Legge di Faraday?
Ho un dubbio che vorrei risolvere riguardo tale legge.
So che la fem che si induce si oppone alla variazione di flusso di campo magnetico (flusso del campo che chiamo Φ(B)) nel tempo. Ora, il fatto che si genera una forza elettromotrice fa si che essa induca a sua volta un campo (chiamiamolto B') che è "opposto" a quello iniziale che l'ha generata.
Ma a questo punto il flusso del campo magnetico allora è minore poiché avrei (flusso di B-B') quello iniziale meno quello diciamo "autoindotto B'", ma questo vuol dire che allora il flusso era minore di quello incidente per quale ho calcolato B', infatti il vero flusso è B-B' come suddetto.
Cioè in altre parole mi sembra un cane che si morde la coda, ossia non capisco quale campo ci sia prima perché in realtà noi ragioniamo su derivate quindi viene da pensare a pezzi finiti che: prendo il flusso di B ne faccio la derivata e ciò induce B'.... ma il tutto di fatto è istantaneo, quindi io dovrei già calcolare la derivata di
$[d[Φ(B-B')]]/dt$ perché nell'istante medesimo in cui varia $dΦ(B)$ di fatto ho già B'.
Quindi, come caspita si risolve sta cosa?
So che la fem che si induce si oppone alla variazione di flusso di campo magnetico (flusso del campo che chiamo Φ(B)) nel tempo. Ora, il fatto che si genera una forza elettromotrice fa si che essa induca a sua volta un campo (chiamiamolto B') che è "opposto" a quello iniziale che l'ha generata.
Ma a questo punto il flusso del campo magnetico allora è minore poiché avrei (flusso di B-B') quello iniziale meno quello diciamo "autoindotto B'", ma questo vuol dire che allora il flusso era minore di quello incidente per quale ho calcolato B', infatti il vero flusso è B-B' come suddetto.
Cioè in altre parole mi sembra un cane che si morde la coda, ossia non capisco quale campo ci sia prima perché in realtà noi ragioniamo su derivate quindi viene da pensare a pezzi finiti che: prendo il flusso di B ne faccio la derivata e ciò induce B'.... ma il tutto di fatto è istantaneo, quindi io dovrei già calcolare la derivata di
$[d[Φ(B-B')]]/dt$ perché nell'istante medesimo in cui varia $dΦ(B)$ di fatto ho già B'.
Quindi, come caspita si risolve sta cosa?
Risposte
Il fatto che la fem si opponga alla variazione vuol dire che in caso di variazione del flusso ci sarà una fem che, se localizzata in un circuito chiuso, provocherà una corrente che genererà un flusso che si opporrà alla variazione ma nei limiti della variazione stessa.
Comunque in qualche modo il tema che introduci è quello delle interazioni tra il primo circuito responsabile della variazione del campo, per così dire principale, e il secondo circuito responsabile della reazione (d'indotto) e viceversa. In molti casi la reazione di indotto è trascurabile nei confronti del primo campo (ovvero il campo da essa creato si suppone che non cambi significativamente il campo principale), ma quando non lo è per descrivere il comportamento mutuo tra i due circuiti si introduce un particolare doppio bipolo denominato matrice delle induttanze definito dalle reciproche influenze in termini di flusso tra un circuito e l'altro.
$((phi_1), (phi_2))=((L_1, M), (M,L_2))((I_1), (I_2))$
dove comunque per motivi fisici $L1*L2 -M^2>0$ per cui c'è un limite nelle mutue interazioni.
Attraverso questa rappresentazione, derivando si ottiene (i segno - è già tenuto in conto dal fatto che le tensioni e le correnti seguono la convenzione degli utilizzatori) la rappresentazione della Legge di Faraday per due circuiti mutuamente interagenti
$((v_1), (v_2))=((L_1, M), (M,L_2))(((dI_1)/dt), ((dI_2)/dt))$
Quindi se vario il campo 1, ovvero ho una $(dI_1)/dt$, questa provoca una variazione di flusso in 1, ma anche, attraverso il coefficiente di mutua induttanza M, una $v_2$ che associata ad un circuito esterno (per esempio una resistenza) provocherà una $(dI_2)/dt$ e quindi una variazione a ritroso nel circuito 1.
