Legge oraria carica non puntiforme in campo elettrico generato da una carica puntiforme
Buonasera a tutti, sono uno studente del quarto anno di liceo scientifico, ultimamente stavo studiando il campo elettrico e mi sono chiesto cosa succede ad una carica $ q_2 $ di massa $ m_2 $ se viene posta in un campo elettrico generato da una carica puntiforme $ Q_1 $ , e più precisamente come si muova in funzione del tempo.
Ora, ho elaborato la mia ipotesi e andrò ad esporla, sperando davvero che mi aiutiate e mi correggiate, poiché sulla rete non ho trovato nulla di simile, in più dimensionalmente il mio risultato torna, quindi spero di non aver sbagliato!
Siccome la carica $Q_1$ genera linee di campo radiali, una carica $q_2$ dovrà muoversi in maniera rettilinea lungo la congiungente delle due cariche, nel discorso che segue non terrò conto dei segni delle cariche, ovviamente nel caso siano dello stesso segno $q_2$ si allontanerà da $Q_1$ , mentre si avvicinerà nel caso siano opposte.
Per spostamento intenderò sempre quello lungo la retta a cui appartiene il segmento congiungente delle cariche $Q_1$ e $q_2$.
Adesso, la carica $q_2$ con massa $m_2$ posta in un punto dello spazio distante $x_0$ dalla carica $Q_1$ subirà una specifica forza di Coulomb, che la accelererà, a quel punto la carica si sarà spostata (avvicinata o allontanata da $Q_1$ sempre lungo la congiungente delle due cariche), quindi sarà sottoposta a una forza di Coulomb diversa, che la accelererà in maniera diversa da prima, quindi si sposterà ancora, e così via.
Ciò che voglio trovare è un'espressione che mi dica di quanto si è spostata la carica $q_2$ in funzione del tempo $t$.
Chiamerò questa funzione incognita $x(t)$.
Partiamo, $q_2$, posta nel campo elettrico di $Q_1$ nel tempo $t$ a distanza $x(t)$ subirà una forza di Coulomb
$vec(F)= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 (x(t))^2] hat{u}_12 $
siccome $vec(F)=m_2 vec(a)$ posso trovare più in generale
$m_2 vec(a) (t)= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 (x(t))^2]$
$ vec(a) (t)= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 m_2 (x(t))^2]$
adesso, l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo, indicherò questo fatto scrivendo
$ vec(a) (t)= ddot{x}$ e ovviamente $ x(t)=x$
in più, per alleggerire i calcoli, pongo tutto ciò che è costante come $eta= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 m_2] $
L'equazione di prima quindi mi diventa un'equazione differenziale non lineare del secondo ordine
$ddot{x}= eta / x^2$
Il problema è quindi diventato di natura puramente matematica, risolviamo l'equazione differenziale.
Moltiplichiamo ambo i membri per $2 dot{x}$.
$2 dot{x} ddot{x}= 2 eta dot{x} / x^2$
Il primo membro è diventato una derivata, perchè $ 2 dot{x} ddot{x}= d/dt (dot{x})^2 $ , abbiamo quindi:
$d/dt (dot{x})^2= 2 eta dot{x} / x^2$
$ (dot{x})^2 = 2 eta int dot{x} / x^2 \ dt $
adesso, siccome $ dot{x}= dx/dt$ abbiamo che $ dot{x} dt = dx/dt dt =dx $ quindi l'equazione diventa:
$ (dot{x})^2 = 2 eta int 1 / x^2 \ dx $
$ (dot{x})^2 = - 2 eta 1/x $
$ dot{x} = x^(-1/2) sqrt(- 2 eta) $
Che bello, l'equazione tanto infame è diventata una semplice a variabili separabili.
