Lorenz covarianza
Ciao a tutti!
Sto studiando la teoria dei campi, o QFT se preferite, e mi sono imbattuto in un problema concettuale che non riesco a risolvere. Sto affrotando la quantizzazione del campo libero scalare, o di Klein-Gordon, e non riesco a capire il discorso della covarianza. Le mie dispense costruiscono una base di autostati del genere onde piane fatti così
$u(\vec k, x) = [(2 \pi)^3 2 \omega(\vec k)]^(-1/2) exp{-i k*x}$
urgono un po' di definizioni....allora......$w(\vec k)= \sqrt(\vec k^2 + m^2)$, dove $m$ è la massa a riposo, poi con $\vec k$ intendo il vettore di $RR^3$ , con $k$ il quadrivettore $k^(\mu) = (\omega(\vec k) , \vec k)$ e $*$ è il prodotto scalare rispetto alla metrica $g=diag(+1,-1,-1,-1)$. Questi autostati sono inoltre normalizzati rispetto al prodotto scalare
$(u(\vec k) , u(\vec p)) -= \int d \vec x \bar{u}(\vec k, x) i \bar{\partial}_0 u(\vec p, x) = \delta(\vec k - \vec p)$
dove l'operatore $\bar{\partial}_0$ in mezzo ad un prodotto agisce così
$f \bar{\partial}_0 g = f (\partial_0 g) - (\partial_0 f) g$
Procedendo poi con la quantizzazione uno introduce gli operatori di creazione/distruzione, lo spazio di Fock associato e definisce $H_1$ come lo spazio degli stati a 1 particella
$|\vec k > = a^+ (\vec k) |0>$ con $\vec k \in RR^3$
tali che, $\phi(x)$ è il campo,
$u(\vec k, x) = <0|\phi(x)|\vec k>$
e questo realizza l'isomorfismo tra le rappresentazioni (in $L^2(RR^3)$ e in $H_1$). Quindi anche la base di $H_1$ sarà normalizzata di conseguenza
$<\vec k | \vec p > = \delta(\vec k - \vec p)$ (1)
e godrà della relazione di completezza
$\int d \vec k |\vec k ><\vec k| = I_1$ (2)
La mia domanda è questa: arrivati a questo punto le mie dispense (che sono qui....pagine 83-86) affermano che le relazioni di ortonormalità (1) e completezza (2) non sono Lorentz covarianti. E che quindi occorre ridefinire gli autostati in modo che, nella (1), a destra dell'uguale compaia la quantità $2 \omega(\vec k) \delta(\vec k - \vec p)$ che invece è Lorentz covariante.... Proprio non capisco in che senso la forma (1) non sia covariante e la seconda lo sia.
Grazie della pazienza..
OT
[size=75]Non c'è un modo per fare i bra e i ket più carini ???[/size]
/OT
Sto studiando la teoria dei campi, o QFT se preferite, e mi sono imbattuto in un problema concettuale che non riesco a risolvere. Sto affrotando la quantizzazione del campo libero scalare, o di Klein-Gordon, e non riesco a capire il discorso della covarianza. Le mie dispense costruiscono una base di autostati del genere onde piane fatti così
$u(\vec k, x) = [(2 \pi)^3 2 \omega(\vec k)]^(-1/2) exp{-i k*x}$
urgono un po' di definizioni....allora......$w(\vec k)= \sqrt(\vec k^2 + m^2)$, dove $m$ è la massa a riposo, poi con $\vec k$ intendo il vettore di $RR^3$ , con $k$ il quadrivettore $k^(\mu) = (\omega(\vec k) , \vec k)$ e $*$ è il prodotto scalare rispetto alla metrica $g=diag(+1,-1,-1,-1)$. Questi autostati sono inoltre normalizzati rispetto al prodotto scalare
$(u(\vec k) , u(\vec p)) -= \int d \vec x \bar{u}(\vec k, x) i \bar{\partial}_0 u(\vec p, x) = \delta(\vec k - \vec p)$
dove l'operatore $\bar{\partial}_0$ in mezzo ad un prodotto agisce così
$f \bar{\partial}_0 g = f (\partial_0 g) - (\partial_0 f) g$
Procedendo poi con la quantizzazione uno introduce gli operatori di creazione/distruzione, lo spazio di Fock associato e definisce $H_1$ come lo spazio degli stati a 1 particella
$|\vec k > = a^+ (\vec k) |0>$ con $\vec k \in RR^3$
tali che, $\phi(x)$ è il campo,
