Legge di Faraday in conduttori mobili
Apro un'altra discussione allacciandomi a questa attualmente in corso in questa stessa sezione. Come ci ricorda enr87 nel link, se una spira rettangolare con un lato in moto con velocità costante
è immersa in un campo magnetico uniforme $vec B$, agli estremi del lato in moto si sviluppa una tensione pari a $-vBb$. Quindi nel conduttore c'è campo elettrico: precisamente c'è un campo elettromotore nel componente in moto e un campo elettrostatico nel resto. Benissimo.
Ma supponiamo adesso di fare il seguente ragionamento da fessi. Le equazioni di Maxwell per il campo elettrico sono
${(nabla cdot vec E= rho/(epsilon_0)), (nabla times vec E= -frac{partial vec B}{partial t}):}$
e su questo non ci piove. Nel nostro caso è chiaro che $rho=0$, quindi non ci sono sorgenti di flusso elettrico. Inoltre il campo magnetico è costante per cui anche $-frac{partial vec B}{partial t}=vec0$ e non ci sono sorgenti di vorticosità. Ne concludiamo che nel circuito non c'è campo elettrico, lo tocchiamo a mani nude e prendiamo la scossa.
Dove abbiamo sbagliato?
è immersa in un campo magnetico uniforme $vec B$, agli estremi del lato in moto si sviluppa una tensione pari a $-vBb$. Quindi nel conduttore c'è campo elettrico: precisamente c'è un campo elettromotore nel componente in moto e un campo elettrostatico nel resto. Benissimo.
Ma supponiamo adesso di fare il seguente ragionamento da fessi. Le equazioni di Maxwell per il campo elettrico sono
${(nabla cdot vec E= rho/(epsilon_0)), (nabla times vec E= -frac{partial vec B}{partial t}):}$
e su questo non ci piove. Nel nostro caso è chiaro che $rho=0$, quindi non ci sono sorgenti di flusso elettrico. Inoltre il campo magnetico è costante per cui anche $-frac{partial vec B}{partial t}=vec0$ e non ci sono sorgenti di vorticosità. Ne concludiamo che nel circuito non c'è campo elettrico, lo tocchiamo a mani nude e prendiamo la scossa.
Dove abbiamo sbagliato?
Risposte
aspetta, la domanda che fai è molto simile al topic che ho aperto stamattina:
https://www.matematicamente.it/forum/gen ... 75105.html
formalizzata molto meglio però: la mia domanda, precisamente, era dove fossero le cariche elettrostatiche che generano il campo elettrico conservativo (attento che $rho$ è la densità di carica elettrostatica). sinceramente non l'ho ancora capito, quello che è certo è che si viene a creare una tensione ai capi del lato mobile, il che lo fa diventare una specie di generatore elettrostatico. però avrei piacere se qualcuno ci potesse illuminare sul resto.
edit: non vorrei dire una cacchiata, ma non so se la seconda equazione valga anche per sistemi a superficie variabile, come in questo caso: pensa alla relazione integrale della legge di m. che hai scritto, se l'area dipende dal tempo come fai a portare dentro all'integrale il segno di derivata? premetto comunque che non ho trattato casi di questo tipo in analisi
https://www.matematicamente.it/forum/gen ... 75105.html
formalizzata molto meglio però: la mia domanda, precisamente, era dove fossero le cariche elettrostatiche che generano il campo elettrico conservativo (attento che $rho$ è la densità di carica elettrostatica). sinceramente non l'ho ancora capito, quello che è certo è che si viene a creare una tensione ai capi del lato mobile, il che lo fa diventare una specie di generatore elettrostatico. però avrei piacere se qualcuno ci potesse illuminare sul resto.
edit: non vorrei dire una cacchiata, ma non so se la seconda equazione valga anche per sistemi a superficie variabile, come in questo caso: pensa alla relazione integrale della legge di m. che hai scritto, se l'area dipende dal tempo come fai a portare dentro all'integrale il segno di derivata? premetto comunque che non ho trattato casi di questo tipo in analisi
Non riesco a capire il disegno...
