Legge di gauss

[Themirhaccio]

TESTO:
una carica positiva è distribuita uniformemente in un lungo guscio cilindrico isolante avente raggio interno R ed esterno 2R. A quale distanza radiale dalla supericie esterna della distribuzione di carica l'intensità del campo elettrico si dimezza rispetto al valore che c'è sulla superficie
RISOLUZIONE:
io ho provato in questo modo (anche se a naso, sapendo che il campo elettrico per un cilindro decresce con l'inverso del raggio e quindi ho pensato il doppio...)

il campo elettrico sulla superficie del guscio è:

$\oint_{A} \vec{E}\cdot d\vec{A}= q_i/ \varepsilon_0 = E (2\pi 2R h) =q_i/ \varepsilon_0$

e quindi

$E(2R) =q_i/ (4\pi\varepsilon_0R h)$

con lo stesso procedimento calcolo il campo ad un generico raggio r

$E(r) =q_i/ (2\pi\varepsilon_0r h)$

se adesso eguaglio le due quantità in questo modo

$E(r)= \frac{1}{2} E(2R)$

ottengo (come mi aspettavo) r = 4R ovvero il doppio del raggio esterno. La soluzione dice che la distanza tra la sup esterna e il punto dove il campo elettrico è la metà deve essere di 0.557 R. Dove sbaglio?? Grazie!

o forse è verso l'interno cioè R

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Risposte

anonymous_af8479

26 set 2013, 11:37

Si', e' dentro e c'e' di mezzo $sqrt 73$ ...

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Themirhaccio

30 set 2013, 14:48

lascio ai posteri

sempre dalla legge di gauss si può calcolare il campo sulla superficie esterna:

\( E_s = \frac{q_{tot}}{2\pi (2R)h\epsilon_0}= \frac{q_{tot}}{4\pi Rh\epsilon_0} \) ( 1 )

Nel generico raggio R
\( E (r)= \frac{q^{'}}{2\pi (r)h\epsilon_0} \) ( 2 )

dove q' rappresenta la carica contenuta nel guscio cilindrico tra il raggio R ed il raggio generico r

siccome la densità volumetrica è uniforme posso scrivere la seguente proporzione:

\( \frac{q^{'}}{(\pi r^2-\pi R^2)h}= \frac{q_{tot}}{(\pi (2R)^2-\pi R^2)h} \)

risolvendo rispetto a q' ed inserendolo nella espressione ( 2 )si trova la formula per il calcolo di E(r)

A questo punto eguagliando l'ultima espressione così trovata con ( 1 ) (quest'ultimo moltiplicato per 1/2, si arriva ad una equazione di secondo grado in r, che porta come risultato una soluzione non accettabile ed una soluzione del tipo r = 1,44 R

Ovvero a 0,56 R dalla superficie esterna.

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[anonymous_af8479]

Si', e' dentro e c'e' di mezzo $sqrt 73$ ...

[Themirhaccio]

lascio ai posteri

sempre dalla legge di gauss si può calcolare il campo sulla superficie esterna:

\( E_s = \frac{q_{tot}}{2\pi (2R)h\epsilon_0}= \frac{q_{tot}}{4\pi Rh\epsilon_0} \) ( 1 )

Nel generico raggio R
\( E (r)= \frac{q^{'}}{2\pi (r)h\epsilon_0} \) ( 2 )

dove q' rappresenta la carica contenuta nel guscio cilindrico tra il raggio R ed il raggio generico r

siccome la densità volumetrica è uniforme posso scrivere la seguente proporzione:

\( \frac{q^{'}}{(\pi r^2-\pi R^2)h}= \frac{q_{tot}}{(\pi (2R)^2-\pi R^2)h} \)

risolvendo rispetto a q' ed inserendolo nella espressione ( 2 )si trova la formula per il calcolo di E(r)

A questo punto eguagliando l'ultima espressione così trovata con ( 1 ) (quest'ultimo moltiplicato per 1/2, si arriva ad una equazione di secondo grado in r, che porta come risultato una soluzione non accettabile ed una soluzione del tipo r = 1,44 R

Ovvero a 0,56 R dalla superficie esterna.