Legge oraria ed equazione della traiettoria
Oggi ho fatto lo scritto di Fisica I: un problema chiedeva, data una forza espressa in i e j, di ricavare l'equazione della traiettoria nel piano ${XY}$.
Io ho integrato due volte e ricavato la legge oraria, tuttavia non sono stato in grado di ricavare l'equazione della traiettoria dalla legge stessa; allora vi domando: come fare? Ci ho riflettuto molto, ma non sono riuscito :S
PS. A esercitazione le uniche volte in cui abbiamo affrontato esercizi simili, si trattava di leggi orari periodiche con seni e coseni, l'esercitatore dava dei valori a t, trovava i punti sul grafico e poi ricavava l'equazione in un modo un po' intuitivo dal disegno che ne usciva, e questo non mi sembra tanto il modo corretto di procedere, correggetemi se sbaglio.
Saluti!
Io ho integrato due volte e ricavato la legge oraria, tuttavia non sono stato in grado di ricavare l'equazione della traiettoria dalla legge stessa; allora vi domando: come fare? Ci ho riflettuto molto, ma non sono riuscito :S
PS. A esercitazione le uniche volte in cui abbiamo affrontato esercizi simili, si trattava di leggi orari periodiche con seni e coseni, l'esercitatore dava dei valori a t, trovava i punti sul grafico e poi ricavava l'equazione in un modo un po' intuitivo dal disegno che ne usciva, e questo non mi sembra tanto il modo corretto di procedere, correggetemi se sbaglio.
Saluti!
Risposte
Ciao. Per curiosità, l'espressione della forza te la ricordi?
"Palliit":
Ciao. Per curiosità, l'espressione della forza te la ricordi?
Doveva essere $F = 3 bar (i) + 2 t bar (j) $, però non sono sicuro. Integrando due volte viene:
$ r = 3t^2/(2m) bar (i) + t^4/(6m) bar (j) $
Potrei sbagliarmi, ma se [tex]\vec{F}=(3,2t)[/tex]__allora posto: [tex]\vec{r}=(x,y)[/tex]__hai:
[tex]\left\{\begin{matrix}
\ddot{x}=\frac{3}{m}\\
\\
\ddot{y}=\frac{2t}{m}
\end{matrix}\right.[/tex] da cui integrando:[tex]\left\{\begin{matrix}
\dot{x}=\frac{3}{m}t+a_1\\
\\
\dot{y}=\frac{t^2}{m}+b_1
\end{matrix}\right.[/tex]__$rightarrow$__[tex]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{3}{2m}t^2+a_1t+a_2\\
\\
y=\frac{t^3}{3m}+b_1t+b_2
\end{matrix}\right.[/tex].
Dovrebbe essere una cubica, ma ripeto, potrei sbagliarmi, e in ogni caso a meno di valori particolari delle costanti di integrazione non so se sia elementare scriverne l'equazione in forma cartesiana.
[tex]\left\{\begin{matrix}
\ddot{x}=\frac{3}{m}\\
\\
\ddot{y}=\frac{2t}{m}
\end{matrix}\right.[/tex] da cui integrando:[tex]\left\{\begin{matrix}
\dot{x}=\frac{3}{m}t+a_1\\
\\
\dot{y}=\frac{t^2}{m}+b_1
\end{matrix}\right.[/tex]__$rightarrow$__[tex]\left\{\begin{matrix}
x=\frac{3}{2m}t^2+a_1t+a_2\\
\\
y=\frac{t^3}{3m}+b_1t+b_2
\end{matrix}\right.[/tex].
Dovrebbe essere una cubica, ma ripeto, potrei sbagliarmi, e in ogni caso a meno di valori particolari delle costanti di integrazione non so se sia elementare scriverne l'equazione in forma cartesiana.
"Ryukushi":
Doveva essere $F = 3 bar (i) + 2 t bar (j) $, però non sono sicuro. Integrando due volte viene:
$ r = 3t^2/(2m) bar (i) + t^4/(6m) bar (j) $
Se fosse $vecr=(3t^2)/(2m) vec (i) + t^4/(6m) vec (j) $, allora avresti
${(x=(3t^2)/(2m)), (y= t^4/(6m)):}-> {(t^2=2/3mx),(y=1/(6m)*(2/3mx)^2):}$.
e la traiettoria sarebbe
$y=2/27mx^2$
cioè una parabola con vertice nell'origine.
Però da
$vec F = 3 vec (i) + 2 t vec (j) $
non si ottiene l'espressione che dai tu.
"chiaraotta":
[quote="Ryukushi"]
Doveva essere $F = 3 bar (i) + 2 t bar (j) $, però non sono sicuro. Integrando due volte viene:
$ r = 3t^2/(2m) bar (i) + t^4/(6m) bar (j) $
Se fosse $vecr=(3t^2)/(2m) vec (i) + t^4/(6m) vec (j) $, allora avresti
${(x=(3t^2)/(2m)), (y= t^4/(6m)):}-> {(t^2=2/3mx),(y=1/(6m)*(2/3mx)^2):}$.
e la traiettoria sarebbe
$y=2/27mx^2$
cioè una parabola con vertice nell'origine.
Però da
$vec F = 3 vec (i) + 2 t vec (j) $
non si ottiene l'espressione che dai tu.[/quote]
Non mi ricordo più com'era la forza. Comunque grazie mille!
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