Ovviamente nell'ambito di un circuito concreto nel quale il doppio bipolo è inserito e attraverso i metodi dell'Elettrotecnica si trova la soluzione complessiva.
Comunque in qualche modo il tema che introduci è quello delle interazioni tra il primo circuito responsabile della variazione del campo, per così dire principale, e il secondo circuito responsabile della reazione (d'indotto) e viceversa. In molti casi la reazione di indotto è trascurabile nei confronti del primo campo (ovvero il campo da essa creato si suppone che non cambi significativamente il campo principale), ma quando non lo è per descrivere il comportamento mutuo tra i due circuiti si introduce un particolare doppio bipolo denominato matrice delle induttanze definito dalle reciproche influenze in termini di flusso tra un circuito e l'altro.
$((phi_1), (phi_2))=((L_1, M), (M,L_2))((I_1), (I_2))$
dove comunque per motivi fisici $L1*L2 -M^2>0$ per cui c'è un limite nelle mutue interazioni.
Attraverso questa rappresentazione, derivando si ottiene (i segno - è già tenuto in conto dal fatto che le tensioni e le correnti seguono la convenzione degli utilizzatori) la rappresentazione della Legge di Faraday per due circuiti mutuamente interagenti
$((v_1), (v_2))=((L_1, M), (M,L_2))(((dI_1)/dt), ((dI_2)/dt))$
Quindi se vario il campo 1, ovvero ho una $(dI_1)/dt$, questa provoca una variazione di flusso in 1, ma anche, attraverso il coefficiente di mutua induttanza M, una $v_2$ che associata ad un circuito esterno (per esempio una resistenza) provocherà una $(dI_2)/dt$ e quindi una variazione a ritroso nel circuito 1.
Ovviamente nell'ambito di un circuito concreto nel quale il doppio bipolo è inserito e attraverso i metodi dell'Elettrotecnica si trova la soluzione complessiva.
Ti ringrazio,
Ma cercando di applicarlo a un esempio semplice: spira circolare, faccio fluire un campo B che varia nel tempo. questo induce appunto una i in questa spira. Però in sostanza il campo B' indotto po' trascuro se ho ben capito? E non calcolo invece quello reale (B-B')?
Però anche qui mi sorge un dubbio: il flusso (B-B') varia nel tempo creando per Faraday un campo B'' indotto ecc ecc... Insomma è una concatenazione in loop senza fine. Non riesco a capire quando mi arresto in questo continua concatenazione.
Per quanto riguarda invece la tua complessa trattazione, dove potresti studiarla, sul mio testo base non mi pare di averlo trovato (Mazzoldi)
Ma cercando di applicarlo a un esempio semplice: spira circolare, faccio fluire un campo B che varia nel tempo. questo induce appunto una i in questa spira. Però in sostanza il campo B' indotto po' trascuro se ho ben capito? E non calcolo invece quello reale (B-B')?
Però anche qui mi sorge un dubbio: il flusso (B-B') varia nel tempo creando per Faraday un campo B'' indotto ecc ecc... Insomma è una concatenazione in loop senza fine. Non riesco a capire quando mi arresto in questo continua concatenazione.
Per quanto riguarda invece la tua complessa trattazione, dove potresti studiarla, sul mio testo base non mi pare di averlo trovato (Mazzoldi)
Sul singolo circuito, diciamo una spira la cosa è più facile. Ci sono 4 possibilità:
1) la spira di area S e resistenza R è in un campo esterno B(t), per semplicità diretto come l'asse della spira, che rimane inalterato a prescindere da quello che fa la spira. Inoltre trascuriamo l'induttanza della spira ovvero gli effetti della variazione del campo creato dalla spira stessa.
