L'equazione del moto del punto materiale
Salve,
secondo la relatività generale l'equazione del moto del punto materiale si scrive come:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db8a7da3fb3a59308901b7d3df1f8b1b42afbf3[/img]
e se volessi trovare la traiettoria di un fotone dove i termini del tensore metrico sono funzioni note come dovrei fare?
secondo la relatività generale l'equazione del moto del punto materiale si scrive come:
[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db8a7da3fb3a59308901b7d3df1f8b1b42afbf3[/img]
e se volessi trovare la traiettoria di un fotone dove i termini del tensore metrico sono funzioni note come dovrei fare?
Risposte
Su quale libro stai studiando la RG ? Tutti i testi trattano le geodetiche in RG. Ma la soluzione generale delle equazioni differenziali non lineari a cui conduce quella equazione che hai scritto non è per nulla facile. Esistono pochi casi in cui , data una metrica, e cioè note le componenti $g_(munu)(x)$ del tensore metrico, le geodetiche posso essere scritte in forma esplicita, come dice qui .
LA procedura standard, codificata praticamente in tutti i testi di RG , è questa :
1) si stabilisce qual è la sorgente del campo
2) si determinano, se possibile, risolvendo le equazioni di campo di Einstein, le componenti del tensore metrico
3) si suppone che una particella di prova venga posta nel campo , con l'intesa che la particella non alteri (troppo) il campo gravitazionale creato dalla sorgente. La particella si suppone soggetta solo al campo gravitazionale.
4) si studiano le traiettorie della particella , che sono geodetiche dello spaziotempo , specialmente in direzione radiale e circonferenziale. Ci sono degli integrali primi del moto, dati dalla conservazione dell’energia e del momento angolare.
Questo si fa, ad esempio, nella soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein.
Le geodetiche sono curve autoparallele , che trasportano il vettore tangente in modo parallelo lungo se stesse . Sono anche curve "più diritte possibili" nello spaziotempo tra due eventi dati , e massimizzano il tempo proprio tra i due eventi : cioè a dire , dati due eventi , che possono essere uniti da più curve nello ST , la geodetica è quella a cui corrisponde il tempo proprio maggiore. Questo deriva dal segno "-" nella metrica .
Perciò, si possono trattare anche con un principio variazionale , scrivendo la lagrangiana e applicando le equazioni di Eulero-Lagrange.
Ma quando si ha a che fare con la luce, bisogna tener conto che $ds^2=0$ ; il parametro che compare nelle equazioni della geodetica , che di solito è il tempo proprio se si tratta di una particella materiale, è sostituito da un parametro affine, e si aggira l'ostacolo in vari modi.
Io non ti dico perciò che cosa devi fare per risolvere quelle equazioni; ci sono 40 simboli di Christoffel da calcolare, nel caso più generale , che dipendono dalle derivate prime dei coefficienti della metrica. Ma le cose si semplificano notevolmente , se si studiano casi semplici e con certe opportune simmetrie. Per esempio , nel caso dello ST di Schwarzschild , esterno a un BN sferico statico , i simboli di Christoffel non nulli si riducono a 9 . Se poi si studiano i raggi luminosi (o le particelle) in moto radiale o circonferenziale , o la deflessione della luce in un dato campo gravitazionale , le cose si mettono abbastanza bene, pur rimanendo difficili .
Preferisco perciò darti qualche consiglio , su dove trovare tutto questo, descritto in maniera matematicamente accessibile .
Il primo libro che mi viene in mente è questo di Foster e Nightingale.
Aggiungo questo libro di Hobson e altri .
Entrambi contengono lucide descrizioni delle geodetiche , sia di corpi materiali che di tipo luce.
MA sul web i corsi e le dispense libere , e anche libri, di RG abbondano. Effettua una ricerca...e troverai.
LA procedura standard, codificata praticamente in tutti i testi di RG , è questa :
1) si stabilisce qual è la sorgente del campo
2) si determinano, se possibile, risolvendo le equazioni di campo di Einstein, le componenti del tensore metrico
3) si suppone che una particella di prova venga posta nel campo , con l'intesa che la particella non alteri (troppo) il campo gravitazionale creato dalla sorgente. La particella si suppone soggetta solo al campo gravitazionale.
4) si studiano le traiettorie della particella , che sono geodetiche dello spaziotempo , specialmente in direzione radiale e circonferenziale. Ci sono degli integrali primi del moto, dati dalla conservazione dell’energia e del momento angolare.
Questo si fa, ad esempio, nella soluzione di Schwarzschild delle equazioni di Einstein.
Le geodetiche sono curve autoparallele , che trasportano il vettore tangente in modo parallelo lungo se stesse . Sono anche curve "più diritte possibili" nello spaziotempo tra due eventi dati , e massimizzano il tempo proprio tra i due eventi : cioè a dire , dati due eventi , che possono essere uniti da più curve nello ST , la geodetica è quella a cui corrisponde il tempo proprio maggiore. Questo deriva dal segno "-" nella metrica .
Perciò, si possono trattare anche con un principio variazionale , scrivendo la lagrangiana e applicando le equazioni di Eulero-Lagrange.
Ma quando si ha a che fare con la luce, bisogna tener conto che $ds^2=0$ ; il parametro che compare nelle equazioni della geodetica , che di solito è il tempo proprio se si tratta di una particella materiale, è sostituito da un parametro affine, e si aggira l'ostacolo in vari modi.
Io non ti dico perciò che cosa devi fare per risolvere quelle equazioni; ci sono 40 simboli di Christoffel da calcolare, nel caso più generale , che dipendono dalle derivate prime dei coefficienti della metrica. Ma le cose si semplificano notevolmente , se si studiano casi semplici e con certe opportune simmetrie. Per esempio , nel caso dello ST di Schwarzschild , esterno a un BN sferico statico , i simboli di Christoffel non nulli si riducono a 9 . Se poi si studiano i raggi luminosi (o le particelle) in moto radiale o circonferenziale , o la deflessione della luce in un dato campo gravitazionale , le cose si mettono abbastanza bene, pur rimanendo difficili .
Preferisco perciò darti qualche consiglio , su dove trovare tutto questo, descritto in maniera matematicamente accessibile .
Il primo libro che mi viene in mente è questo di Foster e Nightingale.
Aggiungo questo libro di Hobson e altri .
Entrambi contengono lucide descrizioni delle geodetiche , sia di corpi materiali che di tipo luce.
MA sul web i corsi e le dispense libere , e anche libri, di RG abbondano. Effettua una ricerca...e troverai.
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