Legge oraria punto materiale nota velocità
Dovrei determinare la legge oraria di un punto che si muove con velocità:
$v(t)=-\omega R sin \omega t \hat{i}_1+\omega R cos \omega t \hat{i}_2 + h\omega \hat{i}_3$
Ho determinato le equazioni del moto semplicemente integrando:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1 (t)=R cos \omega t \\ x_2(t)=R sin \omega t \\ x_3(t)=h\omega t \end{array}\right. \)
Non sono troppo sicuro di $x_3(t)$ perchè la soluzione mi dice che dovrebbe essere $ht$, non capisco perchè sparisce $\omega$ integrando.
La traiettoria è comunque un'elica circolare. Però la legge oraria non riesco a tirarla fuori. Non riesco a capirla... Potete aiutarmi sia sulla equazione di $x_3$ che sulla legge oraria? Grazie
$v(t)=-\omega R sin \omega t \hat{i}_1+\omega R cos \omega t \hat{i}_2 + h\omega \hat{i}_3$
Ho determinato le equazioni del moto semplicemente integrando:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1 (t)=R cos \omega t \\ x_2(t)=R sin \omega t \\ x_3(t)=h\omega t \end{array}\right. \)
Non sono troppo sicuro di $x_3(t)$ perchè la soluzione mi dice che dovrebbe essere $ht$, non capisco perchè sparisce $\omega$ integrando.
La traiettoria è comunque un'elica circolare. Però la legge oraria non riesco a tirarla fuori. Non riesco a capirla... Potete aiutarmi sia sulla equazione di $x_3$ che sulla legge oraria? Grazie
Risposte
Up
Hai scritto quasi bene, non capisco cosa non capisci.
A rigore manca un punto iniziale arbitrario, poiché integrando c'è una costante arbitraria di integrazione, dunque:
$$\eqalign{
& x = {x_0} + R\cos \omega t \cr
& y = {y_0} + R\sin \omega t \cr
& z = {z_0} + h\omega t \cr
& {\bf{r}} = x{{\bf{i}}_{\bf{1}}} + y{{\bf{i}}_{\bf{2}}} + z{{\bf{i}}_{\bf{3}}} \cr} $$
A rigore manca un punto iniziale arbitrario, poiché integrando c'è una costante arbitraria di integrazione, dunque:
$$\eqalign{
& x = {x_0} + R\cos \omega t \cr
& y = {y_0} + R\sin \omega t \cr
& z = {z_0} + h\omega t \cr
& {\bf{r}} = x{{\bf{i}}_{\bf{1}}} + y{{\bf{i}}_{\bf{2}}} + z{{\bf{i}}_{\bf{3}}} \cr} $$
Allora su $z$ c'è un errore degli esercizi, visto che mi da come risultato $z=ht$... Io vorrei trovare la legge oraria del tipo:
$s(t)=\sqrt(R^2+h^2)\omegat +s_0$
Che è appunto la legge oraria che mi da la soluzione a cui io non so arrivarci. Grazie
$s(t)=\sqrt(R^2+h^2)\omegat +s_0$
Che è appunto la legge oraria che mi da la soluzione a cui io non so arrivarci. Grazie
Basta ricordare la relazione tra modulo della velocità e ascissa curvilinea:
$$\eqalign{
& ds = v\left( t \right)dt \cr
& s\left( t \right) = {s_0} + \int_0^t {v\left( t \right)dt} \cr
& v\left( t \right) = \sqrt {{v_x}^2\left( t \right) + {v_y}^2\left( t \right) + {v_z}^2\left( t \right)} \cr
& v\left( t \right) = \sqrt {{R^2}{\omega ^2}{{\sin }^2}\omega t + {R^2}{\omega ^2}{{\cos }^2}\omega t + {h^2}{\omega ^2}} = \omega \sqrt {{R^2} + {h^2}} \cr
& s\left( t \right) = {s_0} + \int_0^t {\omega \sqrt {{R^2} + {h^2}} dt} = {s_0} + \sqrt {{R^2} + {h^2}} \omega t \cr} $$
$$\eqalign{
& ds = v\left( t \right)dt \cr
& s\left( t \right) = {s_0} + \int_0^t {v\left( t \right)dt} \cr
& v\left( t \right) = \sqrt {{v_x}^2\left( t \right) + {v_y}^2\left( t \right) + {v_z}^2\left( t \right)} \cr
& v\left( t \right) = \sqrt {{R^2}{\omega ^2}{{\sin }^2}\omega t + {R^2}{\omega ^2}{{\cos }^2}\omega t + {h^2}{\omega ^2}} = \omega \sqrt {{R^2} + {h^2}} \cr
& s\left( t \right) = {s_0} + \int_0^t {\omega \sqrt {{R^2} + {h^2}} dt} = {s_0} + \sqrt {{R^2} + {h^2}} \omega t \cr} $$
Hai perfettamente ragione, una cosa semplice e non mi veniva in mente... Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo