Legge di Biot-Savart per filo di lunghezza definita

[Andp]

Salve,
stavo svolgendo un esercizio in cui mi si chiedeva di calcolare il campo magnetico al centro di una spira [strike]circolare[/strike] rettangolare di lunghezza 2L attraversata da una corrente I.
Chiamo a lato maggiore e b lato minore

Stavo litigando con gli integrali quando non ce l'ho fatta più e ho letto la soluzione.
Nella soluzione viene utilizzata la legge di Biot-Savart per i 4 "pezzi" del filo.
Mi chiedevo : ma è giusto fare una cosa del genere?
Cioè proprio dalla dimostrazione di questa legge, si fa tendere il filo all'infinito!
Come è possibile?

[phaerrax]

Non capisco la forma della spira: nel primo paragrafo dici che è «circolare di lunghezza \(2L\)» poi dici che ce ne sono quattro pezzi: quali pezzi? È forse un quadrato di lato \(2L\)?

[Andp]

Scusa volevo dire rettangolare!!!!

[phaerrax]

Ma la lunghezza non era \(2L\)? Comunque, non so quale legge di Biot-Savart conosci, ma in essa non si parla di fili infiniti, in generale. In questo caso, avendo un filo percorso da corrente, hai
\[
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\vec B(\vec x)=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_\gamma\frac{\dd\vec l\times(\vec x-\vec x')}{\|\vec x-\vec x'\|^3}
\]
dove \(I\) è la corrente, \(\gamma\) è il circuito e \(\vec x'=\vec x'(t)\) una sua parametrizzazione (\(\dd\vec l\) è l'elemento di linea su \(\gamma\), orientato nel verso della corrente).
Il campo di un segmento (di lunghezza finita) si trova con questa legge.

[Andp]

Allora, ora non so cosa non sia chiaro :

Ho una spira rettangolare di lunghezza totale $2L$ .
Il problema non è questo però ma soltanto che non pensavo si potesse applicare la legge di Biot-Savart ( che hai esplicitato anche tu )per un filo che non sia indefinito.
In tutte le dimostrazioni che ho , si prende questo filo e lo si fa tendere ad infinito.
So che realmente questo non esiste ma serve a far intendere che quando in un punto a distanza R ( con R<

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[Maurizio Zani]

"phaerrax":Ma la lunghezza non era \(2L\)? Comunque, non so quale legge di Biot-Savart conosci, ma in essa non si parla di fili infiniti, in generale. In questo caso, avendo un filo percorso da corrente, hai
\[
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\vec B(\vec x)=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_\gamma\frac{\dd\vec l\times(\vec x-\vec x')}{\|\vec x-\vec x'\|^3}
\]
dove \(I\) è la corrente, \(\gamma\) è il circuito e \(\vec x'=\vec x'(t)\) una sua parametrizzazione (\(\dd\vec l\) è l'elemento di linea su \(\gamma\), orientato nel verso della corrente).
Il campo di un segmento (di lunghezza finita) si trova con questa legge.

In reatà la legge di Biot-savart è proprio per un filo infinito, quella che tu riporti è la legge elementare di Laplace integrata lungo il filo finito ed è quella che serve per risolvere il problema di cui sopra

[phaerrax]

Ah, scusate la svista allora, sto studiando giusto in questi giorni su un libro che si riferisce all'equazione che ho riportato come "legge di Biot-Savart" (o forse ho solo preso una grande cantonata). In ogni caso, nomenclatura a parte, quella è l'equazione che ho usato qualche giorno fa per risolvere lo stesso problema.
Il campo magnetico generato da un segmento però non è uguale a quello di una retta (infinita) quindi non credo si possa fare.

[RenzoDF]

Forse questo vecchio thread ti potrebbe essere d'aiuto

campo-magnetico-di-una-spira-quadrata-t42471.html#p869810

chiaramente essendo rettangolare con lati a e b, l'integrale sarà del tipo

$B_{C}=4\int_{0}^{a/2} \text{d}\vec{B}_{C} + 4\int_{0}^{b/2} \text{d}\vec{B}_{C} = \frac{\mu _{0}i}{ \pi }[\int_{0}^{a/2} \frac{\sin \gamma }{ b^{2}/4+x^{2}}\text{d} x+ \int_{0}^{b/2} \frac{\sin \gamma }{ a^{2}/4+x^{2}}\text{d} x ]$

[Andp]

"RenzoDF":Forse questo vecchio thread ti potrebbe essere d'aiuto

campo-magnetico-di-una-spira-quadrata-t42471.html#p869810

chiaramente essendo rettangolare con lati a e b, l'integrale sarà del tipo

$B_{C}=4\int_{0}^{a/2} \text{d}\vec{B}_{C} + 4\int_{0}^{b/2} \text{d}\vec{B}_{C} = \frac{\mu _{0}i}{ \pi }[\int_{0}^{a/2} \frac{\sin \gamma }{ b^{2}/4+x^{2}}\text{d} x+ \int_{0}^{b/2} \frac{\sin \gamma }{ a^{2}/4+x^{2}}\text{d} x ]$

Scusami ma $ sin(gamma) $ mica è costante? Perché l'integrale in dx?

[RenzoDF]

"Andp": Scusami ma $ sin(gamma) $ mica è costante?

E chi ha mai detto che lo sia?

"Andp": Perché l'integrale in dx?

Ma l'hai letto il thread che ti ho linkato?

[Andp]

Si che lo ho letto, Renzo!
Scusami ma ho solo capito ora il senso! Ho avuto un abbaglio.
Domani rifaccio l'esercizio, ora sono un po' cotto!