Guarda, è tratto da Mazzoldi-Nigro-Voci volume II, Esempio 10.1 pag.324. Comunque è lì solo per dare l'idea, il problema credo sia piuttosto classico: una spira immersa in un campo magnetico uniforme e soggetta a deformazione: uno dei lati scorre con velocità costante. Serve solo il concetto e non tutti i dettagli contenuti nel disegno.
"dissonance":
Apro un'altra discussione allacciandomi a questa attualmente in corso in questa stessa sezione. Come ci ricorda enr87 nel link, se una spira rettangolare con un lato in moto con velocità costante
è immersa in un campo magnetico uniforme $vec B$, agli estremi del lato in moto si sviluppa una tensione pari a $-vBb$. Quindi nel conduttore c'è campo elettrico: precisamente c'è un campo elettromotore nel componente in moto e un campo elettrostatico nel resto. Benissimo.
Ma supponiamo adesso di fare il seguente ragionamento da fessi. Le equazioni di Maxwell per il campo elettrico sono
${(nabla cdot vec E= rho/(epsilon_0)), (nabla times vec E= -frac{partial vec B}{partial t}):}$
e su questo non ci piove. Nel nostro caso è chiaro che $rho=0$, quindi non ci sono sorgenti di flusso elettrico. Inoltre il campo magnetico è costante per cui anche $-frac{partial vec B}{partial t}=vec0$ e non ci sono sorgenti di vorticosità. Ne concludiamo che nel circuito non c'è campo elettrico, lo tocchiamo a mani nude e prendiamo la scossa.
Dove abbiamo sbagliato?
Anch'io quando mi sono scontrato con queste descrizioni rimanevo piuttosto perplesso, poi i dubbi si sono chiariti. Spero con questa mia spiegazione di essere chiaro e di far capire anche altri. E' tutto abbastanza semplice.
Allora chiamiamo D il lato della spira dove c'è la resistenza (quello a sinistra nel disegno), poi E il lato in alto, F il lato a destra (quello che si muove) e G quello sotto.
L'area della spira (spira è un modo di chiamare un circuito chiuso) è ovviamente DE.
Siccome un lato si muove l'area varia nel tempo:
[tex]{d Area \over dt} = v A[/tex]
Ma il campo [tex]B[/tex] a densità costante [tex]H[/tex]concatenato con la spira è[tex]B = H Area[/tex]
Siccome l'area varia col tempo, anche il campo magnetico varia col tempo
[tex]{dB \over dt} = {d (H Area) \over dt } = v A H[/tex]
Sappiamo che la variazione nel tempo di campo magnetico genera una f.e.m., ovvero una tensione
[tex]{dB \over dt} = f.e.m. = v A H[/tex]
Dunque [tex]\left | {dB \over dt} \right | > 0[/tex], quindi la spira è sede di una f.e.m.
Fine...
"dissonance":
e su questo non ci piove. Nel nostro caso è chiaro che $rho=0$, quindi non ci sono sorgenti di flusso elettrico. Inoltre il campo magnetico è costante per cui anche $-frac{partial vec B}{partial t}=vec0$ e non ci sono sorgenti di vorticosità. Ne concludiamo che nel circuito non c'è campo elettrico, lo tocchiamo a mani nude e prendiamo la scossa.
Dove abbiamo sbagliato?
Da quelle equazioni non risulta così chiaro che $rho=0$, dovrebbero essere stabilite delle condizioni iniziali di distribuzione di carica, campo elettrico e campo magnetico e delle ulteriori equazioni come quella che esprime la forza di Lorentz, la conservazione della carica o equazione di continuita, il legame tra campo elettrico e vettore densità di corrente $vecJ=sigmavecE$ all'interno del conduttore (in moto), i vincoli su $vecJ$ dovuti al fatto che le cariche devono rimanere all'interno del conduttore (quindi campo elettrico tangente sulla superficie del conduttore), le altre equazioni di Maxwell.
L'errore commesso secondo me sta nell'aver considerato la variazione nel tempo del campo magnetico nulla.
Se tocchiamo il circuito le condizioni del problema cambiano, perchè le cariche non sono più vincolate a rimanere all'interno del circuito in ogni punto della superficie.