$ dot{x} sqrt (x) = sqrt(- 2 eta) $
$ sqrt (x) dx/dt = sqrt(- 2 eta) $
$ int sqrt (x) \ dx= int sqrt(- 2 eta) \ dt $
$ 2/3 sqrt(x^3) = t sqrt(- 2 eta) + c $
$ x(t) = root(3)((3/2 t sqrt(- 2 eta)+c )^2 $
al tempo $ t=0 $ lo spostamento dev'essere nullo, e quindi semplicemente possiamo affermare che $ c=0$
$ x(t) = root(3)((3/2 t sqrt(- 2 eta))^2 $
$ x(t) = root(3)(9/4 t^2 (- 2 eta) $
$ x(t) = - root(3)(9/2 t^2 eta) $
$ x(t) = - root(3){9/2 t^2 (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 m_2]} $
ora, facendo un controllo dimensionale m=metri C=coulomb s=secondi N=newton kg=chili
$ m= root(3){ s^2 C^2 /(kg)} $
siccome $N=m/s^2 kg $ quindi $ N/m=(kg)/s^2$ ovvero $ s^2/(kg)=m/N $
e dalla legge di coulomb $ N= C^2/m^2 $ ovvero $ C^2=N m^2 $
$ m= root(3){ s^2/(kg) C^2 } = root(3){ (m/N) (N m^2) } = m $
notiamo che dimensionalmente la formula torna.
in definitiva, posta una carica $q_2$ di massa $m_2$ in un campo elettrico generato da una carica puntiforme $Q_1$, partendo dalla distanza $x_0$ dalla carica $Q_1$ lo spazio percorso dalla carica $q_2$ lungo la retta contenente il segmento congiungente delle due cariche in funzione del tempo sarà dato dalla relazione:
$ x(t) = x_0 -1/2 root(3){9 t^2 (Q_1 q_2) /[pi varepsilon_0 m_2]} $
Ad occhio e croce, direi che la formula vale solo per masse infinitesime o comunque piccole, però non saprei con certezza, poi, la forza di Coulomb agisce su due cariche puntiformi, quindi, sebbene il ragionamento che ho fatto sembra avere un senso, vorrei un consiglio da gente più esperta di me che mi faccia ben capire ciò che non avrei potuto fare.
Spero che possiate aiutarmi a capire se questa legge sia inutile, sbagliata, e tutto ciò che vogliate dirmi.
Vi ringrazio per il tempo dedicatomi e vi saluto!
Ora, ho elaborato la mia ipotesi e andrò ad esporla, sperando davvero che mi aiutiate e mi correggiate, poiché sulla rete non ho trovato nulla di simile, in più dimensionalmente il mio risultato torna, quindi spero di non aver sbagliato!
Siccome la carica $Q_1$ genera linee di campo radiali, una carica $q_2$ dovrà muoversi in maniera rettilinea lungo la congiungente delle due cariche, nel discorso che segue non terrò conto dei segni delle cariche, ovviamente nel caso siano dello stesso segno $q_2$ si allontanerà da $Q_1$ , mentre si avvicinerà nel caso siano opposte.
Per spostamento intenderò sempre quello lungo la retta a cui appartiene il segmento congiungente delle cariche $Q_1$ e $q_2$.
Adesso, la carica $q_2$ con massa $m_2$ posta in un punto dello spazio distante $x_0$ dalla carica $Q_1$ subirà una specifica forza di Coulomb, che la accelererà, a quel punto la carica si sarà spostata (avvicinata o allontanata da $Q_1$ sempre lungo la congiungente delle due cariche), quindi sarà sottoposta a una forza di Coulomb diversa, che la accelererà in maniera diversa da prima, quindi si sposterà ancora, e così via.
Ciò che voglio trovare è un'espressione che mi dica di quanto si è spostata la carica $q_2$ in funzione del tempo $t$.
Chiamerò questa funzione incognita $x(t)$.
Partiamo, $q_2$, posta nel campo elettrico di $Q_1$ nel tempo $t$ a distanza $x(t)$ subirà una forza di Coulomb
$vec(F)= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 (x(t))^2] hat{u}_12 $
siccome $vec(F)=m_2 vec(a)$ posso trovare più in generale
$m_2 vec(a) (t)= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 (x(t))^2]$
$ vec(a) (t)= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 m_2 (x(t))^2]$
adesso, l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo, indicherò questo fatto scrivendo
$ vec(a) (t)= ddot{x}$ e ovviamente $ x(t)=x$
in più, per alleggerire i calcoli, pongo tutto ciò che è costante come $eta= (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 m_2] $
L'equazione di prima quindi mi diventa un'equazione differenziale non lineare del secondo ordine
$ddot{x}= eta / x^2$
Il problema è quindi diventato di natura puramente matematica, risolviamo l'equazione differenziale.
Moltiplichiamo ambo i membri per $2 dot{x}$.
