Leggi di maxwell - forma integrale e locale
salve,
ho un dubbio sul passsagio dalla forma integrale alla forma locale delle equazioni di maxwell
as esempio
1)il flusso del campo magnetico attreverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre uguale a zero.
da cui applicanto il teorema della divergenza:
2) l'integrale triplo della divergenza del campo magnetico è uguale a zero.
da cui
3) la divergenza del campo magnetico è uguale a zero.
non capisco come si passa dalla 2 alla 3
certo se la divergenza del campo è uguale a zero allora sicuramente l'integrale triplo farà zero.
ma non potrebbe esserci un campo tale che quell'integrale triplo faccia zero nonostante la divergenza di tale campo non sia zero?
grazie
ho un dubbio sul passsagio dalla forma integrale alla forma locale delle equazioni di maxwell
as esempio
1)il flusso del campo magnetico attreverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre uguale a zero.
da cui applicanto il teorema della divergenza:
2) l'integrale triplo della divergenza del campo magnetico è uguale a zero.
da cui
3) la divergenza del campo magnetico è uguale a zero.
non capisco come si passa dalla 2 alla 3
certo se la divergenza del campo è uguale a zero allora sicuramente l'integrale triplo farà zero.
ma non potrebbe esserci un campo tale che quell'integrale triplo faccia zero nonostante la divergenza di tale campo non sia zero?
grazie
Risposte
"giovx24":
... ma non potrebbe esserci un campo tale che ...
Per alcuni volumi, certamente. Il fatto è che quell'integrale triplo deve essere nullo per qualsiasi volume.
grazie
avevo pensato a questo, però
da un punto di vista matematico
lavorando con funzioni da $R$ in $R$
volessi trovare una funzione tale che l'integrale faccia zero comunque preso un intervallo di integrazione, che non sia la funzione nulla, mi basterebbe prendere la funzione di dirichlet
avevo pensato a questo, però
da un punto di vista matematico
lavorando con funzioni da $R$ in $R$
volessi trovare una funzione tale che l'integrale faccia zero comunque preso un intervallo di integrazione, che non sia la funzione nulla, mi basterebbe prendere la funzione di dirichlet
Funzioni patologiche escluse. Ti invito a dare un'occhiata alle ipotesi sotto le quali valgono i più importanti teoremi riguardanti i campi vettoriali.
capisco,
ovviamente dal punto di vista fisico non ha senso prendere in considerazioni tali funzioni, giusto?
grazie
ovviamente dal punto di vista fisico non ha senso prendere in considerazioni tali funzioni, giusto?
grazie
Come certamente saprai, i campi macroscopici possono presentare delle discontinuità. Ma non così patologiche.
Innanzitutto NON è vero che le leggi di Maxwell in forma integrale e Differenziale sono equivalenti, in particolare dal punto di vista matematico sono richieste condizioni di regolarità più forti nel caso delle leggi in forma differenziale, ma andiamo con ordine.
Scelto un sistema di riferimento $\mathcal{I}$ a cui sono associate un sistema di coordinate cartesiane ortonormali solidali $r=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ e coordinata temporale $t \in \mathbb{R}$\[nota]nota come abbia in qualche modo scomposto lo spazio tempo in spazio + tempo, supponendo una struttura di varietà fogliata, come si fa in meccanica classica, in quanto non ci stiamo interessando a capire come cambiano i campi cambiando sistema di riferimento[/nota], valgono le leggi di Maxwell in forma integrale:
\begin{equation}
\begin{cases}
\oint_{+\partial V} E \cdot n dS = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_V \rho d^3x\\
\oint_{C} E \cdot ds = -\frac{\text{d}}{\text{dt}} \iint_{\Sigma} B\cdot n dS\\
\oint_{+\partial V} B \cdot n dS = 0\\
\oint_{C} B \cdot ds = \mu_0 \iint_{\Sigma}J \cdot n dS+\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\text{d}}{\text{dt}} \iint_{\Sigma} E \cdot n dS\\
\end{cases}
\end{equation}
dove $V$ è un volume in quiete nel riferimento scelto il cui bordo $\partial V$ è regolare ed orientabile, mentre $C$ è una curva regolare chiusa, anch'essa in quiete nel riferimento scelto, bordo della superficie regolare $\Sigma$. E' evidente dalla formulazione come sia sufficiente che i campi e le sorgenti siano continue per poter eseguire l'integrazione (si potrebbero indebolire le ipotesi prendendo campi o sorgenti con discontinuità finite, ma per affrontare al meglio questi casi sarebbero necessarie le distribuzioni).
