Legge di Gauss, simmetria piana
Salve avrei bisogno di aiuto per la risoluzione di questo esercizio:
Una lastra piana di materiale isolante e di spessore 2D, con piano mediano coincidente con il piano coordinato x = 0 e infinita lungo le direzioni y e z, ha una densità di carica totale di volume ρ = kr^2, con k > 0. Essa è racchiusa tra due lastre simmetriche di spessore d, anch’esse infinite lungo y e z, di materiale isolante L.I.O., aventi densità di carica libera nulla e costante dielettrica relativa εr. Determinare :
a) l’andamento del campo elettrico in modulo, direzione e verso in tutto lo spazio
b) il modulo E(P) del campo elettrico in un punto P di ascissa x = D + d/2
c) la differenza di potenziale tra il piano mediano della lastra e un punto A di ascissa x = D + 3d
d) le densità di carica di polarizzazione di volume e di superficie sulle due lastre di spessore d
Valori numerici:
D = 10.0 cm; d = 12 cm; k = 4.42 x 10^(-9) C/(m^-5); εr = 1.8
Allego anche il disegno per chiarezza
Una lastra piana di materiale isolante e di spessore 2D, con piano mediano coincidente con il piano coordinato x = 0 e infinita lungo le direzioni y e z, ha una densità di carica totale di volume ρ = kr^2, con k > 0. Essa è racchiusa tra due lastre simmetriche di spessore d, anch’esse infinite lungo y e z, di materiale isolante L.I.O., aventi densità di carica libera nulla e costante dielettrica relativa εr. Determinare :
a) l’andamento del campo elettrico in modulo, direzione e verso in tutto lo spazio
b) il modulo E(P) del campo elettrico in un punto P di ascissa x = D + d/2
c) la differenza di potenziale tra il piano mediano della lastra e un punto A di ascissa x = D + 3d
d) le densità di carica di polarizzazione di volume e di superficie sulle due lastre di spessore d
Valori numerici:
D = 10.0 cm; d = 12 cm; k = 4.42 x 10^(-9) C/(m^-5); εr = 1.8
Allego anche il disegno per chiarezza
Risposte
Cosa hai già fatto come tentativo di risoluzione?
"alemezz":
ha una densità di carica totale di volume ρ = kr^2,
...
materiale isolante L.I.O.,
Cos'è $r$?
Che vuol dire L.I.O.?
Ciao mgrau 
Credo che L.I.O stia per Lineare, Isotropo, Omogeneo (info tutto sommato ridondanti visto che $epsilon_r$ è costante, scalare e indipendente da x) e che la r sia la distanza in orizzontale dal piano di simmetria centrale e quindi in realtà corrisponda alla x (o più correttamente al suo modulo) avendo posto gli assi come in figura (anche perchè è un problema a simmetria piana), ma vediamo cosa risponde alemezz.
Credo che L.I.O stia per Lineare, Isotropo, Omogeneo (info tutto sommato ridondanti visto che $epsilon_r$ è costante, scalare e indipendente da x) e che la r sia la distanza in orizzontale dal piano di simmetria centrale e quindi in realtà corrisponda alla x (o più correttamente al suo modulo) avendo posto gli assi come in figura (anche perchè è un problema a simmetria piana), ma vediamo cosa risponde alemezz.
Ciao! Dopo un po' di tempo sono tornato su questo esercizio e sono riuscito a risolverlo, vi spiego brevemente come ho fatto in caso servisse a qualcuno in futuro.
Come diceva ingres la "r" è la distanza in orizzontale dal piano di simmetria centrale e quindi corrisponde alla x.
Per il punto $a$:
E' un problema a simmetria piana, inoltre si ha inversione rispetto al piano coordinato posto in $x=0$ quindi $\vec E =E(x)\hat x$ ed è anche dispari $E(-x)=-E(x)$, stessa cosa vale per $\vec D$.
Si applica teorema di Gauss sfruttando simmetria piana, scegliendo una superficie $S$ avente la forma di un cilindro retto con asse parallelo ad $x$ e superfici di base poste in $-x$ e $x$.
$\int_S \vec D * \hat n dS=Q_l$ con $Q_l$ carica totale libera in $S$.
$Q_l=\int_V \rho_l dV$ e quindi $E(x)=(D(x)) / \epsilon$
Il campo $E$ sarà ovviamente definito a tratti, distinguendo le regioni tra $0D+d$ (le soluzioni le ho calcolate per $x>0$, per $x<0$ le soluzioni sono le stesse ma con segno negativo.
Per il punto $b$ basta semplicemente sostituire la distanza del punto P nel modulo del campo elettrico in quel punto $x_P=D+d/2$, che si trova nella lastra di materiale L.I.O in $x>0$.
Il punto $c$ si risolve tramite l'integrale dato da $V(0) - V(A)=-\int_A^0 \vec E * d\vec l = \int_0^D E(x)dx + \int_D^(D+d) E(x)dx + \int_(D+d)^(D+3d) E(x)dx$ con $x_A=D+3d$
Come diceva ingres la "r" è la distanza in orizzontale dal piano di simmetria centrale e quindi corrisponde alla x.
Per il punto $a$:
E' un problema a simmetria piana, inoltre si ha inversione rispetto al piano coordinato posto in $x=0$ quindi $\vec E =E(x)\hat x$ ed è anche dispari $E(-x)=-E(x)$, stessa cosa vale per $\vec D$.
Si applica teorema di Gauss sfruttando simmetria piana, scegliendo una superficie $S$ avente la forma di un cilindro retto con asse parallelo ad $x$ e superfici di base poste in $-x$ e $x$.
$\int_S \vec D * \hat n dS=Q_l$ con $Q_l$ carica totale libera in $S$.
$Q_l=\int_V \rho_l dV$ e quindi $E(x)=(D(x)) / \epsilon$
Il campo $E$ sarà ovviamente definito a tratti, distinguendo le regioni tra $0
Per il punto $b$ basta semplicemente sostituire la distanza del punto P nel modulo del campo elettrico in quel punto $x_P=D+d/2$, che si trova nella lastra di materiale L.I.O in $x>0$.
Il punto $c$ si risolve tramite l'integrale dato da $V(0) - V(A)=-\int_A^0 \vec E * d\vec l = \int_0^D E(x)dx + \int_D^(D+d) E(x)dx + \int_(D+d)^(D+3d) E(x)dx$ con $x_A=D+3d$
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