi la funzione che si trova è funzione anche di x...

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Nessuno?

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Per completezza riporto l'equazione che si trova così procedendo:

$(\partialp)/(partialx)=\mu(partial^2u)/(partialy^2)$

Dalla quale integrando due volte ed imponendo le condizioni al contorno $u(y=0)=-U, u(y=h(x))=0$ si ottiene:

$u=1/(2mu)(\partialp)/(partialx)y(y-h(x))+U(y/(h(x))-1)$