Linee spettrali atomo di Sodio in campo magnetico.
Ciao a tutti, ho un problema con il seguente esercizio:
In assenza di campo magnetico le linee spettrali della transizione $1s^2 2s^2 2p^6 3p → 1s^2 2s^2 2p^6 3s$ di Na atomico allo stato gassoso formano un doppietto con $¯ν1= 16956 cm^-1$ e $¯ν2= 16973 cm^-1$. In un campo magnetico omogeneo debole di intensità B tali linee si splittano in due gruppi. Si determini il numero di linee spettrali in ciascun gruppo, e si calcoli il valore di B per cui la separazione tra la linea più energetica del primo gruppo e la linea meno energetica del secondo eguaglia il 90% della separazione in assenza di campo magnetico.
(Sol. 4+6, 1.2138 T)
Mio svolgimento:
Per l'orbitale $3p$ ho $l=1$, $s=1/2$ e $J=1/2, 3/2$ con relativi $m_J=-1/2,1/2$ e $-3/2,-1/2,1/2,3/2$
Per l'orbitale $3s$ ho $l=0$, $s=1/2$ e $J=1/2$ con relativi $m_J=-1/2,1/2$
Il grafico delle transizioni tenedo conto delle regole di selezione ($Deltam_J=0,+-1$) è il seguente:
pertanto ho 6 righe spettrali nel secondo gruppo ($3p$, $J=3/2$) e 4 nel primo gruppo ($3s$, $J=1/2$).
Cerco le energie dei livelli in assenza del campo B sfruttando la legge di Planck $E=hc¯ν$, ottenendo $E_1=2.096 eV$ e $E_2=2.098 eV$ da cui $DeltaE_(so)=0.002 eV=3.2*10^(-22)J$
La linea più energetica del primo gruppo e la meno energetica del secondo sono quelle segnate nel grafico. Ma qui credo di aver sbagliato. Come faccio a determinare quale sia la più energetica e la meno energetica? faccio fatica a racappezzarmi con le regole di Hund...
Sulla base delle due transizioni individuate (min e max), calcolo le rispettive energie:
$E_(max,min)=E_(1,2)+DeltaE_(magn)$ con $E_(magn)=g_jm_jmu_BB$ e $g_j=1+(J(J+1)+S(s+1)-l(l+1))/(2J(J+1))$
ottenendo $E_(max)=E_1+4/3mu_BB$ e $E_(min)=E_2 -5/3mu_BB$
Calcolo B affinchè $DeltaE'=90/100 DeltaE_(so)$ con $DeltaE'=E_(min)-E_(max)$ da cui ricavo
$B=(DeltaE_(so))/10*1/(3*mu_B)=1.1506 T$
Ho semplificato un po' i passaggi, spero che si capisca comunque quello che ho fatto.
Qualche anima pia può dirmi cosa ho sbagliato?
Grazie mille!
In assenza di campo magnetico le linee spettrali della transizione $1s^2 2s^2 2p^6 3p → 1s^2 2s^2 2p^6 3s$ di Na atomico allo stato gassoso formano un doppietto con $¯ν1= 16956 cm^-1$ e $¯ν2= 16973 cm^-1$. In un campo magnetico omogeneo debole di intensità B tali linee si splittano in due gruppi. Si determini il numero di linee spettrali in ciascun gruppo, e si calcoli il valore di B per cui la separazione tra la linea più energetica del primo gruppo e la linea meno energetica del secondo eguaglia il 90% della separazione in assenza di campo magnetico.
(Sol. 4+6, 1.2138 T)
Mio svolgimento:
Per l'orbitale $3p$ ho $l=1$, $s=1/2$ e $J=1/2, 3/2$ con relativi $m_J=-1/2,1/2$ e $-3/2,-1/2,1/2,3/2$
Per l'orbitale $3s$ ho $l=0$, $s=1/2$ e $J=1/2$ con relativi $m_J=-1/2,1/2$
Il grafico delle transizioni tenedo conto delle regole di selezione ($Deltam_J=0,+-1$) è il seguente:
pertanto ho 6 righe spettrali nel secondo gruppo ($3p$, $J=3/2$) e 4 nel primo gruppo ($3s$, $J=1/2$).
Cerco le energie dei livelli in assenza del campo B sfruttando la legge di Planck $E=hc¯ν$, ottenendo $E_1=2.096 eV$ e $E_2=2.098 eV$ da cui $DeltaE_(so)=0.002 eV=3.2*10^(-22)J$
La linea più energetica del primo gruppo e la meno energetica del secondo sono quelle segnate nel grafico. Ma qui credo di aver sbagliato. Come faccio a determinare quale sia la più energetica e la meno energetica? faccio fatica a racappezzarmi con le regole di Hund...
Sulla base delle due transizioni individuate (min e max), calcolo le rispettive energie:
$E_(max,min)=E_(1,2)+DeltaE_(magn)$ con $E_(magn)=g_jm_jmu_BB$ e $g_j=1+(J(J+1)+S(s+1)-l(l+1))/(2J(J+1))$
ottenendo $E_(max)=E_1+4/3mu_BB$ e $E_(min)=E_2 -5/3mu_BB$
Calcolo B affinchè $DeltaE'=90/100 DeltaE_(so)$ con $DeltaE'=E_(min)-E_(max)$ da cui ricavo
$B=(DeltaE_(so))/10*1/(3*mu_B)=1.1506 T$
Ho semplificato un po' i passaggi, spero che si capisca comunque quello che ho fatto.
Qualche anima pia può dirmi cosa ho sbagliato?
Grazie mille!
Risposte
La transizione massima è quella che parte dal valore più alto e arriva al valore più basso, nel tuo caso,$3p$ $J=3/2$, $M_J=1/2$ a $3s$ $J=1/2$ $M_J=-1/2$. La transizione minima è invece quella che parte dal valore più basso al valore più alto, ,$3p$ $J=1/2$, $M_J=-1/2$ a $3s$ $J=1/2$ $M_J=1/2$. In pratica per la transizione massima devi vedere quale transizione fà più strada mentre per quella minima devi vedere quella che fà meno strada.
Ciao HaldoSax, grazie ancora per l'aiuto che mi stai dando 
intanto ho corretto un errore di calcolo per il $DeltaE_(so)$ e ora ottengo $B=1.1506 T$ che è comunque sbagliato, visto che dovrebbe essere $1.2138 T$...
Purtroppo anche scegliendo le transizioni da te consigliate, i conti continuano a non tornare: ne ricavo $B=1.1256 T$.
L'esercizo, però, mi dice espressamente di considerare la separazione tra la linea più energetica del primo gruppo e la linea meno energetica del secondo.
A questo punto non saprei più dire quali siano le transizioni del primo gruppo e quali del secondo...
intanto ho corretto un errore di calcolo per il $DeltaE_(so)$ e ora ottengo $B=1.1506 T$ che è comunque sbagliato, visto che dovrebbe essere $1.2138 T$...
Purtroppo anche scegliendo le transizioni da te consigliate, i conti continuano a non tornare: ne ricavo $B=1.1256 T$.
L'esercizo, però, mi dice espressamente di considerare la separazione tra la linea più energetica del primo gruppo e la linea meno energetica del secondo.
A questo punto non saprei più dire quali siano le transizioni del primo gruppo e quali del secondo...
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