Legge oraria punto di contatto corpo rigido
Ciao a tutti.
Supponiamo di avere un disco (corpo rigido) che si muove rotolando e strisciando su di un piano orizzontale scabro con velocità iniziale lungo l'asse $x$ uguale a $v_0$.
Se volessi descrivere la posizione lungo l'asse $x$ del punto di contatto $C$ da un istante in cui esso è a contatto con il suolo ad un istante generico,
scriverei che la posizione del punto di contatto sul disco la chiamo $Rsin(phi)$
da cui
$x_c = x_g -Rsin(phi)$
Viene chiesto in un esercizio di giungere a questo risultato utilizzando la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi.
La velocità iniziale del centro di massa è uguale a $v_0$.
La velocità angolare iniziale è uguale a zero.
La posizione iniziale del centro di massa è uguale a zero.
Il corpo striscia sin dall'inizio.
Per punto di contatto C si intende il punto che nell'istante iniziale è a contatto con il piano.
La formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi dice che:
$vecdot(x)_c= vecdot(x)_g + vecdot(phi) xx (C-G)$
Come faccio a giungere al risultato precedente? Integrando? Non giungerei allo stesso risultato. Io ho scritto in questo modo:
Le velocità traslazionali e rotazionali sono:
$text(traslazionale) rarr Mddot(x)= -mu_dMg rArr dot(x)_g= -mu_dg(t) + v_0$
$text(rotazionale) rarr I_gddot(phi)= Rmu_dMg rArr dot(phi)= 2mu_dg/Rt$
quindi, ritornando alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi:
$... vecdot(phi) xx (C-G)$ regola mano destra: $vecdot(phi)$ entrante, $(C-G)$ vettore che va da $G$ a $C$ che è perpendicolare $vecdot(phi)$ il che implica:
$vecdot(phi) xx (C-G)= |dot(phi)R| -hat(u)_x = - 2mu_dg(t) hat(u)_x$
Ho finalmente scritto il secondo termine adesso, non resta che proseguire:
$dot(x)_c= dot(x)_g + dot(phi) xx (C-G)$
$= (-mu_dg(t) + v_0) - 2mu_dg(t)$
Integrando (e considerando posizioni iniziali uguali a zero), ho che
$x_c= -mu_dg(t^2)/2 + v_0t - 2mu_dg(t^2)/2$
$rArr x_c - 3mu_dg(t^2)/2 + v_0t$
E' sbagliato secondo voi? Mi sembra di sì.
Ho l'impressione che ci sia un modo più veloce per farlo, perché andava svolto in poco tempo questo esercizio, ed inoltre non sono giunto allo stesso risultato di prima, che dovrebbe essere equivalente.
Supponiamo di avere un disco (corpo rigido) che si muove rotolando e strisciando su di un piano orizzontale scabro con velocità iniziale lungo l'asse $x$ uguale a $v_0$.
Se volessi descrivere la posizione lungo l'asse $x$ del punto di contatto $C$ da un istante in cui esso è a contatto con il suolo ad un istante generico,
scriverei che la posizione del punto di contatto sul disco la chiamo $Rsin(phi)$
da cui
$x_c = x_g -Rsin(phi)$
Viene chiesto in un esercizio di giungere a questo risultato utilizzando la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi.
La velocità iniziale del centro di massa è uguale a $v_0$.
La velocità angolare iniziale è uguale a zero.
La posizione iniziale del centro di massa è uguale a zero.
Il corpo striscia sin dall'inizio.
Per punto di contatto C si intende il punto che nell'istante iniziale è a contatto con il piano.
La formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi dice che:
$vecdot(x)_c= vecdot(x)_g + vecdot(phi) xx (C-G)$
Come faccio a giungere al risultato precedente? Integrando? Non giungerei allo stesso risultato. Io ho scritto in questo modo:
Le velocità traslazionali e rotazionali sono:
$text(traslazionale) rarr Mddot(x)= -mu_dMg rArr dot(x)_g= -mu_dg(t) + v_0$
$text(rotazionale) rarr I_gddot(phi)= Rmu_dMg rArr dot(phi)= 2mu_dg/Rt$
quindi, ritornando alla formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi:
$... vecdot(phi) xx (C-G)$ regola mano destra: $vecdot(phi)$ entrante, $(C-G)$ vettore che va da $G$ a $C$ che è perpendicolare $vecdot(phi)$ il che implica:
$vecdot(phi) xx (C-G)= |dot(phi)R| -hat(u)_x = - 2mu_dg(t) hat(u)_x$
Ho finalmente scritto il secondo termine adesso, non resta che proseguire:
$dot(x)_c= dot(x)_g + dot(phi) xx (C-G)$
$= (-mu_dg(t) + v_0) - 2mu_dg(t)$
Integrando (e considerando posizioni iniziali uguali a zero), ho che
$x_c= -mu_dg(t^2)/2 + v_0t - 2mu_dg(t^2)/2$
$rArr x_c - 3mu_dg(t^2)/2 + v_0t$
E' sbagliato secondo voi? Mi sembra di sì.
Ho l'impressione che ci sia un modo più veloce per farlo, perché andava svolto in poco tempo questo esercizio, ed inoltre non sono giunto allo stesso risultato di prima, che dovrebbe essere equivalente.
Risposte
"anonymous_58f0ac":
Supponiamo di avere un disco (corpo rigido) che si muove rotolando e strisciando su di un piano orizzontale scabro con velocità iniziale lungo l'asse $x$ uguale a $v_0$.
Intuisco dai conti che hai fatto quali sono le condizioni del problema. Ma da questo testo non si capisce tanto, non trovi? Se dai questo testo a una persona e le chiedi di fare l'esperimento, credi che capisca e riesca a farlo? Velocita iniziale di quale punto? La velocità angolare iniziale è nulla? Inizialmente si suppone che il disco strisci? Per "punto di contatto" intendi il punto del corpo che è inizialmente a contatto col piano? Correggi
Mi sembra che l'errore sia nel prodotto vettoriale. Se ho capito bene, C è un punto del disco, cioè che si muove col disco, quindi il vettore che va da G a C non è sempre verticale verso il basso ma ruota col disco e dipende dall'angolo.
Inoltre per favore scrivi il risultato in funzione solo del tempo, sostituisci xg con la sua espressione in fuzione del tempo.
"ralf86":
Intuisco dai conti che hai fatto quali sono le condizioni del problema. Ma da questo testo non si capisce tanto, non trovi? Se dai questo testo a una persona e le chiedi di fare l'esperimento, credi che capisca e riesca a farlo? Velocita iniziale di quale punto?
Grazie per la segnalazione La velocità angolare iniziale è nulla? Inizialmente si suppone che il disco strisci? Per "punto di contatto" intendi il punto del corpo che è inizialmente a contatto col piano? Correggi
Grazie mille per le segnalazioni. Modifiche fatte.
"ralf86":
Mi sembra che l'errore sia nel prodotto vettoriale. Se ho capito bene, C è un punto del disco, cioè che si muove col disco, quindi il vettore che va da G a C non è sempre verticale verso il basso ma ruota col disco e dipende dall'angolo.
Giusto! Tuttavia il vettore velocità angolare è sempre perpendicolare al vettore che va da G a C, questo significa che
$|dot(phi) xx (C-G)| = dot(phi)(C-G)sin(pi/2) = dot(phi)(C-G) $.
Poi dovrò fare la proiezione sull'asse $x$?
"ralf86":
Inoltre per favore scrivi il risultato in funzione solo del tempo, sostituisci xg con la sua espressione in fuzione del tempo.
In fondo l'ho fatto, nelle prime parti dell'esercizio l'ho lasciato soltanto per far capire che stavo usando la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi considerando il punto G.
Dici che dovrei modificarlo da qualche parte?
"anonymous_58f0ac":[/quote]
[quote="ralf86"]
$|dot(phi) xx (C-G)| = dot(phi)(C-G)sin(pi/2) = dot(phi)(C-G) $.
Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore. Quello che hai scritto è corretto ma è il modulo. Scrivi il vettore e proietta lungo l'asse x poi sostituisci nella formula fondamentale della cinematica del corpo rigido e integra.
"ralf86":
Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore. Quello che hai scritto è corretto ma è il modulo. Scrivi il vettore e proietta lungo l'asse x poi sostituisci nella formula fondamentale della cinematica del corpo rigido e integra.
Per proiettare lungo l'asse $x$ il risultato del prodotto vettoriale di modulo $ dot(phi)(C-G)$,
dovrò scrivere:
$ dot(phi)R cos(pi/2 + phi)$
TUTTAVIA Houston abbiamo un problema: mi viene detto da diversi miei compagni di studio, che, per calcolare lo spazio percorso dal punto di contatto, non bisogna studiare il moto del punto che inizialmente si trovava a contatto con il pavimento e che via via si sposta lungo la circonferenza, ma studiare il moto del punto di contatto, ovvero del punto che istante per istante cambia e si viene a trovare a contatto con il pavimento.
Nota: non ci trovo molto senso, non capisco.
Per contestualizzare la situazione: tutto questo viene fatto per calcolare l'energia dissipata da un disco che inizialmente rotola e striscia su un piano scabro prima dell'instaurarsi del rotolamento puro.
Sono confuso.
Traiettoria, spazio percorso, punto del corpo inizialmente a contatto col piano, punto (geometrico, non del corpo) che è via via di contatto tra corpo e piano... Sono cose diverse!
Chiarisci prima bene il problema che devi risolvere: testo, figura, dati e richieste.
Traiettoria, spazio percorso, punto del corpo inizialmente a contatto col piano, punto (geometrico, non del corpo) che è via via di contatto tra corpo e piano... Sono cose diverse!
Chiarisci prima bene il problema che devi risolvere: testo, figura, dati e richieste.
Al solito, gli studenti non usano la funzione “cerca...” ; abbiamo parlato di rotolamento con strisciamento iniziale molte volte, ad esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443343
Inizialmente il centro G ha velocità $v_0$, supponiamo a causa di un impulso dato con un colpo di stecca centrato; la velocità angolare iniziale è nulla. Leggi le condizioni iniziali che tu stesso hai posto. A causa della forza di attrito contraria al moto, il corpo (palla o disco che sia) rallenta, ma il momento della forza di attrito causa invece aumento della velocità angolare (2^ eq della dinamica) ; questo accade fin quando non si instaura il rotolamento puro:$v=omega R$ . Nel link che ho messo c’è un esercizio con una palla di bowling, e c’è una dispensa dell’ Uniroma, leggi entrambi e ti chiarisci le idee.
Se come punto di contatto intendi quello che sta sempre sulla verticale per G , esso segue le stesse vicende cinematiche di G, quindi trasla sul piano e non è un punto fisso sulla circonferenza del disco, per esempio il punto iniziale di contatto segnato con un pennarello rosso sul disco. In caso di rotolamento puro, il punto rosso descrive, nel riferimento assoluto del piano orizzontale, una cicloide, mentre ovviamente rispetto al disco descrive la circonferenza di raggio R. Quindi la relazione cinematica fondamentale tra i punti di un corpo rigido non c’entra nulla.
Spero che ora le idee siano un po’ più chiare.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443343
Inizialmente il centro G ha velocità $v_0$, supponiamo a causa di un impulso dato con un colpo di stecca centrato; la velocità angolare iniziale è nulla. Leggi le condizioni iniziali che tu stesso hai posto. A causa della forza di attrito contraria al moto, il corpo (palla o disco che sia) rallenta, ma il momento della forza di attrito causa invece aumento della velocità angolare (2^ eq della dinamica) ; questo accade fin quando non si instaura il rotolamento puro:$v=omega R$ . Nel link che ho messo c’è un esercizio con una palla di bowling, e c’è una dispensa dell’ Uniroma, leggi entrambi e ti chiarisci le idee.
Se come punto di contatto intendi quello che sta sempre sulla verticale per G , esso segue le stesse vicende cinematiche di G, quindi trasla sul piano e non è un punto fisso sulla circonferenza del disco, per esempio il punto iniziale di contatto segnato con un pennarello rosso sul disco. In caso di rotolamento puro, il punto rosso descrive, nel riferimento assoluto del piano orizzontale, una cicloide, mentre ovviamente rispetto al disco descrive la circonferenza di raggio R. Quindi la relazione cinematica fondamentale tra i punti di un corpo rigido non c’entra nulla.
Spero che ora le idee siano un po’ più chiare.
Ciao
Tu hai un moto roto traslatorio, il problema di questi moti e che intervengono le relazioni di Poisson, quindi non basta una semplice integrazione. Dovresti ricordati come ottieni la relazione fondamentale
Tu hai un moto roto traslatorio, il problema di questi moti e che intervengono le relazioni di Poisson, quindi non basta una semplice integrazione. Dovresti ricordati come ottieni la relazione fondamentale
"Shackle":
Al solito, gli studenti non usano la funzione “cerca...” ; abbiamo parlato di rotolamento con strisciamento iniziale molte volte, ad esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8443343
Quindi la relazione cinematica fondamentale tra i punti di un corpo rigido non c’entra nulla.
Spero che ora le idee siano un po’ più chiare.
Ciao Shackle!
A questo giro avevo utilizzato la funzione cerca, dato che avevo già fatto domande fatte da altri utenti.
Avevo letto il post, ed anche le dispense dell'uniroma, utilissime.
Però cercavo di capire come calcolare l'energia dissipata prima che si instaurasse rotolamento puro senza fare considerazioni energetiche (teorema forze vive).
Okay, quindi se chiamo $C$ il punto che è sempre a contatto con il pavimento (e che via via che il disco rotola e striscia diventa un punto diverso),
scrivere:
$x_c = x_g - int_(0 )^(t ) dot(phi)R $
è una bestemmia?
(ricordo che le posizioni iniziali lungo $x$ sono uguali a zero)
Quello che vuoi fare tu è :
$x=RQ+v $
che rappresenta una roto traslazione di un corpo rigido (isometrica).
La derivata è
$dot(x) =R(omega xx Q) +dot(v) $
Cioè :
$v_c=v_g+omega kxxr_(cg) =(v_(gx) -omegar sin(vartheta)) i +(v_(gy) +omegar cos(vartheta)) j $
$x=RQ+v $
che rappresenta una roto traslazione di un corpo rigido (isometrica).
La derivata è
$dot(x) =R(omega xx Q) +dot(v) $
Cioè :
$v_c=v_g+omega kxxr_(cg) =(v_(gx) -omegar sin(vartheta)) i +(v_(gy) +omegar cos(vartheta)) j $
@anonymous_58f0ac
non capisco questo :
ti invito nuovamente a leggere il messaggio riguardante la palla di bowling, ci sono tutte le relazioni cinematiche, dinamiche e energetiche:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... g#p8396657
nel calcolare l’energia dissipata fino all’istante di inizio del rotolamento puro, non ho usato il teorema delle forze vive, ho semplicemente ragionato sulle espressioni dell’energia iniziale e quella finale , ottenendo che l’energia perduta vale :
$ E_p = 1/7mv_0^2$
Non capisco il senso di questa equazione, ma non mi pare corretta. Facciamo un ragionamento in termini di composizione di velocità assoluta, relativa e di trascinamento. Definiamo assoluta la velocità di C rispetto al riferimento inerziale assunto. Il riferimento di trascinamento è ora solidale a G , centro di massa del disco, e in tale riferimento il punto C ha una certa velocità relativa $vecv_r$ :
$vecv_C = vecv_G + vecv_r$
da cui ricavi che : $vecv_r =vecv_C - vecv_G$
ma quanto vale la somma vettoriale al secondo membro? Non è forse sempre vero che $vecv_r = 0$ ?
Infatti il punto C segue le vicende cinematiche di G, non è che C rimane indietro oppure va avanti rispetto a G !