@Quinzio: Il discorso che fai è molto chiaro. Quello che non riesco a capire è perché, apparentemente, le equazioni di Maxwell mi danno un risultato sballato.
@sonoqui: Purtroppo non mi risulta chiaro cosa vuoi dire. La domanda qui è precisa, come dicevo sopra a Quinzio: "perché falliscono le equazioni di Maxwell?". Tu dici che non è vero $\frac{\partial vec{B}}{\partial t}=0$. Ma questo davvero non mi convince. Se vuoi argomentare mi farebbe piacere, ti prego però di cercare di essere più preciso. Non tirare in ballo mezzo elettromagnetismo se non è strettamente necessario.
@sonoqui: Purtroppo non mi risulta chiaro cosa vuoi dire. La domanda qui è precisa, come dicevo sopra a Quinzio: "perché falliscono le equazioni di Maxwell?". Tu dici che non è vero $\frac{\partial vec{B}}{\partial t}=0$. Ma questo davvero non mi convince. Se vuoi argomentare mi farebbe piacere, ti prego però di cercare di essere più preciso. Non tirare in ballo mezzo elettromagnetismo se non è strettamente necessario.
Fornisco solo uno spunto di riflessione: io credo che per capire il problema sia meglio partire dalla Legge di Faraday nella forma integrale, da cui deriva la $nabla times vec E= -frac{partial vec B}{partial t}$; la dimostrazione che dalla prima porta alla seconda dovrebbe chiarire le idee.
"Quinzio":
Anch'io quando mi sono scontrato con queste descrizioni rimanevo piuttosto perplesso, poi i dubbi si sono chiariti. Spero con questa mia spiegazione di essere chiaro e di far capire anche altri. E' tutto abbastanza semplice.
Allora chiamiamo D il lato della spira dove c'è la resistenza (quello a sinistra nel disegno), poi E il lato in alto, F il lato a destra (quello che si muove) e G quello sotto.
L'area della spira (spira è un modo di chiamare un circuito chiuso) è ovviamente DE.
Siccome un lato si muove l'area varia nel tempo:
[tex]{d Area \over dt} = v A[/tex]
Ma il campo [tex]B[/tex] a densità costante [tex]H[/tex]concatenato con la spira è[tex]B = H Area[/tex]
un attimo, io qui già non mi trovo: l'area dovrebbe essere $D vt$, per cui la derivata rispetto al tempo è $D v$.
inoltre mi trovo in accordo con Davvi quando scrive che bisognerebbe considerare la forma integrale, come ho scritto nel post sopra. per superfici variabili nel tempo, infatti, si verifica un problema:
$oint
l'area A è funzione del tempo: è ancora possibile portare il segno di derivata dentro all'integrale e quindi usare la forma locale?
e poi, quello che ancora non ho capito dall'altro topic che ho aperto, è se l'esistenza del campo elettrostatico sul pezzo di circuito "fermo" sia prodotto da cariche statiche o no (e nel caso, dove si trovano tali cariche).
sonoqui_ mi aveva detto che "La differenza di potenziale in questo caso quindi non è da ricercare in una distribuzione di cariche ferme nello spazio ma nella approssimazione fatta sul campo magnetico e quindi sulla circuitazione del campo elettrico", ma l'unico modo di ottenere un campo elettrostatico è di avere una distribuzione "statica" di cariche nello spazio, o no?
@dissonance: Con riferimento al primo post. Secondo me è normale che se ragioni così ci sia qualcosa che non torna. In fin dei conti stai cercando di risolvere 4 equazioni indipendenti in 3 incognite.
Concordo con Davvi e enr87 sul fatto che passare dalla forma integrale a quella locale in presenza di geometrie variabili non è per nulla facile. Mi ricordo vagamente che si può ricavare l'usuale forma locale anche per circuiti in movimento ma che mantengono la loro forma. Ma si sa che la legge di Faraday integrale vale solo in alcuni casi, vedi qui. Per usare le equazioni di Maxwell bisogna specificare per bene tutto quanto, come suggerito da sonoqui_.
