Legge di Gauss
La legge dice che il flusso del campo elettrostatico prodotto da cariche attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche interne alla superficie divisa per $\varepsilon_0$
Questo significa che $\Phi (E) = \oint E\ \vec n \dS = (\sum q_i) / (4 \pi \r^2 \varepsilon_0) 4\pir^2$ non capisco perchè in u teorema generale si assume che la superficie abbia area uguale a $4\pir^2$
La superficie chiusa non potrebbe avere qualsiasi area? Grazie mille
Questo significa che $\Phi (E) = \oint E\ \vec n \dS = (\sum q_i) / (4 \pi \r^2 \varepsilon_0) 4\pir^2$ non capisco perchè in u teorema generale si assume che la superficie abbia area uguale a $4\pir^2$
La superficie chiusa non potrebbe avere qualsiasi area? Grazie mille
Risposte
La dimostrazione del teorema non assume che la superficie sia una sfera. Per qualsiasi superficie chiusa vale il teorema.
Essendo il campo radiale (questo è fondamentale per la validità del teorema), diciamo banalmente, che calcolare il flusso attraverso ogni superficie chiusa è come calcolarlo attraverso una sfera, o, se preferisci, che è possibile approssimare la tua superficie, con una sfera.
Sono sicuro che nel tuo libro di testo c'è la dimostrazione. Studiati quella, se c'è qualcosa che non ti è chiaro chiedi pure.
Essendo il campo radiale (questo è fondamentale per la validità del teorema), diciamo banalmente, che calcolare il flusso attraverso ogni superficie chiusa è come calcolarlo attraverso una sfera, o, se preferisci, che è possibile approssimare la tua superficie, con una sfera.
Sono sicuro che nel tuo libro di testo c'è la dimostrazione. Studiati quella, se c'è qualcosa che non ti è chiaro chiedi pure.
ah ecco perchè certo! mentre in generale si può ricorrere all'angolo solido?
Sì. Generalmente si fa così.
Un altro approccio che a me piace, senza ricorrere ad angoli solidi ma fondato sul significato geometrico del prodotto scalare come proiezione ortogonale, è il seguente:
[tex]\oint _\Sigma \mathbf E \cdot d\mathbf S = \oint _\Sigma \frac{q}{4\pi \epsilon _0 r^2} (\hat r \cdot \hat n) dS = \frac{q}{4\pi \epsilon _0} \oint _\Sigma \frac{1}{r^2} dS_r[/tex]
Dove $dS_{r} = \hat r \cdot d\mathbf S = (\hat r \cdot \hat n) dS $ è la proiezione della superficie $d \mathbf S$ nella direzione del campo $\mathbf E$ che come sappiamo è radiale.
In pratica abbiamo proiettato l'elemento generico di superficie, su un elemento della superficie sferica. Ci siamo ricondotti quindi da una superficie qualsiasi ad una sfera.
Per il ragionamento appena fatto (ovvero che abbiamo ricondotto la nostra superficie generica ad una sferica, il raggio non dipenderà più dalla punto della superficie che si considera e quindi possiamo portarlo fuori (questo a rigore si può fare solo se la carica è centrata nella sfera; per risolvere altrimenti bisogna ricorrere nuovamente al rapporto superficie/raggio al quadrato, e quindi, all'angolo solido):
[tex]\frac{q}{4\pi \epsilon _0 r^2} \oint _\Sigma dS_r = \frac{q}{4\pi \epsilon _0 r^2} (4\pi r^2) = \frac{q}{\epsilon _0}[/tex]
La bella di questo metodo è che ti riconduci alla sfera.
EDIT Modifiche ultimate
Un altro approccio che a me piace, senza ricorrere ad angoli solidi ma fondato sul significato geometrico del prodotto scalare come proiezione ortogonale, è il seguente:
[tex]\oint _\Sigma \mathbf E \cdot d\mathbf S = \oint _\Sigma \frac{q}{4\pi \epsilon _0 r^2} (\hat r \cdot \hat n) dS = \frac{q}{4\pi \epsilon _0} \oint _\Sigma \frac{1}{r^2} dS_r[/tex]
Dove $dS_{r} = \hat r \cdot d\mathbf S = (\hat r \cdot \hat n) dS $ è la proiezione della superficie $d \mathbf S$ nella direzione del campo $\mathbf E$ che come sappiamo è radiale.
In pratica abbiamo proiettato l'elemento generico di superficie, su un elemento della superficie sferica. Ci siamo ricondotti quindi da una superficie qualsiasi ad una sfera.
Per il ragionamento appena fatto (ovvero che abbiamo ricondotto la nostra superficie generica ad una sferica, il raggio non dipenderà più dalla punto della superficie che si considera e quindi possiamo portarlo fuori (questo a rigore si può fare solo se la carica è centrata nella sfera; per risolvere altrimenti bisogna ricorrere nuovamente al rapporto superficie/raggio al quadrato, e quindi, all'angolo solido):
[tex]\frac{q}{4\pi \epsilon _0 r^2} \oint _\Sigma dS_r = \frac{q}{4\pi \epsilon _0 r^2} (4\pi r^2) = \frac{q}{\epsilon _0}[/tex]
La bella di questo metodo è che ti riconduci alla sfera.
EDIT Modifiche ultimate
riprendo questa discussione per cercare di capire un punto della dimostrazione del teorema: sulla base di cosa posso dire che $ dscosvarphi $ è la proiezione dell' elementino $ ds $ sulla sfera di raggio $ r $ ?
cioè ad esempio se proietto un segmento su una retta posso sfruttare il teorema dei triangoli rettangoli ma per proiettare una superficie su una sfera a quali considerazioni matematiche devo ricorrere?
cioè ad esempio se proietto un segmento su una retta posso sfruttare il teorema dei triangoli rettangoli ma per proiettare una superficie su una sfera a quali considerazioni matematiche devo ricorrere?
La dimostrazione rigorosa è quella con l'angolo solido. La mia era più una speculazione per aiutare a capire il concetto, quindi non prenderla troppo sul seriamente.
il punto è che in moti libri tra cui il mencuccini viene usato questo concetto di "proiezione su una sfera" che però non riesco a giustificare matematicamente e nemmeno intuitivamente.cioè finchè si proiettano segmenti ok ma se si parla di superfici non riesco ad arrivarci
Il fatto è che si tratta di una semplice proiezione di un versore $\mathbf{n}$ su un altro vettore $\mathbf{r}$. Il versore $\mathbf{n}$ è il versore normale alla superficie. Quindi quando si parla di proiettare una superficie, in realtà si parla di proiettare il suo versore normale. Ma proiettare il suo versore normale significa proiettare anche la superficie stessa!
ok mi sto convincendo. e dunque il fatto che quella supeficie proiettata venga identificata come una porzione di superficie sferica è dovuto proprio al fatto che in generale ogni porzione di una superficie sferica è parallela al segmento che la congiunge al suo centro giusto ?
"ale92sb":
ok mi sto convincendo. e dunque il fatto che quella supeficie proiettata venga identificata come una porzione di superficie sferica è dovuto proprio al fatto che in generale ogni porzione di una superficie sferica è parallela al segmento che la congiunge al suo centro giusto ?
Esatto!
ok ti ringrazio per l' illuminazione allora 
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