In questo caso nella spira si avrà una E(t) =-S*dB/dt, una corrente E(t)/R che provoca un campo B1(t), che si sommerà algebricamente al precedente. Per le ipotesi fatte il discorso si chiude qui.
2) la spira di area S e resistenza R è in un campo esterno B(t), per semplicità diretto come l'asse della spira, che non subisce l'influenza di quello che fa la spira ma la spira ha una sua induttanza non trascurabile. In tal caso il campo esterno in pratica inserisce un generatore E(t) in un circuito RL e quindi si passa al caso 4.
3) la spira di area S e resistenza R è in un campo esterno B(t), per semplicità diretto come l'asse della spira, che a sua volta subisce l'influenza di quello che fa la spira. In tal caso siamo in presenza di una mutua induzione (vedi mio post precedente)
4) Non c'è un campo esterno e la spira di area S e resistenza R è connessa ad un generatore Vo (che supponiamo per semplicità costante), che tende a far passar corrente e provocherà una fem da parte della spira che tenderà ad opporsi a tale corrente. In questo caso basta considerare l'induttanza L della spira e studiare il classico circuito RL. All'inizio la spira si oppone impedendo completamente il passaggio della corrente e poi successivamente si "rilassa" e la corrente comincia a salire.
L'andamento della corrente e quindi del campo sarà del tipo:
$I=V_0/R(1-e^(-t/tau))$ con $tau=L/R$
In tutti i 4 casi si arriva ad una conclusione deterministica.
Quanto alla mutua induzione vedi ad es.
https://it.wikipedia.org/wiki/Mutua_induzione
https://www.electroyou.it/admin/wiki/ci ... accoppiati
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/438932
1) la spira di area S e resistenza R è in un campo esterno B(t), per semplicità diretto come l'asse della spira, che rimane inalterato a prescindere da quello che fa la spira. Inoltre trascuriamo l'induttanza della spira ovvero gli effetti della variazione del campo creato dalla spira stessa.
In questo caso nella spira si avrà una E(t) =-S*dB/dt, una corrente E(t)/R che provoca un campo B1(t), che si sommerà algebricamente al precedente. Per le ipotesi fatte il discorso si chiude qui.
2) la spira di area S e resistenza R è in un campo esterno B(t), per semplicità diretto come l'asse della spira, che non subisce l'influenza di quello che fa la spira ma la spira ha una sua induttanza non trascurabile. In tal caso il campo esterno in pratica inserisce un generatore E(t) in un circuito RL e quindi si passa al caso 4.
3) la spira di area S e resistenza R è in un campo esterno B(t), per semplicità diretto come l'asse della spira, che a sua volta subisce l'influenza di quello che fa la spira. In tal caso siamo in presenza di una mutua induzione (vedi mio post precedente)
4) Non c'è un campo esterno e la spira di area S e resistenza R è connessa ad un generatore Vo (che supponiamo per semplicità costante), che tende a far passar corrente e provocherà una fem da parte della spira che tenderà ad opporsi a tale corrente. In questo caso basta considerare l'induttanza L della spira e studiare il classico circuito RL. All'inizio la spira si oppone impedendo completamente il passaggio della corrente e poi successivamente si "rilassa" e la corrente comincia a salire.
L'andamento della corrente e quindi del campo sarà del tipo:
$I=V_0/R(1-e^(-t/tau))$ con $tau=L/R$
In tutti i 4 casi si arriva ad una conclusione deterministica.
