Linearizzazione Lagrangiana
devo linearizzare la seguente Lagrangiana $ L=1/2m[dot(s)^2+l^2dot(theta)^2+2ldot(s)dot(theta)cos(theta-phi) ]-mgssinphi+mglcostheta-1/2k(L-s)^2 $ con $ L,phi $ costanti, attorno al punto di equilibrio stabile $ (s,theta)=(s_0,0) $ con $ s_0 $ costante.
allora ho fatto lo sviluppo:
$ hat(L)=1/2m[dot(s)^2+l^2dot(theta)^2+2ldot(s)dot(theta)cos(phi) ]-mgl(theta^2/2)-1/2ks^2 $ in cui ho già scartato termini costanti e non quadratici. tuttavia l'ultimo termine non è come quello scritto dal prof nella risoluzione dell'esercizio, lui scrive invece " $ -1/2k(s-s_0)^2 $ " (e poi procede definendo $ sigma=s-s_0 $ ). potreste spiegarmi come mai?
allora ho fatto lo sviluppo:
$ hat(L)=1/2m[dot(s)^2+l^2dot(theta)^2+2ldot(s)dot(theta)cos(phi) ]-mgl(theta^2/2)-1/2ks^2 $ in cui ho già scartato termini costanti e non quadratici. tuttavia l'ultimo termine non è come quello scritto dal prof nella risoluzione dell'esercizio, lui scrive invece " $ -1/2k(s-s_0)^2 $ " (e poi procede definendo $ sigma=s-s_0 $ ). potreste spiegarmi come mai?
Risposte
Intanto, non è la Lagrangiana ad essere linearizzata, piuttosto, le equazioni di Lagrange. Tanto è vero che, le operazioni sottostanti:
non linearizzano di certo la Lagrangiana, piuttosto, le equazioni di Lagrange che da essa derivano. Ad ogni modo, non c'è ombra di dubbio che, se il potenziale è piuttosto semplice (come nel caso in esame), sia possibile farne lo sviluppo al secondo ordine, per così dire, "al volo". Tuttavia, se non si è del tutto consapevoli del "dietro le quinte", si corre il rischio di prendere un granchio.
Il termine sottostante:
è quadratico in $s-s_0$. Insomma, non puoi svolgere il quadrato di binomio e liberarti del doppio prodotto solo perché è lineare.
1. Sostituire le coordinate del punto nei coefficienti dell'energia cinetica
$T=1/2mdots^2+1/2ml^2dot\theta^2+ml dotsdot\thetacos(\theta-\phi) rarr$
$rarr T=1/2mdots^2+1/2ml^2dot\theta^2+ml dotsdot\thetacos\phi$
2. Sviluppare (polinomio di Taylor) al secondo ordine, in un intorno delle coordinate del punto, il potenziale
$V=-mgssin\phi+mglcos\theta-1/2k(l-s)^2 rarr$
$rarr V=V(s_0,0)$(ordine 0: costante)$+$
$+(delV)/(dels)(s_0,0)(s-s_0)+(delV)/(del\theta)(s_0,0)(\theta-0)$(ordine 1: nullo)$+$
$+1/2(del^2V)/(dels^2)(s_0,0)(s-s_0)^2+1/2(del^2V)/(del\theta^2)(s_0,0)(\theta-0)^2+(del^2V)/(delsdel\theta)(s_0,0)(s-s_0)(\theta-0)$(ordine 2)$rarr$
$rarr V=-1/2k(s-s_0)^2-1/2mgl(\theta-0)^2 rarr$
$rarr V=-1/2k(s-s_0)^2-1/2mgl\theta^2$
non linearizzano di certo la Lagrangiana, piuttosto, le equazioni di Lagrange che da essa derivano. Ad ogni modo, non c'è ombra di dubbio che, se il potenziale è piuttosto semplice (come nel caso in esame), sia possibile farne lo sviluppo al secondo ordine, per così dire, "al volo". Tuttavia, se non si è del tutto consapevoli del "dietro le quinte", si corre il rischio di prendere un granchio.
"giantmath":
... in cui ho già scartato termini costanti e non quadratici ...
Il termine sottostante:
$-1/2k(s-s_0)^2$
è quadratico in $s-s_0$. Insomma, non puoi svolgere il quadrato di binomio e liberarti del doppio prodotto solo perché è lineare.
ho capito l'errore, grazie mille!
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