I teoremi che servono per passare da una forma all'altra, sono i seguenti:
Teorema della Divergenza
Sia $\Omega \subset mathbb{R}^n$ relativamente compatto non vuoto, tale che il suo bordo $\partial \Omega$ sia una superficie regolare ed orientabile con versore normale uscente n. Sia inoltre $F:\overline{\Omega} \to \mathbb{R}^n$ di classe $\mathcal{C}^1(\Omega) \cap \mathcal{C}^0(\overline{\Omega})$, allora vale la seguente identità:
\begin{equation}
\oint_{\partial \Omega} F \cdot n dS= \iiint_{\Omega} \nabla \cdot F d^nx
\end{equation}
dove si interpreta il secondo integrale con un integrale di Lebesgue se $\nabla \cdot F \in \mathcal{L}^1(\Omega)$ altrimenti come integrale improprio di Riemann[nota]Le ipotesi con cui è stato enunciato questo teorema sono più deboli di quelle che di solito si trovano, ovvero con $F \in \mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$. In tal caso infatti le nozioni di integrale di Lebesgue e di Riemann coincidono, poiché coincidono le due misure essendo l'insieme relativamente compatto. Per indebolire le ipotesi di regolarità sul bordo, si può considerare una successione strettamente monotona di insiemi relativamente compatti $\{\Omega_m\}_{m \in \mathbb{N}}$, ovvero tali che $\overline{Omega}_m \subset \Omega_{m+1}$ convergente ad $\Omega$. Su ciascuno di questi insiemi la nozione di integrale di Riemann su $\overline{Omega}_m $ e Lebesgue su $\Omega$ coincidono e prendendone il limite, per continuità si ha l'asserto. Nel caso in cui $\nabla \cdot F \in \mathcal{L}^1(\Omega)$, si può usare il teorema della convergenza dominata e sfruttando la funzione caratteristica dell'insieme $\Omega_m$, in modo tale da poter interpretare l'integrale finale come integrale di Lebesgue[/nota]
Teorema del Rotore
Sia $C \subset \mathbb{R}^3$ una curva regolare orientabile chiusa, $\mathcal{C}^1$ a tratti, bordo di una superficie orientabile $\Sigma$ con versore uscente n, orientato coerentemente con l'orientazione della curva, mediante la regola della mano destra. Sia $\Omega \subset C \cup \Sigma$ relativamente compatto e $F: \Omega \to \mathbb{R}^3$ un campo vettoriale $\mathcal{C}^1$ sul suo dominio di definizione, allora vale la seguente uguaglianza:
\begin{equation}
\oint_C F \cdot dl = \iint_{\Sigma} \nabla \times F \cdot n dS
\end{equation}
Hai subito dunque che la forma integrale e differenziale delle equazioni non è equivalente e non solo per una questione di regolarità dei campi come si potrebbe pensare ma anche per una questione topologica (pensa al potenziale elettrostatico). Usando i teoremi sopracitati e supponendo una sufficiente regolarità dei campi, $\mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$ congiuntamente in tutte le variabili, otteniamo le leggi di Maxwell in forma differenziale:
\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t } \\
\nabla \cdot B =0\\
\nabla \times B = \mu_0 J +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t }
\end{cases}
\end{equation}
Per esempio, mostriamo che la prima legge di Maxwell in forma integrale implica quella differenziale. Applicando il teorema della divergenza otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\iiint \nabla \cdot E d^3 x &= \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint \rho d^3x\\
\end{aligned}
\end{equation*}
da cui abbiamo:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\iiint \bigg(\nabla \cdot E- \frac{\rho}{\varepsilon_0}\bigg) d^3 x &= 0\\
\end{aligned}
\end{equation*}
E' evidente che se l'argomento dell'integrale è nullo, l'uguaglianza è soddisfatta. Viceversa, supponiamo per assurdo che tale integrale sia nullo, ma che l'argomento sia non nullo in una regione di misura non nulla secondo Lebesgue[nota]La funzione di Dirichlet ad esempio non soddisfa questa ipotesi. In realtà la funzione di Dirichlet non è fisicamente accettabile come sorgente ad esempio, in quanto per densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ non si riuscirebbe a misurare e quindi a distinguere le regioni di carica nulla da quelle non nulla[/nota]. Scegliamo una palla aperta centrata in $r_0$ di raggio $r$ finito, strettamente contenuta nella regione in cui abbiamo supposto che l'integrando non si annullasse. Senza perdere di generalità, assumiamo che $\nabla \cdot E(t, r_0)- \frac{\rho(t,r_0)}{\varepsilon_0} = I >0$; dunque, per continuità, abbiamo che l'integrando in una regione sufficientemente piccola attorno ad $r_0$ assume valori tra $(I-\varepsilon, I + \varepsilon)$. Di conseguenza:
