Legge di Gauss ed equilibrio di una carica: perché impossibile?
Ciao a tutti 
A lezione del corso di Fisica 2 mi è stato spiegato l'impossibilità sperimentale e teorica di poter ottenere una determinata configurazione di cariche (nell'esempio positive) che permette ad una data e posizionata carica (nell'esempio $q$>0) di stare in equilibrio statico (ossia questa rimarrebbe ferma e, nel caso fosse spinta, tenderebbe a tornare nella posizione iniziale).
Immaginando una superficie gaussiana sferica che circonda $q$, avrei nelle ipotesi che vorrei dimostrare un flusso entrante negativo. Cioè per Gauss significherebbe che all'interno della sfera ci sarebbe una carica negativa, quando in realtà è positiva. Da qui viene dimostrata l'impossibilità.
Non capisco il senso di queste affermazioni. Probabilmente ho colto male qualche aspetto, qualcuno riuscirebbe a darmi qualche spunto che mi permetta di cogliere il significato o di capire cosa ho frainteso? Grazie
A lezione del corso di Fisica 2 mi è stato spiegato l'impossibilità sperimentale e teorica di poter ottenere una determinata configurazione di cariche (nell'esempio positive) che permette ad una data e posizionata carica (nell'esempio $q$>0) di stare in equilibrio statico (ossia questa rimarrebbe ferma e, nel caso fosse spinta, tenderebbe a tornare nella posizione iniziale).
Immaginando una superficie gaussiana sferica che circonda $q$, avrei nelle ipotesi che vorrei dimostrare un flusso entrante negativo. Cioè per Gauss significherebbe che all'interno della sfera ci sarebbe una carica negativa, quando in realtà è positiva. Da qui viene dimostrata l'impossibilità.
Non capisco il senso di queste affermazioni. Probabilmente ho colto male qualche aspetto, qualcuno riuscirebbe a darmi qualche spunto che mi permetta di cogliere il significato o di capire cosa ho frainteso? Grazie
Risposte
Supposto di togliere per un momento q dal punto P, per avere un equilibrio stabile le forze e quindi il campo dovuto al "mondo" esterno intorno a quel punto P dovrebbe essere convergente in P lungo ogni direzione, ma come ben sappiamo, per Gauss, ciò non è possibile in quanto il flusso del campo attraverso una sfera con centro in P dovrà risultare, nullo non essendoci carica interna alla sfera; ne segue l'assurdità dell'ipotesi.
Localmente parlando, Gauss implica divergenza nulla in ogni punto dello spazio vuoto, ovvero non possono essere presenti nello spazio vuoto "pozzi" o "sorgenti" di campo o equivalentemente non possono esistere minimi o massimi locali per il potenziale di un campo elettrostatico.
Detto in breve, "Teorema di Earnshaw", valido anche per il campo magnetostatico.
Localmente parlando, Gauss implica divergenza nulla in ogni punto dello spazio vuoto, ovvero non possono essere presenti nello spazio vuoto "pozzi" o "sorgenti" di campo o equivalentemente non possono esistere minimi o massimi locali per il potenziale di un campo elettrostatico.
Detto in breve, "Teorema di Earnshaw", valido anche per il campo magnetostatico.
Non sono d'accordo con la versione di Renzo DF. Lasciamo le cariche dove stanno.
immaginiamo tante cariche puntiformi sparse qua e là. focalizziamocinsu una di queste.
caso 1 la carica è positiva. immaginiamo una superficie sferica centrata nella carica e di raggio infinitesimo. per il teorema di gas il flusso del campo elettrico attraverso la superficie è positivo perché contiene una carica positiva. Ipotizziamo per assurdo ora che la posizione sia stabile, cioè che comunque si perturbi la posizione della carica questa incontri un campo di forze che tendano a riportarla nella posizione imperturbata, in altri termini che esista un campo elettrico convergente nella carica. Ma calcolando il flusso di questo campo attraverso la stessa superficie di prima si avrebbe un valore negativo (perché il campo è sempre opposto alla normale uscente della superficie. Da qui l'assurdo, quindi la posizione di nessuna carica positiva è stabile.
caso 2 carica negativa
Basta ripetere il ragionamento sopra cambiando opportunamente segni e versi del campo, anche la posizione delle cariche negative non può essere stabile.