Concordo con Davvi e enr87 sul fatto che passare dalla forma integrale a quella locale in presenza di geometrie variabili non è per nulla facile. Mi ricordo vagamente che si può ricavare l'usuale forma locale anche per circuiti in movimento ma che mantengono la loro forma. Ma si sa che la legge di Faraday integrale vale solo in alcuni casi, vedi qui. Per usare le equazioni di Maxwell bisogna specificare per bene tutto quanto, come suggerito da sonoqui_.
"dissonance":
@sonoqui: Purtroppo non mi risulta chiaro cosa vuoi dire. La domanda qui è precisa, come dicevo sopra a Quinzio: "perché falliscono le equazioni di Maxwell?". Tu dici che non è vero $\frac{\partial vec{B}}{\partial t}=0$. Ma questo davvero non mi convince. Se vuoi argomentare mi farebbe piacere, ti prego però di cercare di essere più preciso. Non tirare in ballo mezzo elettromagnetismo se non è strettamente necessario.
Si in effetti hai ragione, intanto inizierei a capire quali sono le funzioni incognite e le equazioni del problema.
Le funzioni incognite direi che sono $vecB(vecx,t)$, $vecE(vecx,t)$, $rho(vecx,t)$, $vecJ(vecx,t)$. Mettiamo che la sbarra si muova a velocità costante, per cui la configurazione e la velocità nel tempo sono note.
Le equazioni sono: le quattro equazioni di Maxwell, la relazione tra campo elettrico e il vettore densità di corrente all'interno del conduttore, l'equazione di continuità per la carica, l'espressione della forza di Lorentz.
Ammesso che ci siano le euqazioni necessarie e non ce ne siano di troppo veniamo alle condizioni al bordo. Innanzitutto mi chiedo $vecB=vec(costante)$ è una condizione al bordo del problema?
"enr87":
e poi, quello che ancora non ho capito dall'altro topic che ho aperto, è se l'esistenza del campo elettrostatico sul pezzo di circuito "fermo" sia prodotto da cariche statiche o no (e nel caso, dove si trovano tali cariche).
Hai una spira rettangolare immersa in un campo magnetico, che ruota attorno all'asse individuato dal lato A. Nel lato opposto, che chiamo B, si genera un campo elettrico indotto il cui valore si può calcolare con la legge di Faraday. L'effetto di questo campo indotto è quello di spostare cariche, prelevandole da un estremo di B (che chiameremo -) e accumulandole all'altro estremo di B (chiameremo +). In realtà poi le cariche che si spostano sono gli elettroni quindi dovremmo invertire il discorso ma potendo supporre che sia una carica positiva a spostarsi in verso contrario il discorso è ugualmente valido.
Ora ci sono diverse possibilità:
1. il circuito della spira è aperto, cioè non può fluire corrente; allora possiamo misurare una ddp ai capi di B, che è poi la fem indotta, e che è dovuta alle cariche spostate dal campo indotto.
2. il circuito della spira è chiuso: in esso fluirà una corrente perché le cariche libere del conduttore tendono a ristabilire la carica mancante dal - di B, mentre anche le cariche presenti nell'estremo + di B si spostano verso il conduttore il cui potenziale è inferiore; in questo caso, non misureremo alcuna ddp ai capi di B, l'effetto del campo elettrico indotto è quello di spostare cariche nel lato B e complessivamente generare una corrente nella spira (...e questa corrente indotta genererà un campo magnetico tale da opporsi al movimento della spira... ma questa è un'altra storia!).
Quindi non c'è un campo elettrostatico, il lavoro di spostamento delle cariche lo fa il campo elettrico indotto, anche quando fluisce corrente.
@sonoqui: Ok, allora mettiamola come dici tu. Le equazioni di Maxwell sono
${(nabla cdot vec E= frac{rho}{epsilon_0}), (nabla times vec E= - frac{partial vec B}{partial t}), (nabla cdot vec B=0), (c^2 nabla times vec B= frac{partial vec E}{partial t}+ frac{vec J}{epsilon_0}):}$
In questo sistema $vecB$ è uniforme e costante, quindi la
$rho=0, vecE=0, vec J=0$
è soluzione.
Domanda Perché questa soluzione non è fisicamente ammissibile?