Quanto alla mutua induzione vedi ad es.
https://it.wikipedia.org/wiki/Mutua_induzione
https://www.electroyou.it/admin/wiki/ci ... accoppiati
https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/438932
Però c'è qualcosa che continua a sfuggirmi, vediamo se riesco a spiegarmi meglio:
abbiamo come da te detto B(t) e per E(t) =-S*dB/dt, una corrente E(t)/R che provoca un campo B1(t). Il mio dubbio è questo, se io ho B1(t) da sommare a quello iniziale in realtà non dovrei avere come flusso nella spira: B(r)+B1(t)? Penso di si, ma allora il vero calcolo di E(t) sarebbe:
$E'(t) =-S*(d(B(t)+B_1(t)))/(dt)$ e a questo punto uno direbbe ok, ma E'(t) induce a sua volta un campo $B_2(t)$ quindi dovrei calcolare $E''(t) =-S*(d(B(t)+B_1(t)+B_2(t)))/(dt)$ e non avrebbe mai fine questo loop.
Il punto infatti è che queste considerazioni sono istantanee quindi è errato calcolare solo E(t) =-S*dB/dt, perché vi è di fatto anche un campo B1(t) nello stsso istante... è qui che mi inviluppo.
abbiamo come da te detto B(t) e per E(t) =-S*dB/dt, una corrente E(t)/R che provoca un campo B1(t). Il mio dubbio è questo, se io ho B1(t) da sommare a quello iniziale in realtà non dovrei avere come flusso nella spira: B(r)+B1(t)? Penso di si, ma allora il vero calcolo di E(t) sarebbe:
$E'(t) =-S*(d(B(t)+B_1(t)))/(dt)$ e a questo punto uno direbbe ok, ma E'(t) induce a sua volta un campo $B_2(t)$ quindi dovrei calcolare $E''(t) =-S*(d(B(t)+B_1(t)+B_2(t)))/(dt)$ e non avrebbe mai fine questo loop.
Il punto infatti è che queste considerazioni sono istantanee quindi è errato calcolare solo E(t) =-S*dB/dt, perché vi è di fatto anche un campo B1(t) nello stsso istante... è qui che mi inviluppo.
Eh mi sa che ti stai inviluppando in un paradosso simile a quello di Achille e la tartaruga in meccanica
Il caso che descrivi è quello che ho chiamato 2. In questo caso hai la seguente equazione che descrive il fenomeno (LKT)
fem. dovuta al campo esterno + caduta di tensione sul resistore + fem dovuta alla spira =0
La fem dovuta al campo che si crea nella spira e quindi alle sue variazioni si può scrivere così
$-S (dB_s)/dt = L(di)/(dt)$
avendo preso un senso opportuno per la corrente. La formula sopra tiene conto proprio di tutti i $(dB_i)/(dt)$ che via si susseguono. Quindi
$-S(dB)/(dt) + Ri+L(di)/(dt)=0$
Se per semplicità supponiamo B variabile linearmente nel tempo il termine SdB/dt sarà costante e quindi posso scrivere Vo=SdB/dt . L'equazione diventa
$Ri+L(di)/(dt)=V_0$
Quindi siamo nel caso 4.
Andiamo avanti nel discorso. All'inizio cerca di passare nella spira la corrente $V_0/R$ ma appena ne passa un poco diciamo $di_1$ si crea la forza controelettromotrice della spira, il $(dB_1)/(dt)=L(di_1)/(dt)$, che si oppone ad ulteriori aumenti. Ma intanto passa $di_1$
Il circuito comunque impone di far passare la corrente e quindi farà passare un'altro poco $di_2$ a cui di nuovo si oppone la forza controelettromotrice della spira con un $(dB_2)/(dt)=L(di_2)/(dt)$. Ma intanto passa $di_1+ di_2$. Andando avanti nel tempo puoi capire che alla fine (in teoria dopo un tempo infinito ) la corrente raggiungerà il valore $V_0/R$ e la spira non vedrà più variazioni e non darà più forza controelettromotrice. L'andamento della forza controelettromotrice è descritto dall'equazione
$V_L= L(di)/(dt)=V_0*exp(-t/tau)$
Questo vuol dire che è massimo all'inizio e poi via via si riduce perchè si riduce il divario tra quanto il campo esterno vuole imporre come corrente (V0/R) e quanto ne sta già passando.
