Lezioni di Calcolo delle variazioni
Visto che mi era stato chiesto da qualcuno, da oggi apro una nuova sezione sulla mia pagina web dedicata a lezioni di Matematica vere e proprie: mi sembra la cosa migliore da fare volendo divulgare della Matematica.
Il primo ciclo di lezioni e' relativo al Calcolo delle variazioni "moderno" (mi soffermero' poco sui metodi classici).
http://www.llussardi.it/divulgazione/cvar.html
Ho anche in serbo un ciclo di lezioni sulla Teoria della dualità proiettiva.
Per ogni altra richiesta andare, preferibilmente, a
http://www.llussardi.it/divulgazione/divulgazione.html
Modulo il tempo cercherò di accontentare ogni richiesta.
Grazie, saluti a tutti.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Il primo ciclo di lezioni e' relativo al Calcolo delle variazioni "moderno" (mi soffermero' poco sui metodi classici).
http://www.llussardi.it/divulgazione/cvar.html
Ho anche in serbo un ciclo di lezioni sulla Teoria della dualità proiettiva.
Per ogni altra richiesta andare, preferibilmente, a
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Modulo il tempo cercherò di accontentare ogni richiesta.
Grazie, saluti a tutti.
Luca Lussardi
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Risposte
Grazie per l'informazione.
Ho letto la "prima puntata" e devo dire che le cose sono spiegate in modo chiaro anche se sono problemi di cui avevo già letto.
Attendo con impazienza il proseguo...
Ho letto la "prima puntata" e devo dire che le cose sono spiegate in modo chiaro anche se sono problemi di cui avevo già letto.
Attendo con impazienza il proseguo...
Ho visto che è in rete la seconda lezione : mi è piaciuto molto l'esempio semplice e chiaro che " mette in luce i difetti della Teoria Classica "
Aspetto quindi con particolare curiosità la teoria " moderna"; nel frattempo un grazie a Luca: a me l'argomento interessa molto !
Camillo
Aspetto quindi con particolare curiosità la teoria " moderna"; nel frattempo un grazie a Luca: a me l'argomento interessa molto !
Camillo
Mi fa molto piacere. Tra breve arriva la III lezione sul Calcolo delle variazioni e la I lezione sulla Dualita' proiettiva.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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E' davvero molto interessante. Una curiosità: le disequazioni variazionali a dimensione infinita hanno qualcosa a che vedere con il problema? Mi sono sempre chiesto da dove esce il termine "variazionali"...
Una disequazione variazionale e' una disequazione funzionale che equivale ad un problema di minimo. L'esempio piu' classico e' dato dalla disequazione che ti e' nota, credo, che caratterizza la proiezione su un convesso chiuso di uno spazio di Hlibert. Questa e' una disequazione variazionale che equivale a proiettare, e quindi a risolvere un problema di minimo per il funzionale distanza, minimzzato sul convesso chiuso.
Luca Lussardi
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Dunque: io ho studiato solo le disequazioni variazionali a dimensione finita, la cui teoria, a quanto ho capito, è stata sviluppata successivamente a quella delle d.v. a dimensione infinita e per tutt'altri scopi. L'esempio di cui parli è relativo alle d.v. a dimensione finita o infinita?
L'esempio che ho riportato e' un classico esempio in dimensione infinita, ma il Teorema della proiezione negli Spazi di Hilbert vale anche in R^n ovviamente....
Luca Lussardi
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vediamo se ho capito: la proiezione è un problema di ottimizzazione che può essere riformulato come d.v., e la d.v. può essere affrontata attraverso il calcolo delle variazioni, giusto?
No, e' esattamente il contrario; la disequazione variazionale e' affrontata in modo autonomo, ma e' equivalente ad un problema di minimo, che se risulta essere un problema di minimo per un funzionale integrale, diventa oggetto del Calcolo delle variazioni.
Luca Lussardi
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ahhhh! allora il collegamento tra i termini "variazionale" e "variazioni" non discende da questo. da dove si origina?
Si, un problema variazionale e' un problema di minimo per un funzionale. Il Calcolo delle variazioni studia problemi variazionali per funzionali di tipo integrale.