$u(\vec k, x) = <0|\phi(x)|\vec k>$
e questo realizza l'isomorfismo tra le rappresentazioni (in $L^2(RR^3)$ e in $H_1$). Quindi anche la base di $H_1$ sarà normalizzata di conseguenza
$<\vec k | \vec p > = \delta(\vec k - \vec p)$ (1)
e godrà della relazione di completezza
$\int d \vec k |\vec k ><\vec k| = I_1$ (2)
La mia domanda è questa: arrivati a questo punto le mie dispense (che sono qui....pagine 83-86) affermano che le relazioni di ortonormalità (1) e completezza (2) non sono Lorentz covarianti. E che quindi occorre ridefinire gli autostati in modo che, nella (1), a destra dell'uguale compaia la quantità $2 \omega(\vec k) \delta(\vec k - \vec p)$ che invece è Lorentz covariante.... Proprio non capisco in che senso la forma (1) non sia covariante e la seconda lo sia.
Grazie della pazienza..
OT
[size=75]Non c'è un modo per fare i bra e i ket più carini ???[/size]
/OT
Risposte
Ho capito il tuo problema e rivedendo anche i miei appunti sono giunto a questa conclusione:
Non è tanto importante la lorentz invarianza degli operatori di creazione e distruzione, quanto invece è importante quella, per esempio, dei commutatori dei campi ( a tempi diversi) che originano la funzione di Pauli Jordan ( che nelle tue dispense è la 3.78, 3.79). Infatti se moltiplicando i campi nel commutatore si usasse la formula che tu indichi con 1, allora non si otterrebbe la lorentz covarianza perchè nell'espressione finale della funzione di Pauli-Jordan comparirebbe nella misura di integrazione un'energia, cioè omega e questa è chiaramente non invariante.
Invece l'espressione del commutatore degli operatori di creaz e distr con la normalizzazione corretta con omega ( e dunque non è lorentz invariante, secondo quanto ho capito), se applicata per il calcolo del comm dei campi fa in modo che vengano cancellate le energie dalle espressioni generando una funzione di Pauli-Jordan lorentz inv.
Credo che nelle tue dispense ci sia stato un abuso di linguaggio, intendendo che la formula dei comm degli operatori di creazione e distruzione generi quando applicata espressioni covarianti.
Visto che pur io sono agli inizi della QFT, non sono sicurissimmo di ciò che dico e quindi sono ben accette correzioni...
Non è tanto importante la lorentz invarianza degli operatori di creazione e distruzione, quanto invece è importante quella, per esempio, dei commutatori dei campi ( a tempi diversi) che originano la funzione di Pauli Jordan ( che nelle tue dispense è la 3.78, 3.79). Infatti se moltiplicando i campi nel commutatore si usasse la formula che tu indichi con 1, allora non si otterrebbe la lorentz covarianza perchè nell'espressione finale della funzione di Pauli-Jordan comparirebbe nella misura di integrazione un'energia, cioè omega e questa è chiaramente non invariante.
Invece l'espressione del commutatore degli operatori di creaz e distr con la normalizzazione corretta con omega ( e dunque non è lorentz invariante, secondo quanto ho capito), se applicata per il calcolo del comm dei campi fa in modo che vengano cancellate le energie dalle espressioni generando una funzione di Pauli-Jordan lorentz inv.
Credo che nelle tue dispense ci sia stato un abuso di linguaggio, intendendo che la formula dei comm degli operatori di creazione e distruzione generi quando applicata espressioni covarianti.
Visto che pur io sono agli inizi della QFT, non sono sicurissimmo di ciò che dico e quindi sono ben accette correzioni...
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