Il caso che descrivi è quello che ho chiamato 2. In questo caso hai la seguente equazione che descrive il fenomeno (LKT)
fem. dovuta al campo esterno + caduta di tensione sul resistore + fem dovuta alla spira =0
La fem dovuta al campo che si crea nella spira e quindi alle sue variazioni si può scrivere così
$-S (dB_s)/dt = L(di)/(dt)$
avendo preso un senso opportuno per la corrente. La formula sopra tiene conto proprio di tutti i $(dB_i)/(dt)$ che via si susseguono. Quindi
$-S(dB)/(dt) + Ri+L(di)/(dt)=0$
Se per semplicità supponiamo B variabile linearmente nel tempo il termine SdB/dt sarà costante e quindi posso scrivere Vo=SdB/dt . L'equazione diventa
$Ri+L(di)/(dt)=V_0$
Quindi siamo nel caso 4.
Andiamo avanti nel discorso. All'inizio cerca di passare nella spira la corrente $V_0/R$ ma appena ne passa un poco diciamo $di_1$ si crea la forza controelettromotrice della spira, il $(dB_1)/(dt)=L(di_1)/(dt)$, che si oppone ad ulteriori aumenti. Ma intanto passa $di_1$
Il circuito comunque impone di far passare la corrente e quindi farà passare un'altro poco $di_2$ a cui di nuovo si oppone la forza controelettromotrice della spira con un $(dB_2)/(dt)=L(di_2)/(dt)$. Ma intanto passa $di_1+ di_2$. Andando avanti nel tempo puoi capire che alla fine (in teoria dopo un tempo infinito
) la corrente raggiungerà il valore $V_0/R$ e la spira non vedrà più variazioni e non darà più forza controelettromotrice. L'andamento della forza controelettromotrice è descritto dall'equazione$V_L= L(di)/(dt)=V_0*exp(-t/tau)$
Questo vuol dire che è massimo all'inizio e poi via via si riduce perchè si riduce il divario tra quanto il campo esterno vuole imporre come corrente (V0/R) e quanto ne sta già passando.
In effetti stavo proprio pensandolo mentre scrivevo il mio ulitmo messaggio: mi sembra di essere finito in un achille e la tartaruga 2.0...
Ok, dalla tua spiegazione mi sembra di capire come affrontare il discorso anche intuivamente per i vari $di_i$ cui mi fai pensare.
Formalmente in sostanza mi trovo: $Ri+L(di)/(dt)=V_0$ e $L(di)/(dt)$ rende già conto di questo calcolo in cui mi inviluppavo, cioè voglio dire che al suo interno "conta già" gli infiniti "loop" di cui parlavo. Ho ben compreso?
Ok, dalla tua spiegazione mi sembra di capire come affrontare il discorso anche intuivamente per i vari $di_i$ cui mi fai pensare.
Formalmente in sostanza mi trovo: $Ri+L(di)/(dt)=V_0$ e $L(di)/(dt)$ rende già conto di questo calcolo in cui mi inviluppavo, cioè voglio dire che al suo interno "conta già" gli infiniti "loop" di cui parlavo. Ho ben compreso?
Si esatto
Come nel caso di Achille e la tartaruga in cui puoi affrontare il problema andando a vedere cosa succede negli infiniti tratti elementari oppure più semplicemente puoi usare l'equazione del moto, anche in questo caso puoi studiare i singoli tratti o avere una visione più globale con l'equazione del circuito.
Come nel caso di Achille e la tartaruga in cui puoi affrontare il problema andando a vedere cosa succede negli infiniti tratti elementari oppure più semplicemente puoi usare l'equazione del moto, anche in questo caso puoi studiare i singoli tratti o avere una visione più globale con l'equazione del circuito.
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo