Legge limite di Betz (turbine eoliche)

[StellaMartensitica]

Non capisco un passaggio fondamentale della dimostrazione del fatto che il "rendimento" massimo della turbina è il 60%:
Capisco come viene calcolata $P$, la potenza assorbita, con:
$P=1/2 *dot m*(V_0^2-V_U^2)=1/2* \rho* A*V*(V_0^2-V_U^2)=1/2* \rho* A*((V_0+V_U)/2)*(V_0^2-V_U^2)$
Dove:
$\rho$ è la densità che si suppone costante.
$dot m$ è la portata massica del fluido (aria).
$V_0$ è la velocità del flusso indisturbato a monte della turbina
$V_U$ è la velocità del flusso a valle della turbina ($V_U $A$ è l'area del disco battuto.
$V$ è la velocità dell'aria in prossimità della turbina, che è la media aritmetica delle velocità $V_0$ e $V_U$.
Ma non capisco perché la potenza disponibile debba essere calcolata come:
$E_0=1/2* dot m* V_0^2=1/2* (\rho * A* V_0) *V_0^2=1/2 * \rho* A* V_0^3$
E non come:
$E_0=1/2* dot m* V_0^2=1/2* (\rho * A_0* V_0) *V_0^2=1/2 * \rho* A_0* V_0^3$
Cioè perché si utilizza, per calcolare la portata del flusso indisturbato, l'area del disco battuto ma la velocità del flusso indisturbato, che avrebbe un'altra sezione $A$ (e non $A_0$) corrispondente?
Poi da quel punto in poi capisco tutti gli altri passaggi:
$a=V_U/V_0$
$\eta(a)=P/E_0=(1/2* \rho* A*((V_0+V_U)/2)*(V_0^2-V_U^2))/(1/2 * \rho* A* V_0^3)=$
$\eta(a)=1/2 *((V_0+V_U)*(V_0^2-V_U^2))/(V_0^3)=1/2*(1+V_U/V_0)*(1-(V_U/V_0)^2)=1/2*(1+a)*(1-a^2)$
Da lì si calcola la derivata prima e si individua il massimo in a=1/3 da cui segue che il rendimento massimo è: $16/27$, cioè circa il $60%$.