Le disequazioni variazionali sono cosi' dette perche' sono una formulazione di un problema di minimo, quindi di un problema variazionale, anche se non sempre di un funzionale di tipo integrale. Solo che solitamente gli strumenti per risolvere una disequazione variazionale sono altri; la teoria delle disequazioni variazionali e' molto piu' legata alla teoria delle PDE, all'ottimizzazione e all'Analisi convessa.
Luca Lussardi
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Le disequazioni variazionali sono cosi' dette perche' sono una formulazione di un problema di minimo, quindi di un problema variazionale, anche se non sempre di un funzionale di tipo integrale. Solo che solitamente gli strumenti per risolvere una disequazione variazionale sono altri; la teoria delle disequazioni variazionali e' molto piu' legata alla teoria delle PDE, all'ottimizzazione e all'Analisi convessa.
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Capito. Ti ringrazio!
Ciao a tutti sto preparando la tesi e ho un quesito:
esiste una condizione necessaria di ordine superiore al primo affinchè una certa funzione sia quella minimizzante per un funzionale? esiste anche una condizione sufficiente?se si quali sono?
Nel caso che un problema di minimizzazione del funzionale presenti anche dei vincoli ( di tipo integrale o differenziale) per le funzioni da cui il funzionale dipende, come si trasformano tali condizioni?
Grazie a tutti per la cortese attenzione
esiste una condizione necessaria di ordine superiore al primo affinchè una certa funzione sia quella minimizzante per un funzionale? esiste anche una condizione sufficiente?se si quali sono?
Nel caso che un problema di minimizzazione del funzionale presenti anche dei vincoli ( di tipo integrale o differenziale) per le funzioni da cui il funzionale dipende, come si trasformano tali condizioni?
Grazie a tutti per la cortese attenzione
La positivita' della variazione seconda e' necessaria per avere minimo. Le condizioni sufficienti invece sono piu' complicate. E' meglio che ti studi un po' di Teoria classica nel Calcolo delle variazioni.
Quanto al caso dei vincoli, si puo' tentare di usare il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, ma questo dipende pesantemente da che tipo di vincolo hai.
Pero' mi viene una domanda: se ti stai laureando, credo che non hai bisogno della Teoria classica, o mi sbaglio? Essa oggi e' superata, in favore dei metodi diretti. Poi dipende anche da quello che stai facendo...
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Quanto al caso dei vincoli, si puo' tentare di usare il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, ma questo dipende pesantemente da che tipo di vincolo hai.
Pero' mi viene una domanda: se ti stai laureando, credo che non hai bisogno della Teoria classica, o mi sbaglio? Essa oggi e' superata, in favore dei metodi diretti. Poi dipende anche da quello che stai facendo...
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Grazie per la risp.
Effettivamente anke io ho trovato parecchi esempi applicativi che fanno uso solo di metodi diretti ...
Invece i metodi indiretti discendono dalla teoria classica?
Comunque nel caso volessi approfondire questo discorso sul calcolo delle variazioni e sulle condizioni necessarie e sufficienti di minimizzazione (con e senza vincoli) che testo e/o sito mi consiglierebbe?
Effettivamente anke io ho trovato parecchi esempi applicativi che fanno uso solo di metodi diretti ...
Invece i metodi indiretti discendono dalla teoria classica?
Comunque nel caso volessi approfondire questo discorso sul calcolo delle variazioni e sulle condizioni necessarie e sufficienti di minimizzazione (con e senza vincoli) che testo e/o sito mi consiglierebbe?
Diamoci pure del tu, non credo di avere molti anni piu' di te. Esiste un bellissimo libro che fa tutta la Teoria classica: M.Giaquinta e S.Hildebrandt; Calculus of variations Vol. 1 e 2, Springer. E' un po' pesante, ma tutto quello che ti serve li' lo trovi di sicuro.
Luca Lussardi
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Ok lo terrò sicuramente presente...sai sto facendo una breve descrizione dei metodi di minimizzazione: partendo dal calcolo variazionale e quindi la teoria classica, metodi indiretti, diretti...cmq so che ce ne sono molti altri, sapresti farmi un breve elenco?
Quelli oggi usati sono solo i metodi diretti, quindi basati su semicontinuita' e compattezza, il tutto dopo una opportuna dose di Analisi Funzionale. I metodi classici possono essere ancora utili per legare il Calcolo delle variazioni alla teoria EDP.
Luca Lussardi
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