Linearizzazione Lagrangiana ridotta

[giantmath]

salve ragazzi, ho trovato come Lagrangiana ridotta la seguente:
$ L=m/2dot(r)/sin^2alpha-(mgr)/tanalpha -l^2/(2mr) $ con $ l $ parametro costante. mi si chiede di linearizzarla attorno al punto $ r_0=(l^2tanalpha/(m^2g))^(1/3) $ . si suggerisce di porre $ r=deltar+r_0 $ . tuttavia non capisco come procedere, è una richiesta che ho sempre difficoltà a svolgere. potreste darmi una mano a capire come fare?

[anonymous_0b37e9]

Devi aver commesso una svista nello scrivere il primo termine:

$m/(2sin^2\alpha)dotr^2$

e il terzo termine:

$-l^2/(2m)1/r^2$

della Lagrangiana.

[giantmath]

ribadendo che si tratti di una Lagrangiana ridotta, riporto quanto scritto dal prof:
la linearizzazione della Lagrangiana ridotta $ L^**=m/2dotr^2/sin^2alpha-(mgr)/tanalpha-l^2/(2mr^2) $ attorno a $ r $ è $ m/2(deltadotr^2)/sin^2alpha+(3l^2deltar^2)/(2mr_0^4) $

[anonymous_0b37e9]

"giantmath":
... ribadendo che ...

In che senso ribadendo? Mentre nel tuo primo messaggio:

$L=m/(2sin^2\alpha)dotr-(mg)/(tg\alpha)r-l^2/(2m)1/r$

nel tuo secondo messaggio:

$L=m/(2sin^2\alpha)dotr^2-(mg)/(tg\alpha)r-l^2/(2m)1/r^2$

come avevo presunto. Meglio chiarire una volta per tutte.

[giantmath]

hai ragione chiedo scusa per la svista, volevo sottolineare il fatto che fosse ridotta un consiglio su come procedere?

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$[U=(mg)/(tg\alpha)r+l^2/(2m)1/r^2] ^^ [(dU)/(dr)=(mg)/(tg\alpha)-l^2/m1/r^3] ^^ [(d^2U)/(dr^2)=(3l^2)/m1/r^4]$

$r_0$ è proprio una posizione di equilibrio stabile (minimo dell'energia potenziale):

$[r_0=((l^2tg\alpha)/(m^2g))^(1/3)] rarr [(dU)/(dr)(r_0)=0] ^^ [(d^2U)/(dr^2)(r_0) gt 0]$

A questo punto, nella Lagrangiana, devi sostituire all'energia potenziale:

$U=(mg)/(tg\alpha)r+l^2/(2m)1/r^2$

il suo sviluppo di Taylor, per $r=r_0$, fino al termine di grado 2. Tieni conto che il termine costante di grado 0 è ininfluente e che il termine di grado 1 è ovviamente nullo:

$[U=(3l^2)/(2mr_0^4)(r-r_0)^2] rarr [L=m/(2sin^2\alpha)dotr^2-(3l^2)/(2mr_0^4)(r-r_0)^2]$

P.S.
Devi aver sbagliato un segno. Inoltre:

$dotr=(dr)/(dt)=(d(r-r_0))/(dt)$

[giantmath]

concordo con te sul fatto che debba essere errore di segno (non per colpa mia questa volta )
grazie mille!!

[anonymous_0b37e9]

In generale, l'energia cinetica è una forma quadratica le cui variabili sono le n velocità generalizzate e i cui coefficienti dipendono dalle n coordinate generalizzate. Nello studio delle piccole oscillazioni ci si limita a considerare i suoi coefficienti costanti, valutati nella posizione di equilibrio. Poiché, nel caso in esame, l'unico coefficiente è costante, non dipende da r per intenderci, l'energia cinetica non necessita di particolari manipolazioni.

P.S.
Ho risposto alla domanda che hai cancellato.