${(nabla cdot vec E= frac{rho}{epsilon_0}), (nabla times vec E= - frac{partial vec B}{partial t}), (nabla cdot vec B=0), (c^2 nabla times vec B= frac{partial vec E}{partial t}+ frac{vec J}{epsilon_0}):}$
In questo sistema $vecB$ è uniforme e costante, quindi la
$rho=0, vecE=0, vec J=0$
è soluzione.
Domanda Perché questa soluzione non è fisicamente ammissibile?
Fisicamente mi sembra ammissibile come soluzione è nel caso specifico che non mi torna, cioè quello presentato nel problema.
Sulle cariche presenti nel tratto che si muove, ammesso anche che il campo magnetico sia uniforme e costante nel tempo, agirebbe la forza di Lorentz. Le cariche libere (alcuni elettroni) sono in grado di muoversi all'interno del conduttore, mentre le cariche positive sono vincolate ad una struttura che ne impedisce il movimento, o meglio ne impone solo il movimento lungo la guida. Ora intuitivamente mi viene da dire che se queste cariche libere sono spinte da una parte queste si muovono, visto che nel circuito nel suo complesso non c'è nulla che possa tenerle ferme (esclusa la presenza di un campo elettrico che esercita su di queste una forza opposta), casomai c'è qualcosa che ne limita il movimento (la resistenza elettrica).
Riguardo al campo elettrico che determinerebbe una forza opposta, non può essere in generale, perchè dal legame tra campo elettrico e vettore densità di corrente si vede che questi sono proporzionali tra loro con costante positiva (con le dovute ipotesi su $sigma$, che in maniere un ppo' più generale è uuna matrice), con una costante che dipende dalle caratteristiche del materiale e corrente che intuitivamente in determinate condizioni stazionarie scorre nel verso in cui viene spinta dalla forza di Lorentz, che ha quindi componente lungo la sbarra mobile con lo stesso verso di quella del campo elettrico. Un caso particolare può essere quello di campo elettrico e corrente nulla all'interno del conduttore, cosa che può avvenire per esempio a circuito aperto.
Se ci sono delle cariche in movimento che non si controbilanciano e determinano una corrente netta, dall'ultima delle equazioni di Maxwell che hai scritto, risulta che o c'è una derivata parziale rispetto al tempo del campo elettrico che annulla il termine a destra, per ogni istante di tempo e in ogni punto, o la circuitazione del campo magnetico lungo un percorso concatenato con la corrente non è nulla. Riutilizzando la relazione tra campo elettrico e densità di corrente $vecJ=sigmavecE$, si nota che per avere questa condizione il vettore densità di corrente dovrebbe essere sempre opposto ad un valore proporzionale alla sua derivata parziale rispetto al tempo, cosa che può avvenire solo se è nullo.
Quindi dall'ultima equazione si deduce che la circuitazione del campo magnetico concatenata ad una corrente non è nulla, ma un campo magnetico uniforme ha circuitazione nulla, per cui non può essere.
Sulle cariche presenti nel tratto che si muove, ammesso anche che il campo magnetico sia uniforme e costante nel tempo, agirebbe la forza di Lorentz. Le cariche libere (alcuni elettroni) sono in grado di muoversi all'interno del conduttore, mentre le cariche positive sono vincolate ad una struttura che ne impedisce il movimento, o meglio ne impone solo il movimento lungo la guida. Ora intuitivamente mi viene da dire che se queste cariche libere sono spinte da una parte queste si muovono, visto che nel circuito nel suo complesso non c'è nulla che possa tenerle ferme (esclusa la presenza di un campo elettrico che esercita su di queste una forza opposta), casomai c'è qualcosa che ne limita il movimento (la resistenza elettrica).
Riguardo al campo elettrico che determinerebbe una forza opposta, non può essere in generale, perchè dal legame tra campo elettrico e vettore densità di corrente si vede che questi sono proporzionali tra loro con costante positiva (con le dovute ipotesi su $sigma$, che in maniere un ppo' più generale è uuna matrice), con una costante che dipende dalle caratteristiche del materiale e corrente che intuitivamente in determinate condizioni stazionarie scorre nel verso in cui viene spinta dalla forza di Lorentz, che ha quindi componente lungo la sbarra mobile con lo stesso verso di quella del campo elettrico. Un caso particolare può essere quello di campo elettrico e corrente nulla all'interno del conduttore, cosa che può avvenire per esempio a circuito aperto.
Se ci sono delle cariche in movimento che non si controbilanciano e determinano una corrente netta, dall'ultima delle equazioni di Maxwell che hai scritto, risulta che o c'è una derivata parziale rispetto al tempo del campo elettrico che annulla il termine a destra, per ogni istante di tempo e in ogni punto, o la circuitazione del campo magnetico lungo un percorso concatenato con la corrente non è nulla. Riutilizzando la relazione tra campo elettrico e densità di corrente $vecJ=sigmavecE$, si nota che per avere questa condizione il vettore densità di corrente dovrebbe essere sempre opposto ad un valore proporzionale alla sua derivata parziale rispetto al tempo, cosa che può avvenire solo se è nullo.
Quindi dall'ultima equazione si deduce che la circuitazione del campo magnetico concatenata ad una corrente non è nulla, ma un campo magnetico uniforme ha circuitazione nulla, per cui non può essere.
"Davvi":
[quote="enr87"]e poi, quello che ancora non ho capito dall'altro topic che ho aperto, è se l'esistenza del campo elettrostatico sul pezzo di circuito "fermo" sia prodotto da cariche statiche o no (e nel caso, dove si trovano tali cariche).
Hai una spira rettangolare immersa in un campo magnetico, che ruota attorno all'asse individuato dal lato A. Nel lato opposto, che chiamo B, si genera un campo elettrico indotto il cui valore si può calcolare con la legge di Faraday. L'effetto di questo campo indotto è quello di spostare cariche, prelevandole da un estremo di B (che chiameremo -) e accumulandole all'altro estremo di B (chiameremo +). In realtà poi le cariche che si spostano sono gli elettroni quindi dovremmo invertire il discorso ma potendo supporre che sia una carica positiva a spostarsi in verso contrario il discorso è ugualmente valido.
Ora ci sono diverse possibilità:
1. il circuito della spira è aperto, cioè non può fluire corrente; allora possiamo misurare una ddp ai capi di B, che è poi la fem indotta, e che è dovuta alle cariche spostate dal campo indotto.
2. il circuito della spira è chiuso: in esso fluirà una corrente perché le cariche libere del conduttore tendono a ristabilire la carica mancante dal - di B, mentre anche le cariche presenti nell'estremo + di B si spostano verso il conduttore il cui potenziale è inferiore; in questo caso, non misureremo alcuna ddp ai capi di B, l'effetto del campo elettrico indotto è quello di spostare cariche nel lato B e complessivamente generare una corrente nella spira (...e questa corrente indotta genererà un campo magnetico tale da opporsi al movimento della spira... ma questa è un'altra storia!).
Quindi non c'è un campo elettrostatico, il lavoro di spostamento delle cariche lo fa il campo elettrico indotto, anche quando fluisce corrente.[/quote]
eppure se hai modo di consultare il nigro voci II volume (vecchia edizione), a pagina 325 trovi che il lato mobile funge da generatore di f.e.m., con le cariche che si accumulano agli estremi del lato stesso, così che il circuito è sede di un campo elettrostatico. a questo punto ci capisco sempre di meno.
tra l'altro non vorrei dire un'altra cacchiata (con te ne ho già sparata una), ma visto che la legge alle maglie di kirchoff discende proprio dalla conservatività del CE, qui non potresti più usarla se fosse come dici
"enr87":
...con le cariche che si accumulano agli estremi del lato stesso, così che il circuito è sede di un campo elettrostatico...
Se vedi la spira come un generatore di fem e la chiudi su un circuito composto ad esempio da una resistenza (quella della bobina), allora puoi concludere che la corrente che circola sia generata dal campo elettrostatico che si crea in seguito all'applicazione di tale fem. Quando c'è una corrente elettrica, vi è anche un campo elettrico che sposta le cariche, quindi è effettivamente corretto anche parlare di campo elettrostatico del circuito, personalmente quando penso al fenomeno fisico di una corrente indotta non ragiono in termini di campo elettrostatico ma come ho scritto prima.
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