$2 dot{x} ddot{x}= 2 eta dot{x} / x^2$
Il primo membro è diventato una derivata, perchè $ 2 dot{x} ddot{x}= d/dt (dot{x})^2 $ , abbiamo quindi:
$d/dt (dot{x})^2= 2 eta dot{x} / x^2$
$ (dot{x})^2 = 2 eta int dot{x} / x^2 \ dt $
adesso, siccome $ dot{x}= dx/dt$ abbiamo che $ dot{x} dt = dx/dt dt =dx $ quindi l'equazione diventa:
$ (dot{x})^2 = 2 eta int 1 / x^2 \ dx $
$ (dot{x})^2 = - 2 eta 1/x $
$ dot{x} = x^(-1/2) sqrt(- 2 eta) $
Che bello, l'equazione tanto infame è diventata una semplice a variabili separabili.
$ dot{x} sqrt (x) = sqrt(- 2 eta) $
$ sqrt (x) dx/dt = sqrt(- 2 eta) $
$ int sqrt (x) \ dx= int sqrt(- 2 eta) \ dt $
$ 2/3 sqrt(x^3) = t sqrt(- 2 eta) + c $
$ x(t) = root(3)((3/2 t sqrt(- 2 eta)+c )^2 $
al tempo $ t=0 $ lo spostamento dev'essere nullo, e quindi semplicemente possiamo affermare che $ c=0$
$ x(t) = root(3)((3/2 t sqrt(- 2 eta))^2 $
$ x(t) = root(3)(9/4 t^2 (- 2 eta) $
$ x(t) = - root(3)(9/2 t^2 eta) $
$ x(t) = - root(3){9/2 t^2 (Q_1 q_2) /[4 pi varepsilon_0 m_2]} $
ora, facendo un controllo dimensionale m=metri C=coulomb s=secondi N=newton kg=chili
$ m= root(3){ s^2 C^2 /(kg)} $
siccome $N=m/s^2 kg $ quindi $ N/m=(kg)/s^2$ ovvero $ s^2/(kg)=m/N $
e dalla legge di coulomb $ N= C^2/m^2 $ ovvero $ C^2=N m^2 $
$ m= root(3){ s^2/(kg) C^2 } = root(3){ (m/N) (N m^2) } = m $
notiamo che dimensionalmente la formula torna.
in definitiva, posta una carica $q_2$ di massa $m_2$ in un campo elettrico generato da una carica puntiforme $Q_1$, partendo dalla distanza $x_0$ dalla carica $Q_1$ lo spazio percorso dalla carica $q_2$ lungo la retta contenente il segmento congiungente delle due cariche in funzione del tempo sarà dato dalla relazione:
$ x(t) = x_0 -1/2 root(3){9 t^2 (Q_1 q_2) /[pi varepsilon_0 m_2]} $
Ad occhio e croce, direi che la formula vale solo per masse infinitesime o comunque piccole, però non saprei con certezza, poi, la forza di Coulomb agisce su due cariche puntiformi, quindi, sebbene il ragionamento che ho fatto sembra avere un senso, vorrei un consiglio da gente più esperta di me che mi faccia ben capire ciò che non avrei potuto fare.
Spero che possiate aiutarmi a capire se questa legge sia inutile, sbagliata, e tutto ciò che vogliate dirmi.
Vi ringrazio per il tempo dedicatomi e vi saluto!
Risposte
Nei tuoi calcoli hai fatto in sostanza un solo errore e cioè non hai tenuto conto degli estremi di integrazione. Se inizialmente le due cariche distano $d$ e $q_2$ è ferma, e prendiamo un asse $x$ nella cui origine si trova $Q_1$, abbiamo le condizioni iniziali $x(t_0)=d$ e $\dot x(t_0)=0$. Ripetendo i calcoli che hai fatto tenendo conto degli estremi, trovi:
\(\displaystyle \int_{d}^{x(t)}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2\eta}{x}-\frac{2\eta}{d}}} =t-t_0\)
Che qualcosa non vada nei tuoi calcoli si vede anche dal fatto che hai la quantità $-\eta$ (che è negativa!) sotto radice...il che non ha senso. Il fatto che tu abbia trascurato troppo disinvoltamente gli estremi di integrazione ha avuto come conseguenza che la funzione che hai dovuto integrare nell'ultimo passaggio fosse una banale potenza, mentre tenendo conto del termine $\frac{2\eta}{d}$ che ti compare sotto radice (e ti rompe le uova nel paniere...