\begin{equation}
\iiint_{V_r} \bigg(\nabla \cdot E- \frac{\rho}{\varepsilon_0}\bigg) d^3 x > (I-\varepsilon) \frac{4 \pi r^3}{3}>0
\end{equation}
il che è contraddittorio. Si giunge chiaramente alla stessa conclusione se si assume $I<0$, dunque abbiamo che la forma integrale implica quella differenziale. La dimostrazione che ho appena fatto traduce in modo rigoroso il concetto espresso in modo sbrigativo ma efficace del valere indipendentemente dalla regione di integrazione scelta. Se si sceglie $\Omega \equiv \mathbb{R}^3$ le due forme delle equazioni di Maxwell sono equivalenti ed in generale ciò vale quando si scelgono domini semplicemente connessi. Ad esempio se prendi un campo elettrostatico $E$ irrotazionale, avente dunque $\nabla \times E =0$, è possibile trovarne a priori un potenziale scalare solo se si assume che il dominio di definizione è semplicemente connesso, altrimenti non è possibile applicare il lemma di Volterra-Poincaré.
Scelto un sistema di riferimento $\mathcal{I}$ a cui sono associate un sistema di coordinate cartesiane ortonormali solidali $r=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ e coordinata temporale $t \in \mathbb{R}$\[nota]nota come abbia in qualche modo scomposto lo spazio tempo in spazio + tempo, supponendo una struttura di varietà fogliata, come si fa in meccanica classica, in quanto non ci stiamo interessando a capire come cambiano i campi cambiando sistema di riferimento[/nota], valgono le leggi di Maxwell in forma integrale:
\begin{equation}
\begin{cases}
\oint_{+\partial V} E \cdot n dS = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_V \rho d^3x\\
\oint_{C} E \cdot ds = -\frac{\text{d}}{\text{dt}} \iint_{\Sigma} B\cdot n dS\\
\oint_{+\partial V} B \cdot n dS = 0\\
\oint_{C} B \cdot ds = \mu_0 \iint_{\Sigma}J \cdot n dS+\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\text{d}}{\text{dt}} \iint_{\Sigma} E \cdot n dS\\
\end{cases}
\end{equation}
dove $V$ è un volume in quiete nel riferimento scelto il cui bordo $\partial V$ è regolare ed orientabile, mentre $C$ è una curva regolare chiusa, anch'essa in quiete nel riferimento scelto, bordo della superficie regolare $\Sigma$. E' evidente dalla formulazione come sia sufficiente che i campi e le sorgenti siano continue per poter eseguire l'integrazione (si potrebbero indebolire le ipotesi prendendo campi o sorgenti con discontinuità finite, ma per affrontare al meglio questi casi sarebbero necessarie le distribuzioni).
I teoremi che servono per passare da una forma all'altra, sono i seguenti:
Teorema della Divergenza
Sia $\Omega \subset mathbb{R}^n$ relativamente compatto non vuoto, tale che il suo bordo $\partial \Omega$ sia una superficie regolare ed orientabile con versore normale uscente n. Sia inoltre $F:\overline{\Omega} \to \mathbb{R}^n$ di classe $\mathcal{C}^1(\Omega) \cap \mathcal{C}^0(\overline{\Omega})$, allora vale la seguente identità:
\begin{equation}
\oint_{\partial \Omega} F \cdot n dS= \iiint_{\Omega} \nabla \cdot F d^nx
\end{equation}
dove si interpreta il secondo integrale con un integrale di Lebesgue se $\nabla \cdot F \in \mathcal{L}^1(\Omega)$ altrimenti come integrale improprio di Riemann[nota]Le ipotesi con cui è stato enunciato questo teorema sono più deboli di quelle che di solito si trovano, ovvero con $F \in \mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$. In tal caso infatti le nozioni di integrale di Lebesgue e di Riemann coincidono, poiché coincidono le due misure essendo l'insieme relativamente compatto. Per indebolire le ipotesi di regolarità sul bordo, si può considerare una successione strettamente monotona di insiemi relativamente compatti $\{\Omega_m\}_{m \in \mathbb{N}}$, ovvero tali che $\overline{Omega}_m \subset \Omega_{m+1}$ convergente ad $\Omega$. Su ciascuno di questi insiemi la nozione di integrale di Riemann su $\overline{Omega}_m $ e Lebesgue su $\Omega$ coincidono e prendendone il limite, per continuità si ha l'asserto. Nel caso in cui $\nabla \cdot F \in \mathcal{L}^1(\Omega)$, si può usare il teorema della convergenza dominata e sfruttando la funzione caratteristica dell'insieme $\Omega_m$, in modo tale da poter interpretare l'integrale finale come integrale di Lebesgue[/nota]
Teorema del Rotore
Sia $C \subset \mathbb{R}^3$ una curva regolare orientabile chiusa, $\mathcal{C}^1$ a tratti, bordo di una superficie orientabile $\Sigma$ con versore uscente n, orientato coerentemente con l'orientazione della curva, mediante la regola della mano destra. Sia $\Omega \subset C \cup \Sigma$ relativamente compatto e $F: \Omega \to \mathbb{R}^3$ un campo vettoriale $\mathcal{C}^1$ sul suo dominio di definizione, allora vale la seguente uguaglianza:
\begin{equation}
\oint_C F \cdot dl = \iint_{\Sigma} \nabla \times F \cdot n dS
\end{equation}
Hai subito dunque che la forma integrale e differenziale delle equazioni non è equivalente e non solo per una questione di regolarità dei campi come si potrebbe pensare ma anche per una questione topologica (pensa al potenziale elettrostatico). Usando i teoremi sopracitati e supponendo una sufficiente regolarità dei campi, $\mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$ congiuntamente in tutte le variabili, otteniamo le leggi di Maxwell in forma differenziale:
\begin{equation}
\begin{cases}
\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t } \\
\nabla \cdot B =0\\
\nabla \times B = \mu_0 J +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t }
\end{cases}
\end{equation}
Per esempio, mostriamo che la prima legge di Maxwell in forma integrale implica quella differenziale. Applicando il teorema della divergenza otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\iiint \nabla \cdot E d^3 x &= \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint \rho d^3x\\
\end{aligned}
\end{equation*}
da cui abbiamo:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\iiint \bigg(\nabla \cdot E- \frac{\rho}{\varepsilon_0}\bigg) d^3 x &= 0\\
\end{aligned}
\end{equation*}
E' evidente che se l'argomento dell'integrale è nullo, l'uguaglianza è soddisfatta. Viceversa, supponiamo per assurdo che tale integrale sia nullo, ma che l'argomento sia non nullo in una regione di misura non nulla secondo Lebesgue[nota]La funzione di Dirichlet ad esempio non soddisfa questa ipotesi. In realtà la funzione di Dirichlet non è fisicamente accettabile come sorgente ad esempio, in quanto per densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ non si riuscirebbe a misurare e quindi a distinguere le regioni di carica nulla da quelle non nulla[/nota]. Scegliamo una palla aperta centrata in $r_0$ di raggio $r$ finito, strettamente contenuta nella regione in cui abbiamo supposto che l'integrando non si annullasse. Senza perdere di generalità, assumiamo che $\nabla \cdot E(t, r_0)- \frac{\rho(t,r_0)}{\varepsilon_0} = I >0$; dunque, per continuità, abbiamo che l'integrando in una regione sufficientemente piccola attorno ad $r_0$ assume valori tra $(I-\varepsilon, I + \varepsilon)$. Di conseguenza:
\begin{equation}
\iiint_{V_r} \bigg(\nabla \cdot E- \frac{\rho}{\varepsilon_0}\bigg) d^3 x > (I-\varepsilon) \frac{4 \pi r^3}{3}>0
\end{equation}
il che è contraddittorio. Si giunge chiaramente alla stessa conclusione se si assume $I<0$, dunque abbiamo che la forma integrale implica quella differenziale. La dimostrazione che ho appena fatto traduce in modo rigoroso il concetto espresso in modo sbrigativo ma efficace del valere indipendentemente dalla regione di integrazione scelta. Se si sceglie $\Omega \equiv \mathbb{R}^3$ le due forme delle equazioni di Maxwell sono equivalenti ed in generale ciò vale quando si scelgono domini semplicemente connessi. Ad esempio se prendi un campo elettrostatico $E$ irrotazionale, avente dunque $\nabla \times E =0$, è possibile trovarne a priori un potenziale scalare solo se si assume che il dominio di definizione è semplicemente connesso, altrimenti non è possibile applicare il lemma di Volterra-Poincaré.
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