L'equazione di campo di Einstein

[startrekking3]

Ciao a tutti! Avrei una domanda sulla Relatività Generale. Come si fa ad arrivare all'equazione di campo di Einstein partendo dalle proprietà dei tensori di Riemann $R_{\mu\nu\rho}^{\sigma}$ e Ricci $R_{\mu\nu}$, dall'equazione della geodetica ${d^2 x^\sigma}/{ds^2}+\Gamma_{\mu\nu}^\sigma {dx^\mu}/{ds} {dx^\nu}/{ds}=0 $ e dall'equazione di Gauss della divergenza del campo gravitazionale $\nabla * \vec {g} =-4 \pi G \rho$ ?

[MaGosTranO93]

Se non ricordo male, almeno una derivazione poteva essere ottenuta attraverso il principio di minima azione.

[rbtqwt]

Riassumo brevemente la logica presente sul Wald - General Relativity, pagine 71-72:

- Nella teoria Newtoniana, l'accelerazione relativa fra due particelle sottoposte ad un potenziale gravitazionale [tex]\phi[/tex] (soddisfacente all'equazione di Poisson [tex]\nabla^2 \phi = 4\pi \rho[/tex]) è data, detto [tex]\mathbf x[/tex] il vettore che le separa, da [tex]\mathbf a = -(\mathbf x \cdot \mathbf \nabla)\nabla \phi[/tex].
- In relatività generale l'accelerazione relativa fra due geodetiche è data dall'equazione di deviazione geodesica: [tex]a_\mu = -R_{\sigma\lambda\nu\mu} v^\sigma x^\lambda v^\nu[/tex], dove [tex]v^\mu[/tex] è la [tex]4[/tex]-velocità della particella e [tex]x^\mu[/tex] il [tex]4[/tex]-vettore di separazione.
- Confrontando le espressioni [tex]R_{\sigma\lambda\nu\mu} v^\sigma x^\lambda v^\nu[/tex] e [tex]x^\lambda \partial_\lambda \partial_\mu \phi[/tex] siamo portati ad identificare [tex]R_{\sigma\lambda\nu\mu} v^\sigma v^\nu[/tex] con [tex]\partial_\lambda \partial_\mu \phi[/tex].
- Considerando che in relatività un osservatore con velocità [tex]v[/tex] osserva una densità di materia data da [tex]T_{\mu\nu} v^\mu v^\nu \leftrightarrow \rho[/tex] e tenendo conto che l'equazione di Poisson fornisce [tex]\partial_\mu \partial^\mu \phi = 4\pi \rho = 4\pi T_{\mu\nu} v^\mu v^\nu[/tex], siamo portati a identificare [tex]{R_{\sigma\mu\nu}}^\mu v^\sigma v^\nu[/tex] con [tex]\partial_\mu \partial^\mu \phi = 4\pi T_{\sigma\nu} v^\sigma v^\nu[/tex], e dunque ad identificare [tex]R_{\sigma\nu}[/tex] con [tex]4\pi T_{\sigma\nu}[/tex].
- Si osserva poi che l'equazione [tex]R_{\mu\nu} = 4\pi T_{\mu\nu}[/tex] considerata assieme all'equazione di conservazione del tensore energia-impulso [tex]\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0[/tex] porta alla restrizione non-fisica [tex]\nabla_\mu R = 0[/tex], dunque si rimpiazza l'equazione ottenuta con l'equazione [tex]G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}[/tex], che fornisce automaticamente l'equazione di conservazione per [tex]T_{\mu\nu}[/tex] e porta alle stesse equazioni nel caso Newtoniano.
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[startrekking3]

Grazie! Sembra un buon spunto per arrivare all'equazione di campo

[startrekking3]

Non si dovrebbe arrivare a risultati simili anche calcolando la divergenza covariante di ${d^2 x^\sigma}/{ds^2}=-\Gamma_{\mu\nu}^\sigma {dx^\mu}/{ds} {dx^\nu}/{ds} $ e uguagliandola a $-4\pi G \rho$?
Se la mia intuizione è giusta, dovrebbe portare automaticamente a $R_{\mu\nu}=8\pi G (T_{\mu\nu}-1/2 T g_{\mu\nu})$