CVD
immaginiamo tante cariche puntiformi sparse qua e là. focalizziamocinsu una di queste.
caso 1 la carica è positiva. immaginiamo una superficie sferica centrata nella carica e di raggio infinitesimo. per il teorema di gas il flusso del campo elettrico attraverso la superficie è positivo perché contiene una carica positiva. Ipotizziamo per assurdo ora che la posizione sia stabile, cioè che comunque si perturbi la posizione della carica questa incontri un campo di forze che tendano a riportarla nella posizione imperturbata, in altri termini che esista un campo elettrico convergente nella carica. Ma calcolando il flusso di questo campo attraverso la stessa superficie di prima si avrebbe un valore negativo (perché il campo è sempre opposto alla normale uscente della superficie. Da qui l'assurdo, quindi la posizione di nessuna carica positiva è stabile.
caso 2 carica negativa
Basta ripetere il ragionamento sopra cambiando opportunamente segni e versi del campo, anche la posizione delle cariche negative non può essere stabile.
CVD
Esiste un teorema chiamato "Teorema dell'impossibilità" il quale afferma che E' impossibile creare una distribuzione di cariche tale da posizionare una carica in equilibrio statico. Puoi dimostrarlo dicendo che se una funzione soddisfa l'equazione di Laplace $\nabla ^2 \phi =0 $ essa , essendo una funzione armonica, non è dotata nè di massimi nè di minimi relativi e ciò dimostra il teorema.
Edit : ciò che ho detto si riconduce al teorema citato da RenzoDF
Edit : ciò che ho detto si riconduce al teorema citato da RenzoDF
Giusto per i più curiosi, alcuni dettagli al Teorema di Earnshaw e alla sua estensione, per esempio
http://www.mit.edu/~kardar/research/seminars/Casimir2010/talks/Dresden/Earnshaw.html
dove è disponibile anche il riferimento storico
http://www.mit.edu/~kardar/research/seminars/Casimir2010/pdf/EarnshawPaper.pdf
... teorema che non era evidentemente conosciuto ai tempi di Timocrate, al quale Tolomeo aveva dato il compito di far levitare la statua di Arsinoe sua sposa ... e nemmeno a chi nel medioevo parlava della prodigiosa levitazione della bara di Maometto nella città di Mecca.
http://www.mit.edu/~kardar/research/seminars/Casimir2010/talks/Dresden/Earnshaw.html
dove è disponibile anche il riferimento storico
http://www.mit.edu/~kardar/research/seminars/Casimir2010/pdf/EarnshawPaper.pdf
... teorema che non era evidentemente conosciuto ai tempi di Timocrate, al quale Tolomeo aveva dato il compito di far levitare la statua di Arsinoe sua sposa ... e nemmeno a chi nel medioevo parlava della prodigiosa levitazione della bara di Maometto nella città di Mecca.
"ralf86":
caso 2 carica negativa
Basta ripetere il ragionamento sopra cambiando opportunamente segni e versi del campo, anche la posizione delle cariche negative non può essere stabile.
CVD
Nel caso di una carica negativa, il flusso sarebbe entrante sia se devo considerare il suo equilibrio (linee convergenti alla carica) sia se considero il campo E determinato dalla carica stessa, o sbaglio? Quindi in quale contraddizione si incorre?
nel caso del della carica negativa. per gauss il flusso è negativo. per avere la stabilità siccome F=qE il vettore campo elettrico deve puntare dalla carica verso l esterno in ogni direzione e se calcoli flusso risulterebbe negativo. Da qui la contraddizione
"ralf86":
per avere la stabilità siccome F=qE il vettore campo elettrico deve puntare dalla carica verso l esterno in ogni direzione
Questo perché per avere la stabilità deve essere F diretto verso la carica, ed essendo q<0, per "ottenere" tale direzione di F deve forzatamente E essere diretto dalla carica verso l'esterno?
"Geronimo":
[quote="ralf86"]per avere la stabilità siccome F=qE il vettore campo elettrico deve puntare dalla carica verso l esterno in ogni direzione
Questo perché per avere la stabilità deve essere F diretto verso la carica, ed essendo q<0, per "ottenere" tale direzione di F deve forzatamente E essere diretto dalla carica verso l'esterno?[/quote]
corretto
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