E fai attenzione, perchè $vecv_r$ non è per me, in questo contesto, la velocità relativa tra disco e piano nel punto di contatto, è (sarebbe) la velocitá relativa di C nel riferimento di trascinamento con origine in G , è chiaro?
Il confronto delle velocità va fatto semmai tra il valore iniziale di $v_G$ e il valore $omegaR$ che corrisponde al rotolamento puro. Inizialmente, e per un po’ di tempo (vedi calcolo nel link dato) risulta :
$v_G>omegaR$
Quando $v_G = omegaR$ si ha rotolamento puro. E può aversi anche (questo è un altro esercizio, pure riportato nella dispensa di uniroma ) $v_G < omegaR $, per esempio se supponi di imprimere al disco una velocità di rotazione iniziale $omega_0$ prima di metterlo sul piano , e poi lo appoggi.
non capisco questo :
Però cercavo di capire come calcolare l'energia dissipata prima che si instaurasse rotolamento puro senza fare considerazioni energetiche (teorema forze vive).
ti invito nuovamente a leggere il messaggio riguardante la palla di bowling, ci sono tutte le relazioni cinematiche, dinamiche e energetiche:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... g#p8396657
nel calcolare l’energia dissipata fino all’istante di inizio del rotolamento puro, non ho usato il teorema delle forze vive, ho semplicemente ragionato sulle espressioni dell’energia iniziale e quella finale , ottenendo che l’energia perduta vale :
$ E_p = 1/7mv_0^2$
"anonymous_58f0ac":
Okay, quindi se chiamo $ C $ il punto che è sempre a contatto con il pavimento (e che via via che il disco rotola e striscia diventa un punto diverso),
scrivere:
$ x_c = x_g - int_(0 )^(t ) dot(phi)R $
è una bestemmia?
(ricordo che le posizioni iniziali lungo $ x $ sono uguali a zero)
Non capisco il senso di questa equazione, ma non mi pare corretta. Facciamo un ragionamento in termini di composizione di velocità assoluta, relativa e di trascinamento. Definiamo assoluta la velocità di C rispetto al riferimento inerziale assunto. Il riferimento di trascinamento è ora solidale a G , centro di massa del disco, e in tale riferimento il punto C ha una certa velocità relativa $vecv_r$ :
$vecv_C = vecv_G + vecv_r$
da cui ricavi che : $vecv_r =vecv_C - vecv_G$
ma quanto vale la somma vettoriale al secondo membro? Non è forse sempre vero che $vecv_r = 0$ ?
Infatti il punto C segue le vicende cinematiche di G, non è che C rimane indietro oppure va avanti rispetto a G !
E fai attenzione, perchè $vecv_r$ non è per me, in questo contesto, la velocità relativa tra disco e piano nel punto di contatto, è (sarebbe) la velocitá relativa di C nel riferimento di trascinamento con origine in G , è chiaro?
Il confronto delle velocità va fatto semmai tra il valore iniziale di $v_G$ e il valore $omegaR$ che corrisponde al rotolamento puro. Inizialmente, e per un po’ di tempo (vedi calcolo nel link dato) risulta :
$v_G>omegaR$
Quando $v_G = omegaR$ si ha rotolamento puro. E può aversi anche (questo è un altro esercizio, pure riportato nella dispensa di uniroma ) $v_G < omegaR $, per esempio se supponi di imprimere al disco una velocità di rotazione iniziale $omega_0$ prima di metterlo sul piano , e poi lo appoggi.
Tauto, chiarisci cosa vuoi calcolare.
Se ho capito bene tu vuoi calcolare l'energia persa dal cilindro a causa dello strisciamento, tramite calcolo del lavoro della forza di attrito (integrale di forza per spostamento, per intenderci), dall'istante in cui il cilindro tocca il piano all'istante in cui raggiunge il puro rotolamento. Ho capito bene?
Se ho capito bene tu vuoi calcolare l'energia persa dal cilindro a causa dello strisciamento, tramite calcolo del lavoro della forza di attrito (integrale di forza per spostamento, per intenderci), dall'istante in cui il cilindro tocca il piano all'istante in cui raggiunge il puro rotolamento. Ho capito bene?
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