) quell'integrale diventa tutt'altro che banale. E tieni presente che quel termine non sparisce mai...qualunque condizione iniziale tu prenda (a meno che non si consideri una distanza iniziale infinita ma poi vengono tempi infiniti ed il problema perde di senso).
Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale qui sopra, esso può essere ricondotto con un semplice passaggio al calcolo del seguente integrale (copiaincollato da wolphram alpha) che come vedi non è proprio semplicissimo:
$\int dx/sqrt(a/x-1)= x (-sqrt(a/x-1))-1/2 a tan^(-1)((sqrt(a/x-1) (a-2 x))/(2 (a-x)))+c$
Il problema è che per scrivere la forma analitica della legge oraria $x(t)$ dovresti invertire quel mostro di funzione, il che non credo sia possibile. Tuttavia, quello che abbiamo ottenuto è l'inverso della legge oraria ossia la funzione $t(x)$ che ti permetterebbe di conoscere, data una certa posizione, l'istante di tempo in cui $q_2$ viene a trovarcisi. Diciamo che la legge oraria $x(t)$ potrebbe essere ricostruita numericamente.
PS: Scusa la domanda ma in quarta liceo vi fanno fare le equazioni differenziali?!
\(\displaystyle \int_{d}^{x(t)}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2\eta}{x}-\frac{2\eta}{d}}} =t-t_0\)
Che qualcosa non vada nei tuoi calcoli si vede anche dal fatto che hai la quantità $-\eta$ (che è negativa!) sotto radice...il che non ha senso. Il fatto che tu abbia trascurato troppo disinvoltamente gli estremi di integrazione ha avuto come conseguenza che la funzione che hai dovuto integrare nell'ultimo passaggio fosse una banale potenza, mentre tenendo conto del termine $\frac{2\eta}{d}$ che ti compare sotto radice (e ti rompe le uova nel paniere...
) quell'integrale diventa tutt'altro che banale. E tieni presente che quel termine non sparisce mai...qualunque condizione iniziale tu prenda (a meno che non si consideri una distanza iniziale infinita ma poi vengono tempi infiniti ed il problema perde di senso). Per quanto riguarda il calcolo dell'integrale qui sopra, esso può essere ricondotto con un semplice passaggio al calcolo del seguente integrale (copiaincollato da wolphram alpha) che come vedi non è proprio semplicissimo:
$\int dx/sqrt(a/x-1)= x (-sqrt(a/x-1))-1/2 a tan^(-1)((sqrt(a/x-1) (a-2 x))/(2 (a-x)))+c$
Il problema è che per scrivere la forma analitica della legge oraria $x(t)$ dovresti invertire quel mostro di funzione, il che non credo sia possibile. Tuttavia, quello che abbiamo ottenuto è l'inverso della legge oraria ossia la funzione $t(x)$ che ti permetterebbe di conoscere, data una certa posizione, l'istante di tempo in cui $q_2$ viene a trovarcisi. Diciamo che la legge oraria $x(t)$ potrebbe essere ricostruita numericamente.
PS: Scusa la domanda ma in quarta liceo vi fanno fare le equazioni differenziali?!
Grazie mille della risposta, quindi la legge non ha alcun senso... Ma concettualmente ho errato parlando di una forza di coulomb (che agisce su cariche puntiformi che "non possono essere accelerate?!") su una carica non puntiforme?
Sarebbe una cosa interessante e utile su cui lavorare?
Comunque no, sono autodidatta
Grazie mille
Sarebbe una cosa interessante e utile su cui lavorare?
Comunque no, sono autodidatta
Grazie mille
"Terrubik":
Ma concettualmente ho errato parlando di una forza di coulomb (che agisce su cariche puntiformi che "non possono essere accelerate?!") su una carica non puntiforme?
la legge di coulomb la puoi applicare anche a cariche non puntiformi e non a simmetria sferica nel limite in cui le loro dimensioni sono trascurabili rispetto a tutte le altre lunghezze in gioco. Naturalmente nel problema che hai proposto devi assumere che la carica $Q_1$ sia "inchiodata" nel tuo riferimento e quindi non si muova, altrimenti cambia tutto.
grazie mille per i chiarimenti!
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