Legge oraria

[Alexp1]

Se un corpo in movimento voglio che percorra una traiettoria parabolica data dalle equazioni cartesiane $y=x^2$, ma con una legge oraria $(x(t),y(t),z(t))$ tale che il corpo abbia velocità costante a modulo unitario, posso "operare" nel seguente modo:
(x')^2*(4*x^2 + 1) = 1
(dx/dt)^2 = 1/(4*x^2 + 1)
dx/dt = 1/sqrt(4*x^2 + 1)
sqrt(4*x^2 + 1)dx = dt .
Così la x e la t sono separate, ma ottengo (integrando) $t(x)$ dunque per ottenere $x(t)$ devo trovare la funzione inversa......La mia domanda è: esiste un'altro metodo con il quale si possa trovare direttamente $x(t)$?, perchè nel metodo descritto da me se capitasse una funzione in cui non si riesce ad "estrapolare" l'inversa, non si riesce a ricostruire la legge oraria.

Grazie
Alexp

[Luca.Lussardi]

Perche' ottieni sempre $t(x)$? Se la parabola $y=x^2$ e' parametrizzata da $(x(t),y(t)$ e imponiamo che si abbia velocita' costante in modulo, pari a $1$, allora deve essere:
1) $y(t)=x^2(t)$;
2) $(x'(t))^2+(y'(t))^2=1$.
Sostituendo la 1) nella 2) si ha la ode $(x'(t))^2(1+4x^2(t))=1$ che e' a variabili separabili e ti da' $x(t)$.

[Alexp1]

Non riesco a capire, separando le variabili, dovrei ottenere: $sqrt(4*x^2 + 1)dx = dt$, ma integrando trovo $t=f(x)$ e dunque non trovo $x=f(t)$.......

[Luca.Lussardi]

Si', quello si', trovi la funzione implicitamente data. Questo prezzo si paga sempre se uno risolve una ode per separazione delle variabili; ma niente paura, c'e' sempre il nostro amico Dini che sistema tutto.

[Alexp1]

Si....è vero c'è Dini!!!
Ma però se non riesco a trovare l'inversa non posso esprimere la legge oraria come $x(t),y(t)$, giusto? con Dini posso solo trovare il valore della derivata in un punto, giusto?

[Luca.Lussardi]

No, il Teorema di Dini afferma che esiste la funzione esplicita, che poi tu la possa trovare "esplicitamente" e' un altro problema, ovviamente questo si' spesso non risolubile.

[Alexp1]

Thanks Luca.
Alexp