Legge oraria moto gravitazionale

[bug54]

Salve,
sto rivedendo qualcosa sulla gravitazione, e guardando il Silvestrini arrivo alla equazione oraria per il raggio e per l'anomalia, che però non sono risolte, dice solo che si risolvono per separazione di variabili e che per non "appesantire il discorso " vengono omesse. Pertanto mi sorge la curiosità di vedere tali equazioni.
Quella per il raggio è $(
dr)/dt=(a+b/r-c/r^2)^(1/2)$, con a, b e c costanti. Chiedo gentilmente se qualcuno potrebbe dirmi la soluzione di questa equazione differenziale. Ho provato naturalmente con Wolfram che mi dà la soluzione allegata che è in funzione di t(r) e non di r(t).

[moccidentale]

.

[bug54]

Grazie tanto della risposta, quindi si può procedere soltanto con la soluzione numerica? Allora è impreciso il Silvestrini commentando l'equazione nel seguente modo: "..l'equazione differenziale del primo ordine potrebbe essere risolta con relativa facilità per seprazione di variabili, ottenendo così l'equazione oraria del moto."

[ingres]

Sicuramente toglierei il "facilmente"

Però oltre a usare metodi numerici, in Astronomia si ricorre anche al concetto di anomalia media M
https://it.wikipedia.org/wiki/Anomalia_media

e anomalia eccentrica E
https://it.wikipedia.org/wiki/Anomalia_eccentrica

Usando questi concetti si arriva alla cosiddetta Equazione di Keplero

M=E-e sin(E)

Si dimostra che l'anomalia eccentrica è una funzione analitica dell'eccentricità, per valori di |e|<1, e dell'anomalia media M che può essere trovata con la formula di Lagrange per l'inversione di funzioni tramite sviluppo in serie.
Puoi trovare formula e sviluppo in questione qui:

http://www.mat.unimi.it/users/antonio/m ... ccel_1.pdf

Questa è una strada analitica particolarmente utile quando l'orbita non è eccessivamente eccentrica perchè in tal caso bastano pochi termini dello sviluppo.

[moccidentale]

.

[bug54]

Veramente due risposte che...più di così cosa si vuole! Grazie ancora.